L'objectif de cette thèse est d'améliorer la compréhension des phénomènes jouant un rôle dans la mesure effectuée dans un analyseur sanguin, en particulier le comptage et la mesure de volumétrie d'une population de globules rouges reposant sur l'effet Coulter. Des simulations numériques sont effectuées dans le but de prédire la dynamique des globules rouges dans les zones de mesure et pour reproduire la mesure électrique associée, servant au comptage et à la volumétrie des cellules. Ces simulations sont effectuées à l'intérieur de configurations industrielles d'analyseur sanguin, en utilisant un outil numérique développé à l'IMAG, le solveur YALES2BIO. En utilisant la méthode des frontières immergées avec suivi de front, un modèle de particule déformable est introduit, celui-ci prend en compte le contraste de viscosité ainsi que les effets mécaniques de la courbure et de l'élasticité sur la membrane. Le solveur est validé grâce à de nombreux cas tests parcourant différents régimes et effets physiques. L'écoulement fluide dans cette géométrie d'analyseur sanguin est caractérisée par un fort gradient de vitesse axial dans la direction de l'écoulement, impliquant la présence d'un écoulement extensionnel au niveau du micro-orifice, là où a lieu la mesure. La dynamique des globules rouges est étudiée par des simulations numériques pour différentes conditions initiales, telles que sa position ou son orientation. Il est observé que les globules rouges vont se réorienter selon l'axe principal de l'analyseur sanguin dans tous les cas. Pour comprendre le phénomène, des modèles analytiques sont adaptés au cas des écoulements extensionnels et reproduisent correctement les tendances de réorientation.Cette thèse présente également la reproduction de la mesure électrique utilisée pour le comptage et la mesure de la distribution des volumes de globules rouges. De nombreuses simulations de la dynamique des globules rouges sont effectuées et utilisées pour générer l'impulsion électrique correspondant au passage du globule rouge dans le micro-orifice. Les amplitudes d'impulsions électriques résultantes permettent la caractérisation de la réponse électrique en fonction des paramètres initiaux de la simulation par une approche statistique. Un algorithme de Monte-Carlo est utilisé pour la quantification des erreurs de mesure liées à l'orientation et la position des globules rouges dans le micro-orifice. Ceci permet la génération d'une distribution de volume mesurée pour une population de globules rouges bien définie et la caractérisation des erreurs de mesure associées. / The aim of this thesis is to improve the understanding of the phenomena involved in the measurement performed in a blood analyzer, namely the counting and sizing of red blood cells based on the Coulter effect. Numerical simulations are performed to predict the dynamics of red blood cells in the measurement regions, and to reproduce the associated electrical measurement used to count and size the cells. These numerical simulations are performed in industrial configurations using a numerical tool developed at IMAG, the YALES2BIO solver. Using the Front-Tracking Immersed Boundary Method, a deformable particle model for the red blood cell is introduced which takes the viscosity contrast as well as the mechanical effects of the curvature and elasticity on the membrane into account. The solver is validated against several test cases spreading over a large range of regimes and physical effects.The velocity field in the blood analyzer geometry is found to consist of an intense axial velocity gradient in the direction of the flow, resulting in a extensional flow at the micro-orifice, where the measurement is performed. The dynamics of the red blood cells is studied with numerical simulations with different initial conditions, such as its position or orientation. They are found to reorient along the main axis of the blood analyzer in all cases. In order to understand the phenomenon, analytical models are adapted to the case of extensional flows and are found to reproduce the observed trends.This thesis also presents the reproduction of the electrical measurement used to count red blood cells and measure their volume distribution. Numerous dynamics simulations are performed and used to generate the electrical pulse corresponding to the passage of a red blood cell inside the micro-orifice. The resulting electrical pulse amplitudes are used to characterize the electrical response depending on the initial parameters of the simulation by means of a statistical approach. A Monte-Carlo algorithm helps quantifying the errors on the measurement of cell depending on its orientation and position inside the micro-orifice. This allows the generation of a measured volume distribution of a well defined red blood cell population and the characterization of the associated measurement errors.

