[pt] Uma propriedade notável dos sistemas biológicos é a formação de estruturas espaciais. Estas podem surgir por auto-organização, como consequência
das próprias interações entre os indivíduos. Para estudar estas estruturas e
como elas emergem, têm sido muito úteis modelos simples para a dinâmica da
densidade espacial de uma população, que levam em conta apenas certos processos elementares (como reprodução, competição e dispersão). Em particular,
a equação de FKPP (Fisher-Kolmogorov- Petrovski-Piskunov), que inclui simplesmente o crescimento logístico mais a difusão normal, é um modelo clássico
para a dinâmica de uma população de uma única espécie. Dentro do quadro
minimalista da equação de FKPP e suas variantes, a competição à distância
(ou, não local) é a principal responsável por produzir oscilações espaciais na
densidade da população.
Entretanto, a não localidade pode ocorrer também nos demais processos.
Assim, um primeiro objetivo desta tese é investigar como as diferentes escalas
espaciais presentes podem interferir entre si, afetando a formação de padrões.
Para isso, consideramos uma generalização da equação de FKPP em que
todos os termos são não locais, em um ambiente homogêneo com condições
de contorno periódicas. Enquanto a competição é o principal processo por trás
da formação de padrões, mostramos que os outros dois podem agir de forma
construtiva ou destrutiva. Por exemplo, a difusão, que comumente homogeniza,
pode favorecer a formação de padrões dependendo do formato e alcance das
funções de influência de cada processo.
Em um segundo estudo, motivado por resultados experimentais, procuramos entender como a variabilidade da difusividade pode impactar a organização espacial da população dentro e fora de um refúgio (região de alta qualidade imersa em um ambiente hostil). Para tanto, consideramos uma outra
generalização da equação de FKPP, com não localidade apenas no processo
de competição intra-espécie, e modificada para levar em conta a presença do
refúgio. Além da dependência espacial da taxa de crescimento, que é a principal característica distintiva de um refúgio em um ambiente hostil, também
consideramos o fato de que a mobilidade pode ser heterogênea no espaço ou
depender da densidade populacional. Focamos em dois casos em que a difusividade responde à densidade de indivíduos, diminuindo ou aumentando com
a densidade populacional. Para comparação, também abordamos a difusividade dependente do espaço, com valores diferentes dentro e fora do refúgio.
Observamos que o limiar da formação de padrões, no espaço de parâmetros, é
bastante robusto diante destas heterogeneidades. Por outro lado, a dependência com a densidade pode produzir uma realimentação que está ausente em
meios homogêneos, e que afeta a forma dos padrões.
Em todos os casos, os resultados foram obtidos mediante a integração
numérica das equações integro-diferenciais e realizando considerações analíticas. / [en] A remarkable property of biological systems is the formation of spatial
structures. These can arise by self-organization, as a consequence of the interactions between individuals. To study these structures and how they emerge,
simple models for the dynamics of the spatial density of a population, which
take into account only certain elementary processes (such as reproduction,
competition and dispersion) have been very useful. In particular, the FKPP
(Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piskunov) equation, which simply includes logistic growth plus normal diffusion, is a classic model for the dynamics of a
population of a single species. Within the minimalist framework of the FKPP
equation and its variants, distance (or, non-local) competition is primarily responsible for producing spatial oscillations in population density.
However, non-locality can also be present in other processes. Then, a first
objective of this thesis is to investigate how the different spatial scales which
are present in each process can interfere between them, affecting the formation
of patterns in a homogeneous environment with periodic boundary conditions.
For this purpose, we consider a generalization of the FKPP equation in which
all terms are nonlocal. While competition is the main process behind pattern
formation, we show that the other two can act constructively or destructively.
For example, diffusion, which commonly homogenizes, can favor the formation
of patterns depending on the format and range of the influence functions of
each process.
In a second study, motivated by experimental results, we seek to understand how the variability of the diffusivity can impact the spatial organization
of the population inside and outside a refuge (a high-quality region immersed
in a hostile environment). Therefore, we consider another generalization of the
FKPP equation, with non-locality only in the intra-species competition process, modified to take into account the presence of the refuge. In addition to the
spatial dependence of the growth rate, which is the main distinguishing feature
of a refuge in a hostile environment, we also consider the fact that mobility
can be spatially heterogeneous or depend on population density. We focus on
two cases in which diffusivity responds to the density of individuals, decreasing
or increasing with population density. For comparison, we also address spacedependent diffusivity, with different values inside and outside the refuge. We
observed that the threshold of pattern formation in parameter space is quite
robust under the presence of these heterogeneities. On the other hand, density
dependence can produce a feedback that is absent in homogeneous media, and
that affects the shape of the patterns.
In all cases, the results were obtained by numerical simulations of the
integro-differential equations and by analytical considerations.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:61571 |
| Date | 15 December 2022 |
| Creators | GABRIEL GOMIDES PIVA |
| Contributors | CELIA BEATRIZ ANTENEODO DE PORTO |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | TEXTO |
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