L'objet principal de ce mémoire est l'étude du jeu de taquin du point de vue de la combinatoire algébrique. Il s'appuie sur l'article de Mark Haiman « Dual equivalence with a conjecture of Proctor », Discrete Mathematics, 99, 1992 79-113. Dans cet article, Haiman étudie, entre autres, le jeu de taquin de Schützenberger, avec des preuves différentes de celle de Schützenberger; les preuves de Haiman se font uniquement en termes de jeu de taquin. Nous expliquerons la preuve des deux théorèmes fondamentaux du jeu de taquin dus à Schützenberger. Le premier théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.3) affirme que le redressé par jeu de taquin d'un tableau gauche quelconque ne dépend que de ce tableau, et pas de la suite de glissements choisis. C'est un théorème de confluence en somme. La preuve de Haiman utilise, d'une part, la notion d'équivalence duale des tableaux gauches, qu'il a défini. Il prouve entre autres que tous les tableaux de forme normale sont dualement équivalents (Corollaire 2.2.1). Il démontre aussi que l'équivalence duale des tableaux gauches se ramène à une suite d'équivalences duales élémentaires, c'est-à-dire d'équivalences duales de sous-tableaux à trois cases, appelés « miniatures » (Théorème 2.2.1). D'autre part, il utilise la notion de jeu de taquin « piloté » : les glissements du tableau sont déterminés par un autre tableau. Ceci permet à Haiman de démontrer un très beau résultat de dualité (Lemme 2.3.1) : les cases laissées vacantes dans le tableau T, lors d'un jeu de taquin piloté par le tableau S, déterminent un tableau, lequel est égal au tableau obtenu à partir de S par jeu de taquin piloté par T. Le second théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.6) affirme que le nombre de tableaux gauches de forme λ qui se redressent par jeu de taquin en un tableau normal T fixé, ne dépend que de la forme gauche λ et de la forme du tableau T (c'est ce qui permet à Lascoux et Schützenberger de donner la première preuve complète de la règle de Littlewood-Richardson). Notamment, le lien entre le jeu de taquin et l'algorithme de Robinson-Schensted est clairement établi : le jeu de taquin permet de simuler cet algorithme (Proposition 3.0.1) et l'équivalence des tableaux par jeu de taquin se ramène à l'égalité des tableaux d'insertion de Schensted de leur permutation ligne-à-ligne (Corollaire 4.0.5), alors que l'équivalence duale se ramène à l'égalité des tableaux d'indexation (Théorème 3.0.2). ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : jeu de taquin, Schützenberger, Haiman, équivalence duale, tableaux, algorithme de Robinson-Schensted.

La théorie sur les polynômes de Macdonald a fait l'objet d'une quantité importante de recherches au cours des dernières années. Définis originellement par Macdonald comme une généralisation de quelques-unes des bases les plus importantes de l'anneau des fonctions symétriques, ces polynômes ont des applications dans des domaines tels que la théorie des représentations des groupes quantiques et physique des particules. Ce travail présente quelques-uns des résultats combinatoires les plus importants entourant ces polynômes, en mettant particulièrement l'accent sur la formule combinatoire prouvée récemment par Haglund, Haiman et Loehr pour les polynômes de Macdonald. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Polynômes de Macdonald, Fonctions symétriques, Combinatoire algébrique, Combinatoire énumérative, Théorie des représentations, Géométrie algébrique.

L'introduction des polynômes de Macdonald (Macdonald, 1988) comme des vecteurs propres associés à certains opérateurs reliés à la physique et comme une généralisation de quelques-unes des bases les plus importantes de l'anneau des fonctions symétriques, a donné lieu à un nombre remarquable de résultats dans divers domaines de l'algèbre, la combinatoire et la géométrie algébrique, entre autres. Ce travail présente un des liens entre la théorie des fonctions symétriques et la théorie des représentations des groupes, donné par les polynômes de Macdonald et les modules de Garsia-Haiman. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire algébrique, Combinatoire énumérative, Fonctions symétriques, Modules de Garsia-Haiman, Polynômes de Macdonald, Théorie des représentations.

Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l’étude des algèbres de Hopf de type I, à savoir de type sélection/quotient. Nous présentons une structure d’algèbre de Hopf sur l’espace vectoriel engendré par les mots tassés avec du coproduit sélection/quotient. C’est un algèbre libre sur ses mots irreductible. Nous montrons que la série de Hilbert de cette algèbre de Hopf. Nous donnons une nouvelle preuve de l’universalité du polynôme de Tutte pour les matroïdes.Cette preuve utilise des caractères appropriés de l’algèbre de Hopf des matroïdes introduite par Schmitt (1994). Nous montrons que ces caractères sont des solutions des équations différentielles du même type que les équations différentielles utilisées pour décrire le flux du groupe de renormalisation en théorie quantique de champs. Cette approche nous permet aussi de démontrer,d’une manière différente, une formule de convolution du polynôme de Tutte des matroïdes,formule publiée par Kook, Reiner et Stanton (1999) et par Etienne et Las Vergnas (1998). Dans la dernière partie, nous définissons une algèbre de Hopf non-commutative de graphes. Lanon-commutativité du produit est obtenue grâce à des étiquettes entières distinctes associées aux arrêtes du graphe. Cette idée est inspirée de certaines techniques analytiques utilisées en renormalisation en théories quantiques des champs. Nous définissons ensuite une structure d’algèbre de Hopf, avec un coproduit basé sur une règle de type sélection/quotient, et nous démontrons la coassociativité de ce coproduit. Nous analysons finalement la structure de quadri-cogèbre et les structures codendriformes associées. / In this thesis, we focus on the study of Hopf algebras of type I, namely the selection/quotient.We study the new Hopf algebra structure on the vector space spanned by packed words. Weshow that this algebra is free on its irreducible packed words. We also compute the Hilbertseries of this Hopf algebra.We provide a new way to obtain the universality of the Tutte polynomial for matroids. Thisproof uses appropriate characters of Hopf algebra of matroids, algebra introduced by Schmitt(1994). We show that these Hopf algebra characters are solutions of some differential equationswhich are of the same type as the differential equations used to describe the renormalizationgroup flow in quantum field theory. This approach allows us to also prove, in a different way, amatroid Tutte polynomial convolution formula published by Kook, Reiner and Stanton (1999)and by Etienne and Las Vergnas (1998).We define a non-commutative Hopf algebra of graphs. The non-commutativity of the productis obtained thanks to some discrete labels associated to the graph edges. This idea is inspiredfrom certain analytic techniques used in quantum field theory renormalization. We then definea Hopf algebra structure, with a coproduct based on a selection/quotient rule, and prove thecoassociativity of this coproduct. We analyze the associated quadri-coalgebra and codendrifromstructures.

