In der vorliegenden Arbeit werden Geradenkongruenzen des projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes differentialgeometrisch untersucht. Nach J. PLÜCKER lassen sich Geraden in gleicher Weise als Grundelemente eines Geradenraumes auffassen wie die Punkte in einem Punktraum. Unter Beachtung dieser Überlegung scheint eine "natürliche" Behandlung der Geradenkongruenzen interessant und sinnvoll. Sie bildet den Gegenstand der vorliegenden Dissertation. Ein besonderes Augenmerk richtet sich dabei auf die Frage nach "kleinsten" Geradenkongruenzen ("Minimalkongruenzen") in der Geradenmenge des reellen projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes. Dahinter verbirgt sich eine gewisse Analogiebildung in der Liniengeometrie, die der klassischen Differentialgeometrie entstammt. Die Geradenkongruenzen bilden hierbei das liniengeometrische Analogon zu den Flächen des dreidimensionalen (Punkt-)Raumes. Das Wort "Kleinste" stellt im Geradenraum einen Bezug zu den Minimalflächen in der Differentialgeometrie her. Nun gestatten diese Fragestellungen in der Liniengeometrie eine anschauliche Interpretation, sobald man ein Punktmodell des Geradenraumes vorliegen hat. Einparametrige Geradenmannigfaltigkeiten (Regelflächen) lassen sich darin als Kurven und Geradenkongruenzen als zweidimensionale Flächen auffassen. Die vierparametrige Geradenmenge des reellen projektiven dreidimensionalen Raumes ist in diesem Modell eine Quadrik vom Index 2 in einem reellen projektiven fünfdimensionalen Raum, die so genannte KLEINsche Hyperquadrik. Der Modellwechsel wird durch die KLEINsche Abbildung vollzogen. / In the available work line congruences of the projectively extended three-dimensional euclidean space will be analysed. Following to J. PLÜCKER lines can be seen as basic elements of an line space like in the same way points in a point-space. Taking this fact in consideration a "natural" handling with line congruences might be interesting and reasonable. A special detail in the thesis is the question to minimal congruences in the set of lines of the projectively extended euclidean three-space. It can also be seen as an analogous problem in the geometry of lines which can be find in the differential geometry of surfaces. In this case the line congruences are similar to the surfaces of the three-dimensional (point-)space. The phrase "minimal" means in the line space the connection to the minimal surfaces in the differential geometry. These questions offer in line geometry demonstrative interpretation possibilities if a point-model in the line space exists. One-parameter manifolds of lines (rule surfaces) can be seen in this ambiance as curves and line congruences as two dimensional surfaces. The four-parametric set of lines in the projectively extended three-dimensional euclidian space is in this model a quadric of the index 2 in a real projective five-dimensional space, the so called KLEIN-quadric. The changing of the model is managed by the KLEIN-mapping.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa.de:swb:14-1111593005151-37742 |
| Date | 23 February 2005 |
| Creators | Hamann, Marco |
| Contributors | Technische Universität Dresden, Mathematik und Naturwissenschaften, Mathematik, Institut für Geometrie, Prof. Dr. Gunter Weiß, Prof. Dr. Georg Stamou, Prof. Dr. Hellmuth Stachel |
| Publisher | Saechsische Landesbibliothek- Staats- und Universitaetsbibliothek Dresden |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | deu |
| Detected Language | German |
| Type | doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
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