Tübingen, Univ., Diss., 2007.

Techn. Universiẗat, Diss.--Hamburg-Harburg, 2003.

Zugl.: Erlangen, Nürnberg, Universiẗat, Diss.

Stuttgart, Univ., Diss., 2003.

Zugl.: Bonn, Universiẗat, Diss., 1998.

Techn. Universiẗat, Diss., 2004--Dresden.

In order to describe complex molecular systems theoretically, an efficient and reliable solution to the underlying quantum mechanical equations of motion is required. Density functional theory (DFT) represents in most cases the best compromise between accuracy and efficiency for the treatment of electronic interactions. In Kohn-Sham DFT, the non-classical contribution to electron-electron interactions is gathered in the exchange-correlation functional, which has to be approximated in practice. While a large number of exchange-correlation functionals are of semi-empirical nature, some have been derived from physical considerations exclusively. In so-called global hybrid functionals a constant amount of the integrated DFT exchange-energy density is replaced by the exact-exchange energy from Hartree-Fock theory. The most popular functional, B3LYP, contains 20 % exact exchange and several empirical parameters. It has been discovered that the optimal amount of exact exchange depends to a large extent on the molecular property to be computed. A possible solution to this problem is to use local hybrid functionals. Therein, the admixture of exact exchange is controlled by a position-dependent local mixing function (LMF), leading to molecule-specific amounts of exact exchange. In this work a semi-empirical approach is pursued for the development of new local hybrid functionals. Parameterized LMFs are introduced in the exchange-energy density integrals, for which the DFT contributions are taken from established approximations to the exchange-correlation functional. The LMFs developed here contain at least one empirical parameter and a variable that depends on the ratio of the von-Weizsäcker single-particle kinetic energy density to the correlated kinetic-energy density (the so-called t-LMFs), or on the reduced density gradient (referred to as s-LMF). Additional LMFs are obtained by inclusion of the spin polarization. All parameters are fitted to atomization energies and reaction barriers of well-established test sets. Visualization of the LMFs provides an additional tool for analyzing their physical and chemical behavior, potentially leading to further developments. As a general trend, an increasing exact-exchange admixture is observed upon bond stretching for all LMFs, with a more pronounced effect for t-LMFs. This observation correlates with a better performance for reaction barriers of t -LMF-based local hybrid functionals. Most of the local hybrid functionals discussed in this work are based on the exchange and correlation functional from the local spin density approximation (LSDA) and contain therefore no gradient correction such as in the generalized gradient approximation (GGA). The new functionals were initially implemented non-self-consistently into a development version of the quantum chemical Turbomole program package. That is, only the total energy is calculated for a given set of molecular orbitals or electron density, respectively. This is a reliable approximation that allows for significant time savings especially during parameter optimizations. In order to calculate orbital-dependent molecular properties, the local hybrid potential corresponding to the local hybrid energy is required as well. It is obtained as a functional derivative of the exchange-correlation energy with respect to the orbitals. Some of the resulting integrals contain the LMF-weighted non-local exact-exchange potential. These terms as well as the exact-exchange energy density itself cannot be calculated analytically. Following a well-established approach, they have been approximated using a basis set expansion of the exact-exchange potential. For simplicity, the underlying atomic basis set is employed in this resolution of the identity (RI) approximation. For comparison and in view of the optimization of auxiliary basis sets, the optional calculation of the potential by numerical integration has also been implemented in this work. The computational cost of local hybrid calculations for a given basis set, using the RI approximation is comparable to the one of gobal hybrid functionals: a slightly larger prefactor applies to a calculation with a local hybrid functional as compared to a meta-GGA global hybrid, while the scaling of computational effort as a function of system size is the same. Several molecular test sets including atomization energies, barrier heights, dissociation energies and equilibrium distances have been considered for the assessment. Some of them represent particular challenges for current density functional approximations. All of the discussed local hybrid functionals yield significantly better results for