Ce travail traite principalement de l'énumération d'extensions de structures combinatoires classiques appelées chemins de Dyck et fonctions de stationnement. Ces structures, très étudiées en raison de leur rôle fondamental dans de multiples contextes combinatoires, sont aussi étroitement liées à la théorie de la représentation, à la théorie des fonctions symétriques et à la géométrie algébrique, entre autres. En particulier, elles sont liées à l'étude combinatoire des espaces coinvariants diagonaux DRk,n, introduits par Garsia et Haiman, qui sont des représentations du groupe symétrique Gn sur des espaces de polynômes en k jeux de n variables. Dans le cas bivarié, il a été conjecturé que les séries de Hilbert des espaces coinvariants diagonaux « augmentés » DRm2,n et de leur sous-représentation signe DRm2,nɛ sont respectivement égales à une somme de statistiques sur les fonctions de m-stationnement et sur les chemins de m-Dyck. Il existe également une conjecture plus générale pour la série de Frobenius de ces espaces qui s'appelle la conjecture « shuffle » (Haglund et al., 2005). Dans le cas trivarié, Haiman a conjecturé en 1994 les dimensions suivantes : dim(DR3,nɛ) = 2/n(n+1) (4n+1 n-1) et dim(DR3,n) = 2n (n+1)n-2. D'autre part, en 2006, Chapoton a démontré que les intervalles dans le treillis de Tamari sont comptés par 2/n(n+1) (4n+1 n-1). Motivé par ses travaux sur le cas trivarié et par les deux conjectures précédentes, Bergeron a introduit le treillis de m-Tamari et étendu certaines questions concernant les chemins de m-Dyck et les fonctions de m-stationnement pour rendre compte du cas trivarié. Il a conjecturé que : dim(DRm3,nɛ) = m+1/n(mn+1) ((m+1)2n+m n-1), que : dim(DRm3,n) = (m+1)n(mn+1)n-2, et que ces deux cardinalités comptent respectivement les intervalles et les intervalles de stationnement du treillis de m-Tamari. Dans cette thèse, nous démontrons une généralisation commune de ces deux conjectures énumératives que nous avons énoncée avec Bergeron. Plus précisément, avec Mireille Bousquet-Mélou et Guillaume Chapuy, nous avons démontré que la série de Frobenius d'une certaine représentation combinatoire sur les intervalles de stationnement du treillis de m-Tamari est donnée par : Ʃ λ=(λ1,…,λl)˫n (mn+1)l-2 II 1≤i≤l ((m+1)λi λi) Pλ/Zλ. Cette démonstration équivaut à résoudre un nouveau type d'équations différentielles à variable catalytique. Toujours avec Bergeron, nous avons conjecturé que le produit tensoriel de cette représentation combinatoire et de la représentation signe ɛ est isomorphe à DRm3,n. Nous avons également formulé une généralisation de la conjecture « shuffle » en proposant une formule combinatoire explicite pour la série de Frobenius graduée de DRm3,n. Ceci renforce notre hypothèse que l'étude des intervalles du treillis de m-Tamari est bel et bien en lien avec l'étude des espaces DRm3,n. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : combinatoire algébrique, combinatoire énumérative, représentations du groupe symétrique, fonctions génératrices, statistiques.

