O teorema de Hilbert-Burch fornece uma boa descrição de variedades determinantais de codi- mensão dois e de suas deformações em termos da matriz de representação. Neste trabalho, usamos esta correspondência para estudar propriedades de tais variedades usando métodos da teoria de singularidades. Na primeira parte da tese, estabelecemos a teoria de singularidades de matrizes n X p, generalizando os resultados obtidos por J. W. Bruce and F. Tari em [5], para ma- trizes quadradas, e por A. Frühbis-Krüger em [16], para matrizes n X (n+1). Na segunda parte, nos concentramos em variedades determinantais de codimensão 2, com singularidade isolada na origem. Para estas variedades, podemos mostrar a existência e a unicidade de suavizações, o que possibilita definir seu número de Milnor como o número de Betti na dimensão média de sua fibra genérica. Para superfícies em \'C POT. 4\', obtemos uma fórmula Lê-Greuel expressando o número de Milnor da superfície em termos da segunda multiplicidade polar e do número de Milnor de uma seção genérica / The theorem of Hilbert- Burch provides a good description of codimension two determinantal varieties and their deformations in terms of their presentation matrices. In this work we use this correspondence to study properties of determinantal varieties, based on methods of singularity theory of their presentation matrices. In the first part of the thesis we establish the theory of singularities for n X p matrices extending previous results of J. W. Bruce and F. Tari in [5], for classes of square matrices, and A. Frühbis-Krüger for n X (n+1) matrices in [16]. In the second part we concentrate on codimension two determinantal varieties with isolated singularities. These singularities admit a unique smoothing, thus we can define their Milnor number as the middle Betti number of their generic fiber. For surfaces in \'C POT. 4\' , we obtain a Lê-Greuel formula expressing the Milnor number of the surface in terms of the second polar multiplicity and the Milnor number of the generic section

O teorema de Hilbert-Burch fornece uma boa descrição de variedades determinantais de codi- mensão dois e de suas deformações em termos da matriz de representação. Neste trabalho, usamos esta correspondência para estudar propriedades de tais variedades usando métodos da teoria de singularidades. Na primeira parte da tese, estabelecemos a teoria de singularidades de matrizes n X p, generalizando os resultados obtidos por J. W. Bruce and F. Tari em [5], para ma- trizes quadradas, e por A. Frühbis-Krüger em [16], para matrizes n X (n+1). Na segunda parte, nos concentramos em variedades determinantais de codimensão 2, com singularidade isolada na origem. Para estas variedades, podemos mostrar a existência e a unicidade de suavizações, o que possibilita definir seu número de Milnor como o número de Betti na dimensão média de sua fibra genérica. Para superfícies em \'C POT. 4\', obtemos uma fórmula Lê-Greuel expressando o número de Milnor da superfície em termos da segunda multiplicidade polar e do número de Milnor de uma seção genérica / The theorem of Hilbert- Burch provides a good description of codimension two determinantal varieties and their deformations in terms of their presentation matrices. In this work we use this correspondence to study properties of determinantal varieties, based on methods of singularity theory of their presentation matrices. In the first part of the thesis we establish the theory of singularities for n X p matrices extending previous results of J. W. Bruce and F. Tari in [5], for classes of square matrices, and A. Frühbis-Krüger for n X (n+1) matrices in [16]. In the second part we concentrate on codimension two determinantal varieties with isolated singularities. These singularities admit a unique smoothing, thus we can define their Milnor number as the middle Betti number of their generic fiber. For surfaces in \'C POT. 4\' , we obtain a Lê-Greuel formula expressing the Milnor number of the surface in terms of the second polar multiplicity and the Milnor number of the generic section

La Industria 4.0 ha permitido la explotación de los avances tecnológicos recientes, integrando todos los elementos de fabricación y sistemas de hibridación del mundo físico. Para ello incorpora habilitadores digitales como la robótica colaborativa, impresión 3D o el Internet de las Cosas entre otros. En los sectores industriales, esto ha favorecido la mejora de la eficiencia de sus procesos, la reducción de los costes de fabricación y del impacto medioambiental. También ayudan a una fabricación más flexible, facilitando la adaptación a los nuevos requerimientos del mercado. Este hecho, es especialmente relevante en industrias dinámicas y manufactureras como el sector del calzado. A pesar del carácter tradicional y manufacturero de la industria del calzado, cada vez está más extendido el uso de la tecnología en sus procesos. Concretamente, la tecnología CAD se aplica desde hace años en la industria del calzado, sobre todo para procesos de diseño y producción. Esto ha permitido un avance significativo en la automatización de procesos de fabricación, por ejemplo, con el uso de las máquinas de corte automático. Hoy en día, con la evolución de la tecnología y, en concreto, con la de los entornos 3D para la representación de geometría CAD, ya es posible visualizar un modelo virtual del producto con un alto nivel de realismo. La investigación industrial realizada en INESCOP está centrada en necesidades concretas detectadas en la industria. INESCOP tiene un conocimiento profundo del sector del calzado y mantiene una estrecha relación con las empresas que lo forman. Gracias a esto, es posible conocer de primera mano las necesidades de la industria, trabajar en soluciones que ayuden a la flexibilidad de la producción, el ahorro de tiempos y costes en el desarrollo de los productos, pero que requieran de una inversión lo más reducida posible y adaptable a la particularidad de los procesos y productos del sector. Soluciones que aporten un valor añadido en los procesos de la empresa y les ayude a su mejora competitiva. Bajo este marco de innovación y tecnología, se ha llevado a cabo la investigación industrial en la que se ha trabajado en el desarrollo de un modelo computacional para la representación virtual de geometrías 3D de calzado compatible con entornos de base tecnológica diferente. El modelo propuesto adapta las diferentes características de los entornos OpenGL y WebGL y hace posible una visualización idéntica de una escena CAD 3D, además basándose en una potente metodología que consigue imitar con un alto nivel de realismo el comportamiento de la luz, brillos y sombras del mundo físico (técnica PBR, Physically Based Rendedering). Ahondando en la representación óptima y optimizada de geometría CAD en estos entornos tridimensionales, también se ha trabajado en la mejora y optimización de la información geométrica de los modelos CAD que se utilizan en estos entornos de representación. Para ello, en la presente tesis se expone la implementación y prueba de los principales métodos de remallado quad y su validez para la aplicación en el calzado. Con el fin de facilitar el uso de estas geometrías en operaciones de diseño y modelado, y para conseguir la optimización y organización de la información que permita la explotación de los entornos de bajas prestaciones. Además, se resuelve una de las deficiencias que presentan estos métodos de remallado quad, que es la pérdida de información inherente a la geometría, como por ejemplo las coordenadas de textura. Esta información es primordial para la representación virtual del modelo CAD y para su utilización en posteriores procesos industriales.