abstract: The Tamari lattice T(n) was originally defined on bracketings of a set of n+1 objects, with a cover relation based on the associativity rule in one direction. Since then it has been studied in various areas of mathematics including cluster algebras, discrete geometry, algebraic combinatorics, and Catalan theory. Although in several related lattices the number of maximal chains is known, the enumeration of these chains in Tamari lattices is still an open problem. This dissertation defines a partially-ordered set on equivalence classes of certain saturated chains of T(n) called the Tamari Block poset, TB(lambda). It further proves TB(lambda) is a graded lattice. It then shows for lambda = (n-1,...,2,1) TB(lambda) is anti-isomorphic to the Higher Stasheff-Tamari orders in dimension 3 on n+2 elements. It also investigates enumeration questions involving TB(lambda), and proves other structural results along the way. / Dissertation/Thesis / Doctoral Dissertation Mathematics 2016

abstract: The Tamari lattices have been intensely studied since they first appeared in Dov Tamari’s thesis around 1952. He defined the n-th Tamari lattice T(n) on bracketings of a set of n+1 objects, with a cover relation based on the associativity rule in one direction. Despite their interesting aspects and the attention they have received, a formula for the number of maximal chains in the Tamari lattices is still unknown. The purpose of this thesis is to convey my results on progress toward the solution of this problem and to discuss future work. A few years ago, Bergeron and Préville-Ratelle generalized the Tamari lattices to the m-Tamari lattices. The original Tamari lattices T(n) are the case m=1. I establish a bijection between maximum length chains in the m-Tamari lattices and standard m-shifted Young tableaux. Using Thrall’s formula, I thus derive the formula for the number of maximum length chains in T(n). For each i greater or equal to -1 and for all n greater or equal to 1, I define C(i,n) to be the set of maximal chains of length n+i in T(n). I establish several properties of maximal chains (treated as tableaux) and identify a particularly special property: each maximal chain may or may not possess a plus-full-set. I show, surprisingly, that for all n greater or equal to 2i+4, each member of C(i,n) contains a plus-full-set. Utilizing this fact and a collection of maps, I obtain a recursion for the number of elements in C(i,n) and an explicit formula based on predetermined initial values. The formula is a polynomial in n of degree 3i+3. For example, the number of maximal chains of length n in T(n) is n choose 3. I discuss current work and future plans involving certain equivalence classes of maximal chains in the Tamari lattices. If a maximal chain may be obtained from another by swapping a pair of consecutive edges with another pair in the Hasse diagram, the two maximal chains are said to differ by a square move. Two maximal chains are said to be in the same equivalence class if one may be obtained from the other by making a set of square moves. / Dissertation/Thesis / Doctoral Dissertation Mathematics 2016

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de structures d'ordre sur plusieurs familles d'arbres. Dans un premier temps, nous étudions le treillis de Tamari sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible sur les permutations formé par ses extensions linéaires. Nous observons qu'il est possible de mettre en bijection les intervalles de l'ordre de Tamari avec une famille de posets particulière : les intervalles-posets. L'ensemble des extensions linéaires de ces posets est l'union des ensembles des extensions linéaires des arbres qui composent l'intervalle. Nous donnons une caractérisation des posets qui vérifient cette condition puis nous utilisons ce nouvel objet de plusieurs façons différentes. Nous fournissons tout d'abord une preuve alternative du fait que la fonction génératrice des intervalles de l'ordre de Tamari vérifie une équation fonctionnelle décrite par F. Chapoton. Nous donnons ensuite une formule qui permet de compter le nombre d'arbres inférieurs ou égaux à un arbre donné dans l'ordre de Tamari et dans l'ordre de m-Tamari. Nous construisons également une bijection entre les intervalles-posets et les flots, un objet que F. Chapoton a introduit lors de l'étude de l'opérade Pre-Lie. Pour finir, nous démontrons de façon combinatoire la répartition de deux statistiques dans la fonction génératrice des intervalles de l'ordre de Tamari. Dans la partie suivante, nous donnons une généralisation Cambrienne d'algèbres de Hopf classique et expliquons leurs liens avec les treillis Cambriens. Dans un premier temps, nous présentons une généralisation de l'algèbre de Hopf des arbres binaires planaires au monde Cambrien que nous appelons algèbre Cambrienne. Nous introduisons cette algèbre comme une sous-algèbre de Hopf d'une l'algèbre de permutations. Nous étudions diverses propriétés de cette structure comme par exemple son dual, ses bases multiplicatives et sa liberté. Nous étudions ensuite une généralisation de l'algèbre de Baxter définie par S. Giraudo que nous appelons algèbre Baxter-Cambrienne. Les nombres de Baxter ayant de nombreuses propriétés combinatoires, nous nous sommes intéressés par la suite à leur équivalent Cambrien, les nombres Baxter-Cambriens. Pour finir, nous donnons une généralisation de l'algèbre Cambrienne en utilisant une algèbre de mots tassés plutôt qu'une algèbre de permutations comme base de notre construction. Nous appelons cette nouvelle structure l'algèbre Schröder-Cambrienne / This thesis comes within the scope of algebraic combinatorics and studies of order structures on multiple tree families. We first look at the Tamari lattice on binary trees. This structure is obtained as a quotient of the weak order on permutations : we associate with each tree the interval of the weak order composed of its linear extensions. Note that there exists a bijection between intervals of the Tamari lattice and a family of poset that we callinterval-posets. The set of linear extensions of these posets is the union of the sets of linear extensions of the trees of the corresponding interval. We give a characterization of the posets satisfying this property and then we use this new family of objet on a large variety of applications. We first build another proof of the fact that the generating function of the intervals of the Tamari lattice satisfies a functional equation described by F. Chapoton. Wethen give a formula to count the number of trees smaller than or equal to a given tree in the Tamari order and in the $m$-Tamari order. We then build a bijection between interval-posets and flows that are combinatorial objects that F. Chapoton introduced to study the Pre-Lieoperad. To conclude, we prove combinatorially symmetry in the two parameters generating function of the intervals of the Tamari lattice. In the next part, we give a Cambrian generalization of the classical Hopf algebra of Loday-Ronco on trees and we explain their connection with Cambrian lattices. We first introduce our generalization of the planar binary tree Hopf algebra in the Cambrian world. We call this new structure the Cambrian algebra. We build this algebra as a Hopf sub algebra of a permutation algebra. We then study multiple properties of this objet such as its dual, its multiplicative basis and its freeness. We then generalize the Baxter algebra of S. Giraudo to the Cambrian world. We call this structure the Baxter-Cambrian Hopf algebra. The Baxter numbers being well-studied, we then explored their Cambrian counter parts, the Baxter-Cambrian numbers. To conclude this part, we give a generalization of the Cambrian algebra using a packed word algebra instead of a permutation algebra as a base for our construction. We call this new structure the Schröder-Cambrian algebra

