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Representações dos Números Complexos e Transformações de Möbius / Representations of Complex Numbers and Möbius TransformationsCalister, Fernando Marques [UNESP] 19 August 2016 (has links)
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Previous issue date: 2016-08-19 / O objetivo deste trabalho é ampliar os conhecimentos sobre números complexos já adquiridos no ensino médio. Diversas formas de representação e propriedades operatórias são abordadas. Para este fim, primeiramente, os números complexos são definidos a partir do conceito de matrizes quadradas de ordem 2, e portanto, serão definidos como pares ordenados de números reais. Na sequência, a partir da apresentação geométrica dos conceitos e operações, é estudado o plano complexo estendido, as Transformações de Möbius e a Projeção Estereográfica. / The objective of this paper is to extend the concepts of complex numbers already acquired in high school. Many forms of representation and operative properties are used. For that, first, the complex numbers are defined from the concept of square matrices of order 2, and will therefore be defined as ordered pairs of real numbers. Following, from the geometric presentation of concepts and operations, it is studied the extended complex plane, the Möbius Transformations and the Stereographic Projection.
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Cálculo de geopressões utilizando transformações de domínio / Calculation of geopressure using conformal mappingSilva, U. F 26 October 2016 (has links)
Submitted by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-11-10T16:53:27Z
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Previous issue date: 2016-10-26 / The purpose of this work is to calculate the Surge and Swab geopressures inside eccentrics wells. There is eccentricity between the drill string and the well. The traditional theory to calculate these geopressures considers that the drill string and the well remain concentric throughout the process, which does not occur in reality. The analysis of this phenomenon is carried out, in which the fluid is confined between the two cylinders, the drill string and the well. The conformal mapping are used to transform the eccentric domain in concentric domain and thus find the real values of geopressures. The results obtained using the proposed methodology are presented and discussed. / O intuito deste trabalho é calcular as geopressões Surge e Swab em poços onde há excentricidade entre a coluna de perfuração e o poço. A teoria tradicional para cálculo destas geopressões considera que a coluna de perfuração e o poço permanecem concêntricos durante todo o processo, o que não ocorre na realidade. Realiza-se análise deste fenômeno, no qual o fluido é confinado entre os dois cilindros, coluna de perfuração e o poço. As transformações conformes são utilizadas para transformar o domínio excêntrico no domínio concêntrico e assim, encontrar os valores reais das geopressões, , não considerar a excentricidade nos cálculos, pode induzir a erros graves nos valores das pressões. Os resultados obtidos, utilizando a metodologia proposta, são apresentados e discutidos.
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Aspectos das transformações conformes na eletrodinâmica: invariância e leis de conservação / Aspects of the conformal transformations in the electrodynamics: invariance and conservation lawsSantos, Vaguiner Rodrigues dos 21 August 2013 (has links)
Neste trabalho, discutem-se aspectos das transformações conformes na eletrodinâmica clássica com ênfase na invariância e nas leis de conservação. Inicialmente, abordaram-se aspectos gerais das transformações conformes e fez-se um resumo histórico da evolução dessas transformações. Procurou-se fazer uma apresentação didática, revisando-se a formulação Lagrangiana e o Teorema de Noether para campos aplicado à eletrodinâmica. Estudaram-se as transformações conformes no espaço plano, onde se mostrou que para dimensões maiores ou iguais a três o número de transformações é finito. A partir das equações de Maxwell em coordenadas curvilíneas, chegou-se à condição para que essas equações mantivessem sua forma cartesiana. Com essa condição, mostrou-se que a eletrodinâmica clássica é invariante para o grupo de transformações conformes. Foram discutidas as leis de conservação associadas à invariância conforme da eletrodinâmica clássica a partir do teorema de Noether. Das simetrias por translações no espaço-tempo, obtiveram-se as leis de conservação do momento linear e da energia. Das simetrias associadas às rotações, obtiveram-se seis quantidades conservadas: três delas ligadas à conservação do momento angular e, com relação às três restantes, observou-se, a partir de analogias com a mecânica, que estavam associadas ao movimento do centro de energia do campo. Para a interpretação da grandeza conservada por simetria de escala, verificou-se, também a partir de uma analogia mecânica, que essa simetria somente é verificada para partículas não massivas ou para partículas massivas a altas energias. Finalmente, para as transformações conformes especiais, verificou-se que as leis de conservação resultantes são consequências das leis anteriores de conservação para o campo eletromagnético, e neste caso, essa simetria também somente se manifesta para partículas de massa nula ou para altas energias. / In this work, aspects of conformal transformations in classical electrodynamics are discussed with emphasis on the invariance and conservation laws. Initially, a general view of conformal transformations was shown and a summary of the historical evolution of those transformations was presented. The work was approached didactically, and Noethers theorem based on the electrodynamics Lagrangian formulation was revised. The conformal transformations were studied in plane spaces and it was shown that, for dimensions greater than or equal to three, the number of transformations is finite. Starting from Maxwells equations in curvilinear coordinates, a condition for maintaining those equations in Cartesian form was established. With that condition, it was shown that the classical electrodynamics laws are invariant for the group of conformal transformations. The conservation laws associated with the conformal invariance of classical electrodynamics were discussed, based on Noethers theorem. From the space-time translation symmetry, the laws of conservation of linear momentum and of energy were obtained. From rotational symmetry, six conserved quantities were obtained: three of them associated with angular momentum and the remaining three, observed, starting from analogies with mechanics, were associated with the movement of the center of energy of the field. For the interpretation of the quantity conserved by scale symmetry, it was verified, also from a mechanical analogy, that that symmetry is only valid for null mass particles or for high energies. Finally, for the special conformal transformations, it was verified that the resultant laws of conservation are consequences of the previous laws, and in that case, symmetry is also valid only for particles of null mass or for high energies.