the 223 atomization energies of the G3 test set than the B3LYP functional. Especially local hybrid functionals with spin-polarized t -LMFs gives impressively small mean absolute errors for the G3 set. Most of our functionals are in addition significantly superior to B3LYP for the calculation of barrier heights. Some other global hybrid functionals perform even better than our functionals for barriers, but their intrinsic amount of exact exchange is inappropriately high for thermochemical property calculations. For the first time, LSDA-based local hybrid functional have thus been presented that gives accurate results for thermochemistry and reaction barriers simultaneously. The dissociation behavior of symmetric radical cations remains a challenge for the local hybrid functionals presented here. Dissociation energies are significantly overestimated, and the equilibrium distances are too short. The results are overall only slightly better than those obtained using the B3LYP functional. A larger amount of exact exchange is most likely needed for these systems to reduce self-interaction errors. Additionally, the performance of local hybrid functionals for 3d transition metal dimers and monohydrides has been studied. An accurate description of dynamical and nondynamical correlation is essential for the former. The poor performance of most exchange-correlation functionals for transition metal monohydrides can be attributed to self-interaction errors. Our local hybrid functionals perform similarly to B3LYP for the dimers and marginally better for the monohydrides. They do not provide any improvement for the atomic s-d transfer energies of 3d metals. The most suitable local hybrid functional for this particular property uses a s-LMF in the exchange functional and the LYP correlation functional. It yields, however, only average-quality results for thermochemistry and kinetics. Satisfactory results similar to B3LYP are obtained for the isotropic hyperfine coupling constants (HFCCs) of small main group compounds with a t-LMF-based local hybrid functional. The RI approximation to the local hybrid potential has been validated by comparing it to the numerically exact potential for the calculation of total energies, isotropic HFCCs and orbital energies. The error in total energies due to the RI approximation is comparatively small considering the rather large deviations from experimental values. Comparison of mean absolute errors from experimental values of the 26 isotropic HFCCs reveals only small differences between the RI and the numerically exact local hybrid potential. Further analysis shows that inaccuracies in the RI potential may have a larger impact on the isotropic HFCCs or the orbital energies of a particular molecule, especially if only small or medium-sized basis sets are employed. Several of the local hybrid functionals are suitable for the calculation of thermochemical and kinetic properties. Different functionals yield also results similar to other commonly used functionals for isotropic HFCCs of small main group compounds, as well as for the dissociation energies and equilibrium distances of 3d transition metal dimers and monohydrides. The local hybrid functionals studied in this work represent therefore an important step towards the development of universal approximations to the exchange-correlation functional. For a more accurate description of certain transition metal properties and the dissociation behavior of symmetric radical cations while maintaining a good performance for thermochemistry and kinetics, more complex LMFs will have to be considered. Ultimately a local hybrid functional with meta-GGA exchange and correlation energy densities that fulfills more exact constraints is desirable. Therefore further studies on the different gauges of the exchange energy densities are necessary. Another possibility would be the development of a specifically designed correlation functional to be combined with a local hybrid exchange functional based on the LSDA. More detailed studies on the quality of the RI approximation are recommended. Possible properties for this purpose include, e.g., ionization energies and electron affinities. Auxiliary basis sets should be implemented and optimized for the expansion of the exact-exchange potential in order to avoid additional deviations due to the RI-approximation or even fortuitously good results in the assessment of local hybrid functionals with normally contracted basis sets. Since density functional methods are applied extensively for structure optimizations, the gradient of the local hybrid energy with respect to the nuclear coordinates should be implemented to enable this feature in future versions of the code. / Für die Lösung der quantenmechanischen Bewegungsgleichungen, die komplexe, molekulare Systeme beschreiben, sind effiziente und verlässliche Näherungsverfahren erforderlich. Die