It is commonly expected, that the entanglement entropy for eigenstates of quantum chaotic systems can be described by random matrix theory. However, the random matrix predictions account for structureless random states, only. It is unclear, how the subsystem structure of actual bipartite systems influences the entanglement. We investigate the effect of such a structure on the bipartite entanglement for eigenstates of time-periodically kicked Floquet systems. To this end, the expression for the eigenstate entanglement is transferred into a dynamical quantity, which is particularly suited for an evaluation using analytical methods for time evolution. We present three approaches and apply each to an appropriate minimal model. Based on the supersymmetry method, we compute the entanglement of structureless random matrices and thereby establish exact results for the entropy of random matrix eigenstates. The Weingarten calculus is used for computing the entanglement of an inherent bipartite random matrix ensemble. Moreover, based on semiclassical path integrals, we devise a trace formula, which quantifies entanglement of chaotic Floquet systems in terms of classical orbits. We thereby show, that the entanglement of strongly coupled bipartite Floquet systems coincides in the semiclassical limit with the entanglement of structureless random matrices. Several possible generalizations of our methods to autonomous systems and other entropies are discussed.:1. Introduction 2. Fundamentals on bipartite systems and entanglement 2.1. Classical and quantum chaotic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Classical mechanical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2. Quantum systems and random matrix theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Objective of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Random matrix methods for entanglement in bipartite chaotic systems 3.1. Entropy formulation in terms of Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Weingarten calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2. Inverse participation ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.3. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Linear entropy by the supersymmetry method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1. Gaussian integrals and the generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2. Supersymmetric integrals and generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.3. Entropy of the CUE case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Semiclassical method for entanglement in bipartite chaotic systems 4.1. Path integrals and trace formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.1. Path integral formulation of propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.2. Trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2. Rescaled path integral formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.3. Order \hbar correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5. Generalizations 5.1. Supersymmetry method for bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Resummation via Cayley-Hamilton inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3. Havrda-Charvát-Tsallis entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4. Autonomous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5. Entanglement generated by a time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6. Summary and outlook Appendix A. Weingarten calculus for the first steps of the IPR signal function . . . . . . . . . . .99 B. Color-Flavor transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C. Detailed calculation of moments using SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 D. Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 E. Stationary phase approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 F. Ergodic average of the coupling term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 List of Figures List of Tables / Es wird üblicherweise angenommen, dass die Verschränkungsentropie von Eigenzuständen quantenchaotischer Systeme durch die Theorie der Zufallsmatrizen beschrieben wird. Diese Zufallsmatrixvorhersage bezieht sich nur auf strukturlose Zufallszustände. Es ist nicht klar, wie sich die Subsystemstruktur realer, bipartiter Systeme auf die Verschränkung auswirkt. Wir untersuchen die Konsequenzen einer solchen Struktur auf die bipartite Verschränkung der Eigenzustände von zeit-periodisch gestoßenen Floquet-Systemen. Dazu wird der Ausdruck für die Eigenzustandsverschränkung in eine dynamische Größe überführt, welche besonders geeignet ist für die Anwendung analytischer Methoden zur Zeitentwicklung. Wir präsentieren drei Ansätze und wenden jeden auf ein zugehöriges minimales Modell an. Basierend auf der Supersymmetriemethode berechnen wir die Verschränkung in strukturlosen Zufallsmatrizen und erhalten exakte Resultate für die Entropie von Zufallsmatrixeigenzuständen. Der Weingarten-Formalismus wird genutzt, um die Verschränkung in einem inhärent bipartiten Zufallsmatrixmodell zu berechnen. Außerdem stellen wir, basierend auf semiklassischen Pfad-Integralen, eine Spurformel auf, welche die Verschränkung in chaotischen Floquet-Systemen mittels klassischer Orbits ausdrückt. Wir zeigen über diesen Weg, dass die Verschränkung in stark gekoppelten, bipartiten Floquet-Systemen im semiklassischen Limes mit der Verschränkung in strukturlosen Zufallsmatrizen übereinstimmt. Es werden mehrere Verallgemeinerungen unserer Methoden für autonome Systeme und andere Entropien diskutiert.:1. Introduction 2. Fundamentals on bipartite systems and entanglement 2.1. Classical and quantum chaotic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Classical mechanical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2. Quantum systems and random matrix theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Objective of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Random matrix methods for entanglement in bipartite chaotic systems 3.1. Entropy formulation in terms of Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Weingarten calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2. Inverse participation ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.3. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Linear entropy by the supersymmetry method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1. Gaussian integrals and the generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2. Supersymmetric integrals and generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.3. Entropy of the CUE case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Semiclassical method for entanglement in bipartite chaotic systems 4.1. Path integrals and trace formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.1. Path integral formulation of propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.2. Trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2. Rescaled path integral formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.3. Order \hbar correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5. Generalizations 5.1. Supersymmetry method for bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Resummation via Cayley-Hamilton inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3. Havrda-Charvát-Tsallis entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4. Autonomous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5. Entanglement generated by a time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6. Summary and outlook Appendix A. Weingarten calculus for the first steps of the IPR signal function . . . . . . . . . . .99 B. Color-Flavor transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C. Detailed calculation of moments using SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 D. Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 E. Stationary phase approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 F. Ergodic average of the coupling term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 List of Figures List of Tables