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Aplicações das transformações conformes em problemas eletromagnéticos / Application of conformal transformations in electromagnetic problemsCunha, Ricardo Ferreira da 11 July 2014 (has links)
Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2016-03-09T12:52:41Z
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Previous issue date: 2014-07-11 / In this work we describe soem properties of the complex numbers and analytical functions. As an application, we use the conformal transformations to caculate analytical solutions for electromagnetic problems defined in nonconventional domain. The conformal transformation are of excepcional importance in solving boundary value problems in electromagnetic theory. The conformal transformation have the property of modifying the geometry, but preserving the pysical quantities. / Neste trabalho descrevemos algumas propriedades dos números complexos e das funções analíticas complexas. Como aplicação, usamos as transformações conformes para calcular de forma analítica a solução de problemas eletromagnéticos definidos em domínios não convencionais. As transformações conformes são de excepcional importância na resolução de problemas de valores de contorno na teoria eletromagnética. As transformações conformes têm a propriedade de modificar a geometria, preservando as grandezas físicas.
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Aspectos das transformações conformes na eletrodinâmica: invariância e leis de conservação / Aspects of the conformal transformations in the electrodynamics: invariance and conservation lawsVaguiner Rodrigues dos Santos 21 August 2013 (has links)
Neste trabalho, discutem-se aspectos das transformações conformes na eletrodinâmica clássica com ênfase na invariância e nas leis de conservação. Inicialmente, abordaram-se aspectos gerais das transformações conformes e fez-se um resumo histórico da evolução dessas transformações. Procurou-se fazer uma apresentação didática, revisando-se a formulação Lagrangiana e o Teorema de Noether para campos aplicado à eletrodinâmica. Estudaram-se as transformações conformes no espaço plano, onde se mostrou que para dimensões maiores ou iguais a três o número de transformações é finito. A partir das equações de Maxwell em coordenadas curvilíneas, chegou-se à condição para que essas equações mantivessem sua forma cartesiana. Com essa condição, mostrou-se que a eletrodinâmica clássica é invariante para o grupo de transformações conformes. Foram discutidas as leis de conservação associadas à invariância conforme da eletrodinâmica clássica a partir do teorema de Noether. Das simetrias por translações no espaço-tempo, obtiveram-se as leis de conservação do momento linear e da energia. Das simetrias associadas às rotações, obtiveram-se seis quantidades conservadas: três delas ligadas à conservação do momento angular e, com relação às três restantes, observou-se, a partir de analogias com a mecânica, que estavam associadas ao movimento do centro de energia do campo. Para a interpretação da grandeza conservada por simetria de escala, verificou-se, também a partir de uma analogia mecânica, que essa simetria somente é verificada para partículas não massivas ou para partículas massivas a altas energias. Finalmente, para as transformações conformes especiais, verificou-se que as leis de conservação resultantes são consequências das leis anteriores de conservação para o campo eletromagnético, e neste caso, essa simetria também somente se manifesta para partículas de massa nula ou para altas energias. / In this work, aspects of conformal transformations in classical electrodynamics are discussed with emphasis on the invariance and conservation laws. Initially, a general view of conformal transformations was shown and a summary of the historical evolution of those transformations was presented. The work was approached didactically, and Noethers theorem based on the electrodynamics Lagrangian formulation was revised. The conformal transformations were studied in plane spaces and it was shown that, for dimensions greater than or equal to three, the number of transformations is finite. Starting from Maxwells equations in curvilinear coordinates, a condition for maintaining those equations in Cartesian form was established. With that condition, it was shown that the classical electrodynamics laws are invariant for the group of conformal transformations. The conservation laws associated with the conformal invariance of classical electrodynamics were discussed, based on Noethers theorem. From the space-time translation symmetry, the laws of conservation of linear momentum and of energy were obtained. From rotational symmetry, six conserved quantities were obtained: three of them associated with angular momentum and the remaining three, observed, starting from analogies with mechanics, were associated with the movement of the center of energy of the field. For the interpretation of the quantity conserved by scale symmetry, it was verified, also from a mechanical analogy, that that symmetry is only valid for null mass particles or for high energies. Finally, for the special conformal transformations, it was verified that the resultant laws of conservation are consequences of the previous laws, and in that case, symmetry is also valid only for particles of null mass or for high energies.