Dichtefunktionaltheorie (DFT) stellt für die Behandlung der Elektronenwechselwirkung in vielen Fällen den besten Kompromiss zwischen Effizienz und Genauigkeit dar. Im Rahmen der DFT wird die gesamte nicht-klassische Elektron-Elektron-Wechselwirkung im so genannten Austausch-Korrelationsfunktional angenähert. Viele solcher Näherungen sind semi-empirischer Natur, andere wurden ausschließlich von physikalischen Überlegungen abgeleitet. In globalen Hybridfunktionale wird ein konstanter Anteil der integrierten DFT-Austauschenergiedichte durch exakten Austausch aus der Hartree-Fock Näherung ersetzt. Das populärste Funktional B3LYP enthält 20 % exakten Austausch und mehrere empirische Parameter. Der optimale Prozentsatz hängt allerdings sehr stark von den zu berechnenden Systemen und molekularen Eigenschaften ab. Eine Lösung dieses Problems sollten lokale Hybridfunktionale liefern, in denen die Beimischung der exakten Austauschenergiedichte über eine lokale Mischfunktion (LMF) gesteuert wird und daher positions- und molekülabhängig ist. In dieser Arbeit wird ein semi-empirischer Ansatz für die Entwicklung neuer lokaler Hybridfunktionale verfolgt: während die Energiedichten unverändert aus etablierten Näherungen zum Austauschkorrelationsfunktional übernommen werden, stehen parametrisierte LMFs im Zentrum der Untersuchungen. Die verschiedenen LMFs beinhalten neben mindestens einem empirischen Parameter eine Variable die vom Quotienten der von-Weizsäcker kinetischen Energiedichte und der korrelierten kinetischen Energiedichte (sogenannte t-LMFs) bzw. dem reduzierten Dichtegradienten (bezeichnet als t-LMFs) abhängt. Weitere LMFs werden durch zusätzliche Berücksichtigung der Spinpolarisation erhalten. Alle Parameter werden an Atomisierungsenergien bzw. Reaktionsbarrieren bekannter molekularer Testsätze gefittet. Durch Visualisierung der LMFs können zusätzlich Einblicke in den physikalischen Hintergrund und in Möglichkeiten der Weiterentwicklung gewonnen werden. Es wurde beispielsweise beobachtet, dass entlang einer gedehnten Bindung höhere Werte der LMF und damit größere Beimischungen exakter Austauschenergie in Übergangszuständen einhergehen. Dieser Effekt ist für t-LMFs am ausgeprägtesten und korreliert mit besseren Ergebnissen für Reaktionsbarrieren mit lokalen Hybridfunktionalen, die auf einer t-LMF basieren. Bis auf wenige Ausnahmen leiten sich die lokalen Hybridfunktionale in dieser Arbeit aus dem Austausch- und Korrelationsfunktional der lokalen Dichtenäherung (LSDA) ab und enthalten keine Gradientenkorrektur im Sinne der GGA (generalized gradient approximation). Die neuen Funktionale wurden zunächst nicht-selbstkonsistent in eine Entwicklerversion des quantenchemischen Programmpaketes Turbomole implementiert. Das bedeutet, für gegebene Molekülorbitale bzw. eine gegeben Elektronendichte kann lediglich die Gesamtenergie berechnet werden. Dies ist eine anerkannte Näherung, die vor allem für die Optimierung der Parameter eine große Zeitersparnis darstellt. Um letztlich orbitalabhängige, molekulare Eigenschaften berechnen zu können wird neben der Gesamtenergie auch noch das zugehörige lokale Hybridpotential benötigt. Für die selbstkonsistente Implementierung wird die funktionale Ableitung der Austauschkorrelationsenergie nach den Orbitalen bestimmt. Daraus resultierend müssen neben den üblichen lokalen Austauschkorrelationspotentialtermen auch Integrale berechnet werden, die das mit der LMF gewichtete nicht-lokale exakte Austauschpotential enthalten. Die entsprechenden Terme kann man, genauso wie die exakte Austauschenergiedichte an sich, nicht analytisch berechnen. Früheren Ansätzen folgend wurden sie in der vorliegenden Arbeit in einer Basissatzentwicklung angenähert, wobei der Einfachheit halber die atomaren Basisfunktionen verwendet wurden. Um die Genauigkeit dieser sogenannten RI (resolution of the identity)-Näherung validieren zu können und auch schon im Hinblick auf die Anpassung einer Hilfsbasis, wurde darüber hinaus die numerische Berechnung aller Integrale, die das exakte Austauschpotential und die entsprechende Energiedichte enthalten, implementiert. Unter Verwendung der RI-Näherung ist der Rechenaufwand lokaler Hybride vergleichbar mit dem globaler Hybridfunktionale: Während die formale Skalierung in Abhängigkeit der Systemgröße gleich ist, ergab sich ein etwas höherer Vorfaktor für die lokalen Hybride. Verschiedene Literaturbekannte Testsätze mit Atomisierungsenergien, Reaktionsbarrieren, Dissoziationsenergien oder Gleichgewichtsabständen, die teilweise einige Schwächen bisheriger Dichtefunktionalnäherungen aufdecken, wurden berücksichtigt. Für die 223 Atomisierungsenergien des G3 Testsatzes stellen alle unsere Funktionale eine signifikante Verbesserung gegenüber B3LYP dar. Atomisierungsenergien sind insofern ein sensibler Test, da alle Bindungen gebrochen werden und Fehlerkompensation eine untergeordnete Rolle spielt. Vor allem lokale