Cette thèse se situe dans les domaines de la combinatoire algébrique, bijective et énumérative.Elle s'intéresse à l'étude des fonctions de parking généralisées suivant ces trois axes.medskip. Dans une première partie, on s'intéresse aux fonctions de parking généralisées en tant qu'espèce de structures combinatoires (théorie introduite par A.nom{Joyal} et développée F. nom{Bergeron}, G. nom{Labelle} et P.nom{Leroux}). On définit cette espèce à partir d'une équation fonctionnelle faisant intervenir l'espèce des séquences d'ensembles.On obtient un relèvement non-commutatif de la série indicatrice de cycles dans les fonctions symétriques non-commutatives, exprimé dans différentes bases.Par spécialisation, on obtient de nouvelles formules d'énumérations des fonctions de parking généralisées et de leurs types d'isomorphismes.En remplaçant l'espèce des ensembles par d'autres espèces dans l'équation fonctionnelle, on définit de nouvelles structures: les $seqPF$-tables de parking. Dans les cas particuliers où $seqPF : m mapsto a + b(m-1)$, on établit une bijection entre les $seqPF$-tables de parking et de nouvelles structures arborescentes, généralisant la bijection de C. H.nom{Yan} entre les $seqPF$-fonctions de parking et les séquences de $a$forêts de $b$-arbres.medskip. Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'énumération d'automates. On commence par construire une bijection simple entre les automates(non-initiaux) et les séquences d'ensembles. À partir de cette bijection, on extrait la sous-famille des automates quasi-distingués (c'est-à-dire les automates pour lesquels les couples status de terminaison et fonction de transition des états sont distincts). L'énumération de ces automates quasi-distingués fournit une meilleure borne supérieure pour le nombre d'automates minimaux que celle obtenue par M.nom{Domaratzki} & textit{al}. Ensuite, on construit une nouvelle bijection entre les $2m^k$-fonctions de parking et les automates acycliques (non-initiaux) sur un alphabet à $k$ symboles. De cette dernière, on extrait, directement sur les fonctions parking, denombreuses informations de structure sur les automates, en particulier des informations liées à la minimalité.À partir de ces informations, on déduit une formule d'énumération des automates acycliques minimaux.medskipDans une troisième partie, on formalise la technique commune de réalisation polynomiale des algèbres de Hopf: fqsym, wqsym, pqsym, etc. Pour ceci, ondéfinit la notion de type d'alphabet et d'application partitionnante. La notion d'application partitionnante formalise les bonnes propriétés de la standardisation, le tassement, la parkisation, etc associées à ces précédentes algèbres de Hopf. On montre que certaines opérations, produit cartésien, coloration, union ouencore intersection, stabilisent ces notions.À partir de celles-ci, on définit deux constructions d'algèbres de Hopf combinatoire en dualité; et l'on montre qu'elles sont automatiquement munies de structures d'algèbres dendriformes et du produit $#$. En guise d'applications, on définit, pour toute famille de $seqPF$-fonctions deparking, une application généralisant la parkisation. On montre que cette dernière est une application partitionnante si et seulement si $seqPF : nmapsto 1 + m(n-1)$. Ceci permet de retrouver les algèbres de Hopf sur les$m$-fonctions de parking généralisées de J.-C. nom{Novelli} et J-.Y.nom{Thibon}. / This thesis comes within the scope of algebraic, bijective and enumerative combinatorics. It deals with the study of generalized parking functions following those axes.In the first part, we are interested in generalized parking as a species of combinatorial structures. We define this species from a functional equation involving the species of set sequences. We lift the cycle index serie to the non-commutative symmetric functions, express in several bases. By specialization, we obtain new enumeration formula of generalized parking and their isomorphism types.In the functional equation, the species of sets can be replaced by some other species. This defines new structures: the $chi$-parking tables. In particular cases with $chi : m mapsto a + b(m-1)$, we define a bijection between the $chi$-parking tables and new tree structures. This defines a generalization of the C. H. Yan bijection.In the second part, we are interested in the enumeration of automata. Firstly, we construct a simple bijection between (non-initial) automata and sequences of sets. From this bijection we extract a subfamily of quasi-distinguished automata. We obtain a better upper bound of the number of minimal automata than the one of M. Domaratzki.Then we construct a new bijection between $2m^k$-parking functions and (non-initial) acyclic automata over an alphabet of $k$ symbols. From this bijection we extract, from parking function, informations about automata structures. We deduce an enumeration formula of the minimal acyclic automata.In a third part, we formalize the common technique of polynomial realization of Hopf algebras: FQSym, WQSym, PQSym, etc.. We define a notion of type of alphabet and partitioning map. We highlight some operation which stabilizes these notions. Based on this, we define two constructions of dual combinatorial Hopf algebra; and we show that they are automatically endowed of dendriform coalgebra, and $#$-product.As an application, we define, for every family of $chi$-parking functions, a generalization of the parkization. We show that this is a partitionning map if and only if $chi : m mapsto 1 + b(m-1)$.

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires

Cette thèse présente quelques résultats de la théorie des représentations des algèbres de Cherednikrationnelles en t=0 et traite en particulier des différents ordres construits sur la partition de Calogero-Moserdes groupes imprimitifs.On commence par généraliser au cas abélien certains résultats obtenus par M. Chlouveraki concernant lesblocs d'algèbres en système de Clifford pour un groupe cyclique, puis on construit un ordre sur les C*-pointsfixes d'une variété complexe quasi-projective normale, en utilisant la décomposition de Bialynicki-Birula.Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la description des partitions de Calogero-Moser de deux groupesde réflexions complexes K et W quand K est un sous-groupe distingué de W et on généralise au cas abélienles résultats obtenus par G. Bellamy dans le cas d'un quotient W/K cyclique.Dans la troisième partie, on présente les différents ordres, construits par I. Gordon, sur la partition deCalogero-Moser des groupes G(l,1,n) pour certains paramètres : les ordres des a et c-fonctions, un ordrecombinatoire et l'ordre géométrique, qui est défini grâce aux C*-points fixes de certaines variétés decarquois, ces points fixes paramétrant les blocs de la partition de Calogero-Moser de G(l,1,n). On donneensuite les relations entre ces ordres, puis on étend ces constructions ainsi que ces liens à l'ensemble desparamètres.Enfin, dans la dernière partie, on tente de généraliser ces propriétés aux groupes G(l,e,n). On cherche alors,pour construire l'ordre géométrique sur la partition de Calogero-Moser de G(l,e,n), une variété dont les C*-points fixes décrivent les blocs de la partition de G(l,e,n). Dans le cas où e ne divise pas n, on construit lavariété qui nous permet de définir l'ordre géométrique et de le relier aux autres ordres. Pour le cas e divise n,on propose une variété qui pourrait décrire par ses points fixes les blocs de Calogero-Moser de G(l,e,n) etnous permettre de construire l'ordre géométrique.