A basse température, c'est à dire dans le régime 1K, les verres présentent des propriétés remarquablement différentes de celles des cristaux de même composition. Par exemple, la dépendance en température de la capacité thermique est presque linéaire et celle de la conductivité thermique est approximativement quadratique (dans les cristaux, on trouve une dépendance cubique pour les deux propriétés).Beaucoup de ces observations peuvent être expliquée par le “Standard Tunneling Model” (STM), dont l’hypothèse de base est l'existence de potentiels locaux à double puits, ou “systèmes à deux niveaux” dans la surface d'énergie potentielle, où des excitations localisées (une particule ou plutôt un cluster de particules) subissent l'effet tunnel à travers la barrière. Récemment les systèmes de tunnels (TSs) ont attiré une attention considérable pour la fabrication de qubits pour les ordinateurs quantiques impliquant jonctions Josephson supraconductrices amorphes.Toutefois, malgré le succès du STM, de nombreuses caractéristiques du modèle sont encore peu claires, par example, la nature microscopique des TS reste inconnue. En outre, des effets magnétiques inattendus ont été découverts dans des verres multi-composants non-magnétiques, comme par exemple des variations non-monotones de la constante diélectrique et de la chaleur spécifique en présence de champs magnétiques faibles.Une explication possible de ces observations est donnée dans l’ “Extended Tunneling Model” (ETM) dans lequel on suppose la présence de régions mieux ordonnées, avec les TSs dans leur interstices, qui doivent être décrites par des potentiels à trois puits (TWPs), dans la structure à moyen distance des verres. En conséquence, les particules concernées par l’effet tunnel peuvent se coupler avec le champ magnétique sous l'effet Aharonov-Bohm.La présente thèse se compose de deux parties: Dans la première nous réalisons des calculs analytiques pour généraliser le modèle ETM au cas d'un potentiel de quatre puits tétraédriques dans un champ magnétique. Nos calculs montrent qu’en fait, le TWP peut être considéré comme le modèle de travail le plus simple pour décrire les verres réels. Nous dérivons également la contribution à l'aimantation des TWPs de notre modèle, et nous obtenons des ajustements qui sont en bon accord avec les données expérimentales. Nous montrons qu’en tenant compte une telle géométrie de tunneling nous obtenons un bon accord entre les concentrations d'impuretés extraites de l'aimantation et celles extraites à partir de mesures de la capacité thermique à basse température. Ceci est une autre preuve de la présence d'inhomogénéités structurales dans les verres à basse température.L'objectif de la deuxième partie est d'élucider la nature des TSs via des simulations numériques. Pour cela nous avons d'abord développé de nouveaux algorithmes pour étudier la géométrie des minima et les barrières d'un modèle simple bidimensionnel de surface d'énergie potentielle. Cette étude est le point de départ d'une nouvelle méthode, nommée "Effective Isopotential Method”, que nous introduisons pour effectuer une analyse locale et systématique de la surface d'énergie en proximité du fond des minima locaux.Nous testons ce méthode sur un cristal CFC Lennard-Jones, puis sur un mélange binaire Lennard-Jones du verre à basse température. Nous constatons que la forme géométrique du minimum local à basse température n’est pas régulière, mais caractérisée par des vallées internes. Dans le cas du cristal on observe la présence de six vallées symétriques associés à une particule donnée, tandis que dans le cas du verre on constate que la plupart des particules présentent deux vallées.Parmi elles, nous trouvons des géométries dont les caractéristiques sont en accord semi-quantitatif avec celles de modèles phénoménologiques décrivant les TSs. Nous avons maintenant une representation de la géométrie de ces TSs. / At low temperature, i.e. in the 1K regime, glasses show properties that are remarkably different from those of the corresponding crystalline counterparts, e.g., the heat capacity depends approximately linearly and the thermal conductivity almost quadratically on temperature (in crystals one finds a cubic dependence for both properties).Many of these observations can be rationalized by the so-called “Standard Tunneling Model” (STM) whose basic assumption is the existence of local double-well potentials, or two level systems, in the potential energy landscape, where localized excitations (a particle or rather a cluster of particles) undergo quantum tunneling through the barrier. In recent times the tunneling systems (TSs) have attracted considerable attention for the fabrication of coherent qubits for quantum computers involving amorphous superconducting Josephson junctions.However, despite the success of the STM, many features of the model are still unclear in that, e.g., the microscopic nature of the TSs remains unknown. In addition, unexpected magnetic effects have been discovered in non-magnetic multi-component glasses, like e.g. the non-monotonous changes of the dielectric constant and the specific heat in the presence of weak magnetic fields.A possible explanation of these observations is the so-called “Extended Tunneling Model” (ETM) in which one assumes the presence of better ordered regions, hosting TSs in the interstices, that have to be described by three-well potentials (TWPs), in the intermediate range structure of glasses; as a result the effective tunneling particles can couple to the magnetic field via the Aharonov-Bohm effect.This work consists of two parts: In the first one we carry out analytical calculations to generalize the ETM model to the case of a four-well tetrahedral trapping potential in a magnetic field. Our calculations show that in fact the TWP can be considered as the simplest working model to describe real glasses. We also derive the contribution to the magnetization from the TWPs of our model, and obtain fits that are in good agreement with the experimental data. We show that only taking into account such tunneling geometry we get a good agreement between the impurity concentrations extracted from the magnetization and those extracted from low-temperature heat capacity measurements. This is thus evidence for the presence of structural inhomogeneities in glasses at low temperature.The goal of the second part is to elucidate the nature of the TSs via computer simulations. For this we first develop new algorithms to study the geometry of the minima and barriers of a simple two-dimensional model of a potential energy surface. This study is the starting point for a novel method, the so-called “Effective Isopotential Method”, that we introduce to perform a local and systematic analysis of the energy landscape close to the bottom of the local minimum.We apply this method to a test case, a Lennard-Jones FCC crystal, and then to a binary mixture Lennard-Jones glass at low temperature. We find that the geometric shape of the IS at low temperature is not smooth but is characterized by internal valleys, i.e. points of the configuration space where the potential energy is lower than the immediate neighborhood. In the case of the crystal we observe the presence of six symmetric valleys associated with a given particle, while in the glass case we find that most of the particles show only two valleys. Amongst them we find the geometries with the right semi-quantitative features (in agreement with the phenomenological models) to be considered as TSs, so that we finally know how they look like in reality.

Ce travail porte sur le problème des partitions minimales, à l'interface entre théorie spectrale et optimisation de forme. Une introduction générale précise le problème et présente des résultats, principalement dûs à B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof et S. Terracini, qui sont utilisés dans le reste de la thèse.Le premier chapitre est une étude spectrale asymptotique du laplacien de Dirichlet sur une famille de domaines en dimension deux qui tend vers un segment. L'objectif est d'obtenir une localisation des lignes nodales dans la limite des domaines minces. En appliquant les résultats de Helffer, Hoffmann-Ostenhof et Terracini, on montre ainsi que les domaines nodaux des premières fonctions propres forment des partitions minimales.Le deuxième chapitre étudie les valeurs propres de certains opérateurs de Schrödinger sur un domaine plan avec condition au bord de Dirichlet. On considère des opérateurs qui ont un potentiel électrique nul et un potentiel magnétique d'un type particulier, dit d'Aharonov-Bohm, avec des singularités en un nombre fini de points appelés pôles. On démontre que les valeurs propres dépendent continuement des pôles. Dans le cas de pôles distincts et éloignés du bord, on prouve que cette dépendance est analytique lorsque la valeur propre est simple. On exprime de plus une condition suffisante pour que la fonction qui aux pôles associe une valeur propre présente un point critique. On utilise alors la caractérisation magnétique des partitions minimales pour montrer que l'énergie minimale est une valeur critique d'une de ces fonctions.Le troisième chapitre est un article écrit en collaboration avec Virginie Bonnaillie-Noël. Il porte sur une famille d'exemples, les secteurs angulaires de rayon unité et d'ouverture variable, dont on tente de déterminer les partitions minimales. On applique pour cela les théorèmes généraux rappelés dans l'introduction afin de déterminer les partitions nodales qui sont minimales. On s'intéresse plus particulièrement aux partitions minimales en trois domaines. En appliquant les idées du deuxième chapitre, on montre que pour certaines valeur de l'angle, il n'existe aucune partition minimale qui soit symétrique par rapport à la bissectrice du domaine. D'un point de vue quantitatif, on obtient des encadrements précis de l'énergie minimale.Le quatrième chapitre consiste en l'étude des partitions minimales de tores plats dont on fait varier le rapport entre longueur et largeur. On utilise une méthode numérique très différente de celle du troisième chapitre, basée sur un article de B. Bourdin, D. Bucur et É. Oudet. Elle consiste en une relaxation suivie d'une optimisation par un algorithme de gradient projeté. On peut ainsi tester des résultats théoriques antérieurs. Les résultats présentés suggèrent de plus la construction explicite de familles de partitions (en liaison avec des pavages du tore) qui donnent une nouvelle majoration de l'énergie minimale.Un dernier chapitre de perspectives présente plusieurs applications possibles des méthodes décrites dans la thèse. / This work is concerned with the problem of minimal partitions, at the interface between spectral theory and shape optimization. A general introduction gives a precise statement of the problem and recall results, mainly due to B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof and S.Terracini, that are used in the rest of the thesis.The first chapter is an asymptotic spectral study of the Dirichlet Laplacian on a familly of two-dimensional domains converging to a line segment. The aim is to localize the nodal lines when the domains become very thin. With the help of the results of Helffer, Hoffmann-Ostenhof, and Terracini, we then show that the nodal domains of the first eigenfunctions give minimal partitions.The second chapter studies the eigenvalues of some Schrödinger operators on a domain with Dirichlet boundary conditions. We consider operators that have no electric potential and a so-called Aharonov-Bohm magnetic potential, which has singularities at a finite number of points called poles. We prove that the eigenvalues are continuous functions of the poles. When the poles are distinct and far from the boundary, we prove that this function is analytic, assuming the eigenvalue is simple. We also give a sufficient condition for the function to have a critical point. Using the magnetic characterization of minimal partitions, we show that the minimal enery is a critical value for one of these functions.The third chapter in an article written in collaboration with Virginie Bonnaillie-Noël. It studies minimal partitions for sectors of unit radius with a variable angular opening. We apply the general results presented in the introduction, together with numerical computations, to determine nodal partitions that are minimal. We focus on partitions into three domains. Using ideas from the second chapter, we show that, for some values of the angle, there is no minimal partition that is symmetric with respect to the bisector. Form a quantitative point of view, we obtain precise bounds on the minimal energy.The fourth chapter studies the minimal partitions of flat tori in function of the ratio between width and length. We use a numerical method that is quite different from chapter three, and is based on an article by B. Bourdin, D. Bucur, and É. Oudet. It consists in a relaxation of the problem, followed by optimization with the help of a projected gradient algorithm. The results shown here additionally suggest explicit families of partitions, which consist in tilings of tori by polygons, that give upper bounds on the minimal energy. In the last chapter we consider several possible applications of the methods described in the thesis.