Hybridfunktionale, deren LMFs neben der kinetischen Energiedichte explizit von der Spinpolarisation abhängen, lieferten hervorragende Resultate. Obwohl im Vergleich zu Atomisierungsenergien für die korrekte Berechnung von Reaktionsbarrieren im Allgemeinen mehr exakter Austausch benötigt wird, sind unsere Funktionale auch für zwei Testsätze mit jeweils 38 Reaktionsbarrieren besser als B3LYP. Zwar kann mit einem globalen Hybrid mit 50 % exaktem Austausch eine geringere Abweichung von den Richtwerten erzielt werden, aber ein solches Funktional ist für thermochemische Daten unzureichend. Hier wurde erstmals gezeigt, dass lokale Hybridfunktionale ohne Gradientenkorrektur sowohl für Thermochemie als auch für Kinetik zufrieden stellende Ergebnisse liefern können. Das Dissoziationsverhalten symmetrischer Radikalkationen stellt für die hier diskutierten Dichtefunktionale nach wie vor eine Herausforderung dar: Die Dissoziationsenergien von sieben Modellsystemen werden mit unseren Funktionalen stark überschätzt und Gleichgewichtsabstände unterschätzt. Insgesamt sind die Werte nur marginal besser als mit B3LYP. Neben Eigenschaften von Hauptgruppenverbindungen wurden zudem Übergangsmetalldimere und -monohydride untersucht. Für erstere ist eine gute Beschreibung dynamischer sowie statischer Elektronenkorrelation ausschlaggebend. In den Hydriden andererseits dominiert mit gängigen Dichtefunktionalen die unphysikalische Selbstwechselwirkung eines Elektrons mit sich selbst. Für die 3d-Übergangsmetalldimere sind die getesteten Funktionale genauso gut wie B3LYP und für die Hydride etwas besser. Atomare s-d Transferenergien von 3d Übergangsmetallen verbleiben auch für unsere lokalen Hybridfunktionale, die insgesamt schlechtere Ergebnisse erzielen als B3LYP, noch problematisch. Das hierfür geeignetste lokale Hybridfunktional basiert auf einer s-LMF und beinhaltet LYP Korrelation. Für die isotropen Hyperfeinkopplungskonstanten (HFCCs) kleiner Hauptgruppenverbindungen wurden zufriedenstellende Ergebnisse (ähnlich wie B3LYP) mit einem t-LMF basierten lokalen Hybrid erzielt. Die RI Näherung zum lokalen Hybridpotential wurde dem numerisch exakten Potential für die Berechnung von Gesamtenergien, isotrope HFCCs und Orbitalenergien für verschiedene Basissätze gegenübergestellt. Wie erwartet ist der Fehler für Gesamtenergien mit der RI-Näherungen vergleichsweise gering, vor allem relativ zu den verbleibenden Abweichungen von experimentellen Energien. Der Vergleich der mittleren absoluten Abweichung von experimentellen Werten für 26 isotrope HFCCs zeigt sogar für mittelgroße und kontrahierte IGLO Basissätze nur geringe Unterschiede zwischen dem RI-Potential und dem numerisch exakten lokalen Hybridpotential. Die Analyse der HFCCs einzelner Moleküle und der Orbitalenergien des CN Moleküls offenbart allerdings, dass Ungenauigkeiten aufgrund der RI-Näherung hier eine größere Rolle spielen, vor allem wenn zu kleine atomare Basissätze verwendet werden. Von den untersuchten lokalen Hybriden stellen sich einige als hervorragende Kandidaten für die Berechnung thermochemischer und kinetischer Eigenschaften heraus. Jeweils unterschiedliche Funktionale erzielen darüber hinaus mit den besten bekannten Funktionalen vergleichbare Ergebnisse für isotrope Hyperfeinkopplungskonstanten und ausgewählte Eigenschaften kleiner Übergangsmetallverbindungen. Die in dieser Arbeit präsentierten lokalen Hybridfunktionale stellen daher einen wichtigen Schritt in der Entwicklung universeller Näherungen zum Austauschkorrelationsfunktional dar. Zur akkuraten Beschreibung molekularer Eigenschaften von Übergangsmetallkomplexen und dem Dissoziationsverhalten von Radikal-Kation-Dimeren neben Thermochemie und Kinetik, werden in Zukunft wohl komplexere LMFs benötigt. Um konkurrenzfähige lokale Hybride mit gradientenkorrigierter Austausch- und Korrelationsenergiedichte zu entwickeln, müssen darüber hinaus weitere Studien zum Einfluss des abweichenden Eichursprungs der miteinander kombinierten Austauschenergiedichten durchgeführt werden. Eine andere Möglichkeit ist die Entwicklung speziell abgestimmter Korrelationsfunktionale für lokale Hybride. Außerdem sollte die Qualität der RI-Näherung zum lokalen Hybridpotential detaillierter untersucht werden. Hierfür könnten zum Beispiel Ionisierungsenergien und Elektronenaffinitäten herangezogen werden. Um zusätzliche Abweichungen oder sogar fälschlicherweise "zu gute" Ergebnisse bei Validierungsrechnungen zu vermeiden, sollten Hilfsbasen für die Entwicklung des nicht-lokalen exakten Austauschpotentials implementiert und optimiert werden. Einer der nächsten Implementierungsschritte sollte auch Gradienten bezüglich der Kernkoordinaten beinhalten, um die Validierung der neuen lokalen Hybridfunktionale auf Strukturoptimierungen auszuweiten.

Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2006.

Zugl.: Greifswald, Universiẗat, Diss., 2008.

Univ., Diss.--Würzburg, 2001.