We study relations between special elliptic isometries in the complex hyperbolic plane. A special elliptic isometry can be seen as a rotation around a fixed axis (a complex geodesic). Such an isometry is determined by specifying a nonisotropic point p (the polar point to the fixed axis) and a unitary complex number a, the angle of the isometry. Any relation between special elliptic isometries with rational angles gives rise to a representation H(k1;:::;kn) → PU(2;1), where H(k1;:::;kn) : = ⟨ r1; : : : ; rn ∣ rn : : : r1> = 1; rkii = 1 ⟩ and PU(2;1) stands for the group of orientation-preserving isometries of the complex hyperbolic plane. We denote by Rpα the special elliptic isometry determined by the nonisotropic point p and by the unitary complex number α. Relations of the form Rpnαn : : :Rp1α1 = 1 in PU(2;1), called special elliptic n-gons, can be modified by short relations known as bendings: given a product RqβRpα, there exists a one-parameter subgroup B : R → SU(2;1) such that B(s) is in the centralizer of Rqβ Rpα and RB(s)qβRB(s)pα = RqβRB(s)pα for every s ∈ R. Then, for each i = 1,...,n-1, we can change Rpi+1αi+1Rpiαi by RB(s)pi+1αi+1RB(s)piαi obtaining a new n-gon. We prove that the generic part of the space of pentagons with fixed angles and signs of points is connected by means of bendings. Furthermore, we describe certain length 4 relations, called f -bendings, and prove that the space of pentagons with fixed product of angles is connected by means of bendings and f -bendings. / Neste trabalho, estudamos relações entre isometrias elípticas especiais no plano hiperbólico complexo. Uma isometria elíptica especial pode ser vista como uma rotação em torno de um eixo fixo (uma geodésica complexa). Tal isometria é determinada especificando-se um ponto não-isotrópico p (o ponto polar do eixo fixo) bem como um número complexo unitário a (o ângulo da isometria). Qualquer relação entre isometrias elípticas especiais com ângulos racionais dá origem a uma representação H(k1;:::;kn) → PU(2;1), onde H(k1;:::;kn) : = ⟨ r1; : : : ; rn ∣ rn : : : r1 = 1; rkii = 1 ⟩ e PU(2;1) é o grupo de isometrias que preservam a orientação do plano hiperbólico complexo. Denotamos por Rpα a isometria elíptica especial determinada pelo ponto não-isotrópico p e pelo complexo unitário α. Relações da forma Rpnαn : : :Rp1α1 = 1 em PU(2;1), chamadas n-ágonos elípticos especiais, podem ser modificadas a partir de relações curtas conhecidas como bendings: dado um produto RqβRpα, existe um subgrupo uniparamétrico B : R → SU(2;1) tal que B(s) está no centralizador de RqβRpα e RB(s)qβRB(s)pα = RqβRpα para todo s ∈ R. Assim, para cada i = 1; : : : ;n-1, podemos mudar Rpi+1α+1Rpiαi por RB(s)pi+1α+1RB(s)piα+1RB(s)piαi obtendo um novo n-ágono. Provamos que a parte genérica do espaço de pentágonos com ângulos e sinais de pontos fixados é conexa por meio de bendings. Além disso, descrevemos certas relações de comprimento 4, os f -bendings, e provamos que o espaço de pentágonos com produto de ângulos fixado é conexo por meio de bendings e f -bendings.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:teses.usp.br:tde-22032019-081425 |
| Date | 01 August 2018 |
| Creators | Felipe de Aguilar Franco |
| Contributors | Carlos Henrique Grossi Ferreira, Alexandre Paiva Barreto, Rafael de Freitas Leão, Oziride Manzoli Neto |
| Publisher | Universidade de São Paulo, Matemática, USP, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP, instname:Universidade de São Paulo, instacron:USP |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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