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Estudos sobre o modelo O(N) na rede quadrada e dinâmica de bolhas na célula de Hele-ShawSILVA, Antônio Márcio Pereira 26 August 2013 (has links)
Submitted by Fabio Sobreira Campos da Costa (fabio.sobreira@ufpe.br) on 2016-06-29T13:52:59Z
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Previous issue date: 2013-08-26 / CNPq / No presente trabalho duas classes de problemas são abordadas. Primeiramente, são apresentados
estudos computacionais sobre o modelo O(n) de spins na rede quadrada, e em seguida
apresentamos novas soluções exatas para a dinâmica de bolhas na célula de Hele-Shaw. O estudo
do modelo O(n) é feito utilizando sua representação em laços (cadeias fechadas), a qual
é obtida a partir de uma expansão para altas temperaturas. Nesse representação, a função de
partição do modelo possui uma expansão diagramática em que cada termo depende do número
e comprimento total de laços e do número de (auto)interseções entre esses laços. Propriedades
críticas do modelo de laços O(n) são obtidas através de conceitos oriundos da teoria de percolação.
Para executar as simulações Monte Carlo, usamos o eficiente algoritmo WORM, o qual
realiza atualizações locais através do movimento da extremidade de uma cadeia aberta denominada
de verme e não sofre com o problema de "critical slowing down". Para implementar
esse algoritmo de forma eficiente para o modelo O(n) na rede quadrada, fazemos uso de um
nova estrutura de dados conhecida como listas satélites. Apresentamos estimativas para o ponto
crítico do modelo para vários valores de n no intervalo de 0 < n ≤ 2. Usamos as estatísticas de
laços e vermes para extrair, respectivamente, os expoentes críticos térmicos e magnéticos do
modelo. No estudo de dinâmica de interfaces, apresentamos uma solução exata bastante geral
para um arranjo periódico de bolhas movendo-se com velocidade constante ao longo de uma
célula de Hele-Shaw. Usando a periodicidade da solução, o domínio relevante do problema
pode ser reduzido a uma célula unitária que contém uma única bolha. Nenhuma imposição de
simetria sobre forma da bolha é feita, de modo que a solução é capaz de produzir bolhas completamente
assimétricas. Nossa solução é obtida por métodos de transformações conformes
entre domínios duplamente conexos, onde utilizamos a transformação de Schwarz-Christoffel
generalizada para essa classe de domínios. / In this thesis two classes of problems are discussed. First, we present computational studies of
the O(n) spin model on the square lattice and determine its critical properties, whereas in the
second part of the thesis we present new exact solutions for bubble dynamics in a Hele-Shaw
cell. The O(n) model is investigated by using its loop representation which is obtained from a
high-temperature expansion of the original model. In this representation, the partition function
admits an diagrammatic expansion in which each term depends on the number and total length
of loops (closed graphs) as well as on the number of intersections between these loops. Critical
properties of the O(n) model are obtained by employing concepts from percolation theory. To
perform Monte Carlo simulations of the model, we use the WORM algorithm, which is an
efficient algorithm that performs local updates through the motion of one of the ends (called
head) of an open chain (called worm) and hence does not suffer from “critical slowing down”.
To implement this algorithm efficiently for the O(n) model on the square lattice, we make
use of a new data structure known as a satellite list. We present estimates for the critical
point of the model for various values of n in the range 0 < n ≤ 2. We use the statistics about
the loops and the worm to extract the thermal and magnetic critical exponents of the model,
respectively. In our study about interface dynamics, we present a rather general exact solution
for a periodic array of bubbles moving with constant velocity in a Hele-Shaw cell. Using the
periodicity of the solution, the relevant domain of the problem can be reduced to a unit cell
containing a single bubble. No symmetry requirement is imposed on the bubble shape, so
that the solution is capable of generating completely asymmetrical bubbles. Our solution is
obtained by using conformal mappings between doubly-connected domains and employing the
generalized Schwarz-Christoffel formula for this class of domains.
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