A t-spanner of a graph G is a subgraph H of G, which the distance between any two vertices in H is at most t times their distance in G. A tree t-spanner of G is a t-spanner which is a tree. In this dissertation, we discuss the t-spanners on trapezoid, permutation, and interval graphs. We first introduce an O(n) algorithm for finding a tree 4-spanner on trapezoid graphs. Then, give an O(n)algorithm for finding a tree 3-spanner on permutation graphs, improving the existed O(n + m) algorithm. Since the class of permutation graphs is a subclass of trapezoid graphs, we can apply the algorithm on permutation graphs to find the approximation of a tree 3-spanner on trapezoid graphs in O(n) time with edge bound 2n. Finally, we show that not all interval graphs have a tree 2-spanner.

Avec plus de 1000 génomes complets disponibles (la grande majorité venant de bactéries), les analyses comparatives de génomes deviennent indispensables pour leurs annotations fonctionnelles, ainsi que pour la compréhension de leur structure et leur évolution, et s'appliquent par exemple en phylogénomique ou au design des vaccins. L'une des approches de plus utilisées pour comparer des génomes est l'alignement de leurs séquences d'ADN, i.e. alignement de génomes complets, c'est à dire identifier les régions de similarité en s'affranchissant de toute annotation. Malgré des améliorations significatives durant les dernières années, des outils performants pour cette approche ainsi que des méthodes pour l'estimation de la qualité des résultats qu'elle produit, en particulier sur les génomes bactériens, restent encore à développer. Outre leurs grandes tailles qui rendent les solutions classiques basées sur la programmation dynamique inutilisables, l'alignement de génomes complets posent des difficultés supplémentaires dues à leur évolution particulière, comprenant: la divergence, qui estompe les similarités entre les séquences, le réordonnancent des portions génomiques (réarrangements), ou l'acquisition de matériel génétique extérieur, qui produit des régions non alignables entres les séquences, e.g. transfert horizontal des gènes, phages. En conséquence, les solutions pour l'alignement de génomes sont des heuristiques, dont la plus commune est appelée stratégie basée sur des ancres. Cette stratégie commence par identifier un ensemble initial de régions de similarité (phase 1). Ensuite une phase de chaînage sélectionne un sous-ensemble (non-chevauchantes et généralement colinéaires) de ces similarités de poids maximal, nommées ancres (phase 2). Les phases 1 et 2 sont appliquées de manière récursive sur les régions encore non-alignées (phase 3). La dernière phase consiste en l'application systématique des outils d'alignement classiques sur toutes les régions courtes qui n'ont pas encore été alignées. Cette thèse adresse plusieurs problèmes liés à l'alignement de génomes complets dont: l'évaluation de la qualité des résultats produits par les outils d'alignement et l'amélioration de la stratégie basée sur des ancres. Premièrement, nous avons créé un protocole pour évaluer la qualité des résultats d'alignement, contenant des mesures de calcul quantitatives et qualitatives, dont certaines basées sur des connaissances biologiques. Une analyse de la qualité des alignements produits par deux des principaux outils existants sur des paires de génomes bactériens intra-espèces révèle leurs limitations: des similarités non détectées et des portions d'alignement incorrectes. À partir de ces résultats, qui suggèrent un manque de sensibilité et spécificité, nous proposons un nouvel outil pour l'alignement deux à deux de génomes complets, YOC, qui implémente une version simplifiée de la stratégie basée sur des ancres, contenant seulement deux phases. Dans la phase 1, YOC améliore la sensibilité en utilisant comme ancres, pour la première fois dans cette stratégie, des similarités locales basées sur des graines espacées, capables de détecter des similarités plus longues dans des régions plus divergentes. Cette phase est suivie par une méthode de chainage adaptée aux similarités locales, un nouveau type de chaînage colinéaire, permettant des chevauchements proportionnels. Nous avons donné une formulation de ce nouveau problème et réalisé un premier algorithme. L'algorithme, qui adopte une approche de programmation dynamique basée sur le paradigme de la ``sweep-line'', donne une solution optimale, i.e. est exacte, et s'exécute en temps quadratique. Nous avons montré que cet algorithme, comparé au chainage colinéaire classique, améliore les résultats sur des génomes bactériens, tout en restant aussi efficace en pratique. / With more than 1000 complete genomes available (among which, the vast majority come from bacteria), comparative genomic analysis become essential for the functional annotation of genomes, the understanding of their structure and evolution and have applications in phylogenomics or vaccine design. One of the main approaches for comparing genomes is by aligning their DNA sequences, i.e. whole genome alignment (WGA), which means identifying the similarity regions without any prior annotation knowledge. Despite the significant improvements during the last years, reliable tools for WGA and methodology for estimating its quality, in particular for bacterial genomes, still need to be designed. Besides their extremely large lengths that make classical dynamic programming alignment methods unsuitable, aligning whole genomes involves several additional difficulties, due to the mechanisms through which genomes evolve: the divergence, which let sequence sim ilarity vanish over time, the reordering of genomic segments (rearrangements), or the acquisition of external genetic material generating regions that are unalignable between sequences, e.g. horizontal gene transfer, phages. Therefore, whole genome alignment tools implement heuristics, among which the most common is the anchor based strategy. It starts by detecting an initial set of similarity regions (phase 1), and, through a chaining phase (phase 2), selects a non-overlapping maximum-weighted, usually collinear, subset of those similarities, called anchors. Phases 1 and 2 are recursively applied on yet unaligned regions (phase 3). The last phase (phase 4) consists in systematically applying classical alignment tools to all short regions still left unaligned.This thesis addresses several problems related to whole genome alignment: the evaluation of the quality of results given by WGA tools and the improvement of the classical anchor based strategy. We first designed a protocol for evaluating the quality of alignment results, based on both computational and biological measures. An evaluation of the results given by two state of the art WGA tools on pairs of intra-species bacterial genomes revealed their shortcomings: the failure of detecting some of the similarities between sequences and the misalignment of some regions. Based on these results, which imply a lack in both sensitivity and specificity, we propose a novel, pairwise whole genome alignment tool, YOC, implementing a simplified two-phase version of the anchor strategy. In phase 1, YOC improves sensitivity by using as anchors, for the first time, local similarities based on spaced seeds that are capable of detecting larger similarity regions in divergent sequences. This ph ase is followed by a chaining method adapted to local similarities, a novel type of collinear chaining, allowing for proportional overlaps. We give a formulation for this novel problem and provide the first algorithm for it. The algorithm, implementing a dynamic programming approach based on the sweep-line paradigm, is exact and runs in quadratic time. We show that, compared to classical collinear chaining, chaining with overlaps improves on real bacterial data, while remaining almost as efficient in practice. Our novel tool, YOC, is evaluated together with other four WGA tools on a dataset composed of 694 pairs of intra-species bacterial genomes. The results show that YOC improves on divergent cases by detecting more distant similarities and by avoiding misaligned regions. In conclusion, YOC should be easier to apply automatically and systematically to incoming genomes, for it does not require a post-filtering step to detect misalignment and is less complex to calibrate.