Cette thèse est composée de trois parties principales : les calculs des courbes médiatrices
de deux courbes ou d’un point et d’une courbe dans le plan, des surfaces
médiatrices de deux surfaces dans R3, et du diagramme de Voronoï d’une famille finie
de demi-droites parallèles de même orientation. Ces trois sujets sont étroitement liés
et trouvent des applications dans le domaine de la CAO/CGAO et de la géométrie
algorithmique. Dans ces trois sujets, nous allons présenter des méthodes algorithmiques
pour obtenir une certaine représentation de l’objet qui nous intéresse : la
courbe médiatrice, la surface médiatrice ou le diagramme de Voronoï.
En utilisant la règle de Cramer généralisée et certaines méthodes d’élimination,
nous présentons une nouvelle approche pour déterminer une paramétrisation algébrique
exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la courbe médiatrice de deux
courbes planes rationnelles. L’approche est, ensuite, généralisée pour déterminer une
paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la surface médiatrice
de deux surfaces rationnelles de petit degré. La méthode est appliquée pour
obtenir les paramétrisations de la médiatrice de deux courbes planes rationnelles,
dans lesquelles une des courbes est un cercle ou une droite. D’autre part, nous montrons,
aussi, comment il est facile d’obtenir les paramétrisations de la médiatrice de
paires de surfaces suivantes : plan-quadrique, plan-tore, cylindre circulaire-quadrique
non développable, cylindre circulaire-tore, cylindre-cylindre, cylindre-cône et cônecône.
Les paramétrisations obtenues sont rationnelles dans la plupart des cas. Dans
le reste des cas, les paramétrisations contiennent de racines carrées qui est bien
adopté pour determiner une bonne approximation de la médiatrice.
Nous présentons aussi une différente approche traitant du problème de la courbe
médiatrice plane. Cette nouvelle méthode utilise la couleur dynamique en GeoGebra
pour les caractérisations géométrique et numérique de la courbe médiatrice de deux
objets géométriques dans le plan (deux courbes, ou une courbe et un point). Même si
elle ne fournit pas de représentation algébrique, la méthode peut conduire au calcul
d’une représentation approximative de la courbe médiatrice.
Le diagramme de Voronoï (VD) est une structure de données fondamentale de la géométrie algorithmique avec des applications très variées dans des domaines
théoriques et pratiques. Nous considérons le VD d’un ensemble fini de demi-droites
parallèles de même orientation restreint à un domaine compact D0 ⊂ R3 pour la
distance euclidienne. Ce nouveau type de VD peut être utilisé pour apporter des réponses
efficaces à certains problèmes dans l’industrie de forage, tels que l’hydraulique
ou la mine. Nous présentons un algorithme approximatif efficace pour le calcul de tel
VD, en utilisant le processus de subdivision produisant un maillage qui représente
la topologie de VD dans D0. / Este trabajo consta de tres partes principales : el calculo de las bisectrices de dos
curvas o de un punto y una curva en el plano, de la superficie bisectriz de dos superficies
en R3, y del diagrama de Voronoi de una familia finita de semirrectas paralelas
y con la misma orientación en R3. Estos temas están estrechamente relacionados y
tienen aplicaciones en CAD/CAGD y en Geometría Computacional.
Se presenta un nuevo método para determinar, utilizando la regla de Cramer
generalizada y métodos de eliminación adecuados, una parametrización algebraica
exacta (racional o no racional) de la curva bisectriz de dos curvas planas racionales
dadas. Este método se generaliza para determinar una parametrización algebraica
exacta de la superficie bisectriz de dos superficies racionales de grado bajo. El método
se aplica, en particular, para obtener parametrizaciones de la bisectriz de dos curvas
planas racionales, cuando una de ellas es una circunferencia o una recta. Por otro
lado, se muestra cómo obtener fácilmente una parametrizacin de la bisectriz de los
siguientes pares de superficies : plano y cuádrica, plano y toro, cilindro circular y
cuádrica no desarrollable, cilindro circular y toro, dos cilindros, cilindro y cono, y
dos conos. Estas parametrizaciones son racionales en la mayora de los casos. En los
casos restantes, la parametrización contiene una raíz cuadrada, que resulta adecuada
para determinar una buena aproximación de la bisectriz.
