[pt] Objetiva-se, nesse trabalho, formular e testar numericamente uma perspectiva computacional, baseada em elementos de controle robusto e indices de desempenho H2, para a sintese de controladores de dimensão finita (DF) para sistemas lineares de dimensão infinita (DI) correspondentes a certas equações de evolução parabólicas e, especialmente, a uma versão simplificada da equação do calor. A abordagem aqui utilizada é a de usar modelos aproximantes de DF (modelos nominais) e limitantes superiores nas normas H (infinito) dos erros de aproximação correspondentes nas funções de transferência de DI em questão, de modo que o procedimento de síntese baseie-se apenas em funções de transferência racionais e os controladores resultantes sejam de DF.Mais especificamente, uma classe de controladores que asseguram a estabilidade do sistema em malha fechada envolvendo o sistema de DI em questão e definida tomando-se as soluções ótimas de problemas H2 (infinito) nos quais o funcional de custo (H2) nominal é minimizado sobre os controladores nominalmente estabilizantes, sob uma restrição (H infinito) de margem de estabilidade mínima definida por um parâmetro de projeto escalar denotado por micro. A obtenção de um controlador é então feita pela escolha do valor de micro de modo a minimizar um limitante superior (calculado apenas com base em funçõess racionais) sobre o funcional de custo calculado no sistema de DI original. Esse procedimento é ilustrado por exemplos numéricos envolvendo a versão simplificada da equação do calor. / [en] A computational perspective based on robust control tools is presented for the H2 synthesis of finite-dimensional controllers for linear, stable, distributed-parameter systems corresponding to certain evolution equations. The approach pursued here relies on finite-dimensional approximations and error bounds on the H (infinite) norms of the corresponding errors on transfer functions so that the resulting synthesis procedure solely depends on rational transfer functions, thereby yielding finite-dimensional controllers. More specifically, a class of stabilizing controllers for a given infinite-dimensional system is defined taking optimal solutions of H2 / H (infinite) problems - i.e., a nominal H2 cost is minimized over controllers which satisfy a nominal stability margin defined by a scalar parameter micro. A controller is then obtained by choosing micro in such a way as to minimize an upper bound on the value taken by the cost functional on the original infinite-dimensional system. This procedure is illustrated by simple numerical examples involving the (simplified) heat equation in one dimension.

Cette thèse porte sur la conception de commandes robustes pour les systèmes non linéaires, mettant l'accent sur les systèmes mécaniques. Des résultats concluants sont présentés pour résoudre deux situations très abordées dans la théorie du contrôle : 1) La stabilité des systèmes non linéaires perturbés ; 2) Le suivi global de trajectoire dans les systèmes mécaniques en ayant seulement connaissance de la position. Nous avons commencé par donner une méthode de conception des commandes robustes pour assurer une régulation de sortie non passive. En outre, si le système est perturbé (pas appariés), des preuves rigoureuses pour les rejeter sont fournies. Ce résultat est principalement inspiré d'un changement de coordonnées et de l'action intégrale dynamique. Si le scénario à traiter concerne des systèmes mécaniques avec des perturbations variant dans le temps, nous dotons le système de propriétés comme IISS (Integral Input- State Stable) et ISS (Input-State Stable). Ce résultat est obtenu en modifiant la procédure de conception de manière à rejeter les perturbations constantes (pas appariés). Cependant, en raison de la non-linéarité du système, les commandes qui en résultent ont une grande complexité. Pour le même problème, un deuxième et élégant résultat est donné au cas où un changement préalable de variable (impulsions) est réalisé. Finalement, une réponse convaincante au problème de suivi de trajectoire pour les systèmes mécaniques est donnée en tenant compte uniquement des informations de position. Nous résolvons ce problème en deux étapes. Premièrement, quelques modifications sont apportées à la preuve de stabilité d'un observateur de vitesse basée sur la théorie de l'invariance et l’Immersion récemment publié. Notez que ceci est un observateur satisfaisant la convergence exponentielle de vitesse dans les systèmes mécaniques. Deuxièmement et sur la base du changement de coordonnées (impulsions), un contrôleur de suivi avec stabilité exponentielle, tenant compte de la position et de la vitesse, est proposé. De telle sorte qu'avec la combinaison des deux résultats, le suivi de trajectoire exponentielle avec retour de position est donné. / This thesis focuses on the design of robust control for nonlinear systems, mainly on mechanical systems. The results presented are to two situations widely discussed in control theory: 1) The stability of nonlinear systems disturbed; 2) The global tracking trajectory in mechanical systems having only knowledge of the position. We started giving a design method of robust controls to ensure regulation on non-passive output. In addition, if the system is perturbed (constant unmatched), rigorous proof to its rejection is provided. This result is based mainly on change of coordinates and integral dynamic control. When the scenario to deal are mechanical systems with time-varying matched and unmatched, disturbance, the system is endowed with strong properties as IISS (Integral Input-State Stable) and ISS (Input-State Stable). This is achieved based on the design method to rejection of constant disturbances (unmatched). However, due to the nonlinearity of the system, the controllers have a high complexity. For the same problem, a second and elegant result is given making a initial change of coordinate on the momenta variable, such that the controller significantly simplifies, preserving the aforementioned robustness properties. Finally, a convincing answer to the problem of global exponential tracking of mechanical systems is given taking into account only the position information. We solve this problem in two steps. First, some slight variation is presented to the proof of stability of a speed observer based on Immersion and Invariance theory recently published. Note that this is a speed observer satisfying the exponential convergence speed in mechanical systems. Secondly, and based on the change of coordinates (momenta), a globally exponentially stable tracking controller with position and velocity known is proposed. The combination of both results give the first global exponential tracking controller of mechanical systems without velocity measurements.

Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour garantir des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique pour une classe de systèmes non linéaires fractionnaires. Nous avons étendu ces résultats dans la stabilisation asymptotique des systèmes non linéaires singuliers fractionnaires et proposé des conditions suffisantes de stabilité asymptotique de l'erreur d'observation dans le cas de l'étude des observateurs pour les systèmes non linéaires fractionnaires et singuliers fractionnaires.Pour les systèmes non linéaires à dérivée d'ordre entier, nous avons proposé par l'application de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman des conditions suffisantes pour :- la stabilisation exponentielle par retour d'état statique et par retour de sortie statique,- la stabilisation exponentielle robuste en présence d'incertitudes paramétriques,- la commande basée sur un observateur.Nous avons étudié la stabilisation des systèmes linéaires fractionnaires avec les lois de commande suivantes~: retour d'état statique, retour de sortie statique et retour de sortie basé sur un observateur. Puis, nous avons proposé des conditions suffisantes de stabilisation lorsque le système linéaire fractionnaire est affecté par des incertitudes non linéaires paramétriques. Enfin, nous avons traité la synthèse d'un observateur pour ces systèmes. Les résultats proposés pour les systèmes linéaires fractionnaires ont été étendus au cas où ces systèmes fractionnaires sont singuliers.La technique de stabilisation basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman est étendue aux systèmes non linéaires fractionnaires et aux systèmes non linéaires singuliers fractionnaires. Des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique, de stabilisation asymptotique robuste et de commande basée sur un observateur ont été obtenues pour les classes de systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires.Par ailleurs, une méthode de synthèse d'observateurs pour ces systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires est proposée. Cette approche est basée sur la résolution d'un système d'équations de Sylvester. L'avantage de cette méthode est que, d'une part, l'erreur d'observation ne dépend pas explicitement de l'état et de la commande du système et, d'autre part, qu'elle unifie la synthèse d'observateurs de différents ordres (observateurs d'ordre réduit, d'ordre plein et d'ordre minimal). / In this dissertation, we proposed sufficient conditions for the asymptotical stabilization of a class of nonlinear fractional-order systems based on the generalization of Gronwall-Bellman lemma. We extended these results for the asymptotical stabilization of nonlinear singular fractional-order systems and proposed sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of the observation error for the nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems.For the nonlinear integer-order systems, the proposed generalization of Gronwall-Bellman lemma allowed us to obtain sufficient conditions for :- the static state feedback and the static output feedback exponential stabilizations,- the robust exponential stabilization with regards to parameter uncertainties,- the observer-based control.We treated three cases for the asymptotical stabilization of linear fractional-order systems : the static state feedback, the static output feedback and the observer-based output feedback. Then, we proposed sufficient conditions for the asymptotical stabilization of linear fractional-order systems with nonlinear uncertain parameters. Finally, we treated the observer design for the linear and nonlinear fractional-order systems and for the linear and nonlinear singular fractional-order systems.The stabilization technique based on the generalization of Gronwall-Bellman lemma is extended to nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems. Sufficient conditions for the asymptotical stabilization, the robust asymptotical stabilization and the observer-based control of a class of nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems were obtained.Furthermore, the observer design for the nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems is proposed. This approach is based on a parameterization of the solutions of generalized Sylvester equations. The conditions for the existence of these observers are given and sufficient conditions for their stability are derived using linear matrix inequalities (LMIs) formulation and the generalization of Gronwall-Bellman lemma. The advantage of this method is that, firstly, the observation error does not depend explicitly on the state and control system and, secondly, this method unifies the design of full, reduced and minimal orders observers