J'ai souhaité dans cet ouvrage approfondir l'étude de certaines notions fondamentales qui sont au cœur de la théorie des rapports ou des proportions. Mon but est de montrer comment aux XIIIe et XIVe siècles se constitue une nouvelle théorie qui a pour objet premier le rapport (il semblerait que le rapport soit secondaire dans la théorie euclidienne au profit de la notion de proportion). À propos de ce rapport, les auteurs que j'ai étudiés se posent la question de sa nature (relation ou quantité), de ses divisions (en particulier en rapports rationnels et rapports irrationnels) et de sa dénomination (c'est-à-dire de la manière dont il convient de le nommer ; question épineuse quand il s'agit d'un rapport irrationnel). Nicole Oresme en fait même un objet de calcul dans son Algorismus proportionum, dont je propose une édition critique en annexe de cet ouvrage. Je montre ainsi comment cette théorie s'ancre à la fois dans la tradition des Éléments d'Euclide et dans celle de l'Arithmétique de Nicomaque transmise au monde latin par Boèce ; mais je montre aussi que cette théorie est nouvelle en ce qu'elle présente des glissements conceptuels (notamment à propos de l'irrationalité), mais aussi de nouveaux concepts (comme la notion de dénomination d'un rapport).