Además, se presenta un enfoque diferente para el problema de la curva bisectriz
plana. Este nuevo método utiliza color dinámico en GeoGebra para el cálculo de una
caracterización geométrica y numérica de la bisectriz de dos objetos geométricos en
el plano (dos curvas, o una curva y un punto). Aunque no proporciona una representación
algebraica, el método permite el cálculo de una representación aproximada
de la curva bisectriz.
El diagrama de Voronoi (DV) es una estructura de datos fundamental en geometría
computacional con diversas aplicaciones en distintas áreas teóricas y prácticas.
Se estudia el DV de un conjunto de semirrectas paralelas y con la misma orientación,
restringidas a un dominio compacto D0 ⊂ R3, con respecto a la distancia euclidiana.
Este nuevo tipo de DV se puede utilizar para proporcionar una solución eficiente
a algunos problemas relacionados con la perforación, en industrias tales como la
hidráulica o la minería. Se presenta un algoritmo eficiente para calcular una aproximación
de un DV de esa clase, utilizando un proceso de subdivisión, que produce
una malla que representa correctamente la topología del DV. / This thesis has three main parts: computation of the bisectors of two curves or
a point and a curve in the plane, of the bisector of two surfaces in R3, and of the
Voronoi diagram of a finite family of parallel half lines in R3, with the same orientation.
These subjects are closely related, and have applications in CAD/CAGD
and Computational Geometry. In each of the three parts, we present algorithmic
methods for computing certain representations of the geometric object of interest:
the bisector curve, the bisector surface, or the Voronoi diagram.
We present a new approach to determine, using the generalized Cramer’s rule
and suitable elimination steps, an exact algebraic parameterization (rational or non
rational) of the bisector curve of two given planar rational curves. The approach is,
then, generalized to determine an exact algebraic parameterization of the bisector
surface of two low degree rational surfaces. In particular, we apply the method
to obtain parametrizations of the bisector of two rational plane curves, when one of them is a circle or a straight line. On the other hand, we show how to easily
obtain parametrizations of the bisector of the following pairs of surfaces: planequadric,
plane-torus, circular cylinder-non developable quadric, circular cylindertorus,
cylinder-cylinder, cylinder-cone and cone-cone. These parametrizations are
rational in most cases. In the remaining cases the parametrization involves one
square root which is well-suited to determine a good approximation of the bisector.
In addition, a different approach for the bisector curve problem will be presented.
This new method uses dynamic color in GeoGebra for the computation of
a geometric and numerical characterization of the bisector of two planar geometric
objects (two curves, or a curve and a point). Even if it does not provide an algebraic
representation, the method could lead to the computation of an approximate
representation of the bisector curve.
The Voronoï diagram (VD) is a fundamental data structure in computational
geometry with various applications in theoretical and practical areas. We consider
the VD of a set of parallel half-lines, with the same orientation, constrained to a
compact domain D0 ⊂ R3, with respect to the Euclidean distance. This new kind
of VD can be used to provide an efficient solution to some problems in the drilling
industry, such as hydraulic or mining. We present an efficient approximate algorithm
for computing such VD, using a box subdivision process, which produces a mesh
representing the topology of the VD in D0.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:TDX_UC/oai:www.tdx.cat:10803/123824 |
| Date | 10 September 2013 |
| Creators | Adamou, Ibrahim |
| Contributors | Fioravanti, Mario, Gonzalez-Vega, Laureano, Universidad de Cantabria. Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación |
| Publisher | Universidad de Cantabria |
| Source Sets | Universidad de Cantabria |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
| Format | 284 p., application/pdf |
| Source | TDR (Tesis Doctorales en Red) |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess, ADVERTENCIA. El acceso a los contenidos de esta tesis doctoral y su utilización debe respetar los derechos de la persona autora. Puede ser utilizada para consulta o estudio personal, así como en actividades o materiales de investigación y docencia en los términos establecidos en el art. 32 del Texto Refundido de la Ley de Propiedad Intelectual (RDL 1/1996). Para otros usos se requiere la autorización previa y expresa de la persona autora. En cualquier caso, en la utilización de sus contenidos se deberá indicar de forma clara el nombre y apellidos de la persona autora y el título de la tesis doctoral. No se autoriza su reproducción u otras formas de explotación efectuadas con fines lucrativos ni su comunicación pública desde un sitio ajeno al servicio TDR. Tampoco se autoriza la presentación de su contenido en una ventana o marco ajeno a TDR (framing). Esta reserva de derechos afecta tanto al contenido de la tesis como a sus resúmenes e índices. |
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