Diese Arbeit behandelt numerisch die Fluiddynamik in Flüssigmetallbatterien. Insbesonders die Tayler-Instabilität und Elektrowirbelströmungen werden ausführlich betrachtet. Die Motivation der Untersuchungen besteht zum einen in einer Steigerung von Leistung und Sicherheit und zum anderen in der Senkung von Produktions- und Betriebskosten von Flüssigmetallbatterien. Es wird ein Lösungsverfahren für zeitabhängige magnetohydrodynamische Strömungen entwickelt und in OpenFOAM implementiert. Die Basisversion des Lösers erlaubt die Analyse einer flüssige Elektrode. Eine Erweiterung dient der Untersuchung des Einflusses von Stromsammler und Zuleitung der Batterie. Simulationen werden vorwiegend für zylindrische, aber auch für quaderförmige Elektrodengeometrien durchgeführt. Der Hauptteil der Arbeit widmet sich der stromgetriebenen Tayler-Instabilität, die in großen Batterien bei Strömen von einigen Kiloampere auftritt und dort zu einer Strömung in Form von Konvektionszellen führt. Das Auftreten, Wachstum und die Geschwindigkeiten dieser Instabilität werden analysiert und deren Bedeutung für die Batterie diskutiert. Zur Dämpfung bzw. Unterdrückung der Strömung werden eine Reihe von Gegenmaßnahmen vorgestellt und deren praktischer Nutzen bewertet. Der zweite, kürzere Teil der Arbeit befasst sich mit Elektrowirbelströmungen, deren Charakterisierung und ihren Wechselwirkungen mit der Tayler-Instabilität. Die besondere Bedeutung von Elektrowirbelströmungen für die Integrität der Elektrolytschicht sowie ihre Anwendbarkeit für die Verbesserung des Stofftransports in Flüssigmetallbatterien werden vervorgehoben.