Nous présentons différents résultats liés par les outils et les structures qu'ils font intervenir (intégrales itérées, produits de mélange). Dans la première partie, nous considérons le calcul de certaines intégrales de type Selberg et leurs limites lorsque le nombre de variables tend vers l'infini. Dans le cas général, on montre que le résultat s'exprime comme un produit dont le nombre de facteurs ne dépend pas du nombre de variables (sous certaines conditions). Si la puissance du déterminant de Vandermonde vaut 2, il est possible de calculer la limite de ces intégrales lorsque le nombre de variables tend vers l'infini à l'aide d'opérateurs liés à l'interpolation de Newton. Dans la seconde partie, nous étudions les propriétés de dépendance linéaire de familles de fonctions obtenues par intégrales itérées et donnons un critère qui permet d'assurer l'indépendance linéaire d'une famille infinie de fonctions à partir de l'étude des relations entre les fonctions obtenues par intégrales simples. Nous montrons comment construire effectivement les corps de germes de fonctions analytiques nécessaires et en donnons quelques exemples qui permettent d'étendre les résultats connus sur les hyperlogarithmes. Ensuite, nous étudions certaines bases de l'algèbre libre dans le but d'appliquer la factorisation de Schützenberger. Nous rappelons quelques résultats classiques, puis nous intéressons à la famille obtenue à partir des mots de Lyndon. Celle-ci ne permet pas d'écrire la factorisation qui nous intéresse mais nous précisons les caractéristiques de sa famille duale. Enfin, nous donnons un critère relatif à deux familles en dualité assurant que l'on peut écrire cette factorisation.

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires / This thesis comes within the scope of algebraic combinatorics and studies problems related to three orders on permutations: the two said weak orders (right and left) and the strong order or Bruhat order.We first look at the action of the symmetric group on multivariate polynomials. By using the emph{divided differences} operators, one can obtain some generalisations of the Schur function and form bases of non symmetric multivariate polynomials. This construction is similar to the one of Schur functions and also allows for geometric interpretations. We study more specifically the Grothendieck polynomials which were introduced by Lascoux and Schützenberger. Lascoux proved that a product of these polynomials can be interpreted in terms of a product of divided differences. By developing this product, we reobtain a result of Lenart and Postnikov and also prove that it can be interpreted as a sum over an interval of the Bruhat order. We also present our implementation of multivariate polynomials in Sage. This program allows for formal computation on different bases and also implements many changes of bases. It is based on the action of the divided differences operators. The bases include Schubert polynomials, Grothendieck polynomials and Key polynomials. In a second part, we study the emph{Tamari lattice} on binary trees. This lattice can be obtained as a quotient of the weak order. Each tree is associated with the interval of its linear extensions. We introduce a new object called, emph{interval-posets} of Tamari and show that they are in bijection with the intervals of the Tamari lattice. Using these objects, we give the recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given tree. We also give a new proof that the generating function of the intervals of the Tamari lattice satisfies some functional equation given by Chapoton. Our final contributions deals with the $m$-Tamari lattices. This family of lattices is a generalization of the classical Tamari lattice. It was introduced by Bergeron and Préville-Ratelle and was only known in terms of paths. We give the description of this order in terms of some family of binary trees, in bijection with $m+1$-ary trees. Thus, we generalize our previous results and obtain a recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given one and a new proof of the functional equation. We finish with the description of some new $"m"$ Hopf algebras which are generalizations of the known $FQSym$ on permutations and $PBT$ on binary trees