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires / This thesis comes within the scope of algebraic combinatorics and studies problems related to three orders on permutations: the two said weak orders (right and left) and the strong order or Bruhat order.We first look at the action of the symmetric group on multivariate polynomials. By using the emph{divided differences} operators, one can obtain some generalisations of the Schur function and form bases of non symmetric multivariate polynomials. This construction is similar to the one of Schur functions and also allows for geometric interpretations. We study more specifically the Grothendieck polynomials which were introduced by Lascoux and Schützenberger. Lascoux proved that a product of these polynomials can be interpreted in terms of a product of divided differences. By developing this product, we reobtain a result of Lenart and Postnikov and also prove that it can be interpreted as a sum over an interval of the Bruhat order. We also present our implementation of multivariate polynomials in Sage. This program allows for formal computation on different bases and also implements many changes of bases. It is based on the action of the divided differences operators. The bases include Schubert polynomials, Grothendieck polynomials and Key polynomials. In a second part, we study the emph{Tamari lattice} on binary trees. This lattice can be obtained as a quotient of the weak order. Each tree is associated with the interval of its linear extensions. We introduce a new object called, emph{interval-posets} of Tamari and show that they are in bijection with the intervals of the Tamari lattice. Using these objects, we give the recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given tree. We also give a new proof that the generating function of the intervals of the Tamari lattice satisfies some functional equation given by Chapoton. Our final contributions deals with the $m$-Tamari lattices. This family of lattices is a generalization of the classical Tamari lattice. It was introduced by Bergeron and Préville-Ratelle and was only known in terms of paths. We give the description of this order in terms of some family of binary trees, in bijection with $m+1$-ary trees. Thus, we generalize our previous results and obtain a recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given one and a new proof of the functional equation. We finish with the description of some new $"m"$ Hopf algebras which are generalizations of the known $FQSym$ on permutations and $PBT$ on binary trees

abstract: The Cambrian lattice corresponding to a Coxeter element c of An, denoted Camb(c), is the subposet of An induced by the c-sortable elements, and the m-eralized Cambrian lattice corresponding to c, denoted Cambm(c), is dened as a subposet of the braid group accompanied with the right weak ordering induced by the c-sortable elements under certain conditions. Both of these families generalize the well-studied Tamari lattice Tn rst introduced by D. Tamari in 1962. S. Fishel and L. Nelson enumerated the chains of maximum length of Tamari lattices. In this dissertation, I study the chains of maximum length of the Cambrian and m-eralized Cambrian lattices, precisely, I enumerate these chains in terms of other objects, and then nd formulas for the number of these chains for all m-eralized Cambrian lattices of A1, A2, A3, and A4. Furthermore, I give an alternative proof for the number of chains of maximum length of the Tamari lattice Tn, and provide conjectures and corollaries for the number of these chains for all m-eralized Cambrian lattices of A5. / Dissertation/Thesis / Doctoral Dissertation Mathematics 2017

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires