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Previous issue date: 2013-03-15 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This paper begins with a brief history about the development of vector spaces and linear
transformations, then presents fundamental concepts for the study of Linear Algebra, with
greater focus on linear operators in the R2 space. Through examples it explores a wide
range of operators in R2 in order to show other applications of matrices in high school
and prepares the ground for the presentation a version of Spectral Theorem for selfadjoint
operators in R2, which says that for every operator self-adjoint T : E!E in finite
dimensional vector space with inner product, exists an orthonormal basis fu1; : : : ;ung E
formed by eigenvectors of T, and culminates with their applications on the study of conic
sections, quadratic forms and equations of second degree in x and y; on the study of
operators associated to quadratic forms, a version of Spectral Theorem could be called
as The Main Axis Theorem albeit this nomenclature is not used in this paper. Thereby
summarizing a study made by Lagrange in "Recherche d’arithmétique ", between 1773
and 1775, which he studied the property of numbers that are the sum of two squares.
Thus he was led to study the effects of linear transformation with integer coefficients in a
quadratic form in two variables. / Este trabalho inicia-se com um breve embasamento histórico sobre o desenvolvimento
de espaços vetoriais e transformações lineares. Em seguida, apresenta conceitos fundamentais
básicos, que formam uma linguagem mínima necessária para falar sobre Álgebra
Linear, com enfoque maior nos operadores lineares do plano R2. Através de exemplos,
explora-se um vasto conjunto de transformações no plano a fim de mostrar outras aplicações
de matrizes no ensino médio e prepara o terreno para a apresentação do Teorema
Espectral para operadores auto-adjuntos de R2. Este Teorema diz que para todo operador
auto-adjunto T : E!E, num espaço vetorial de dimensão finita, munido de produto
interno, existe uma base ortonormal fu1; : : : ;ung E formada por autovetores de T. O trabalho
culmina com aplicações sobre o estudo das secções cônicas, formas quadráticas e
equações do segundo grau em x e y, no qual o Teorema Espectral se traduz como Teorema
dos Eixos Principais, embora essa nomenclatura não seja usada nesse trabalho (para um
estudo mais aprofundado neste tema ver [3], [4], [5], [7]). Retomando assim um estudo
feito por Joseph Louis Lagrange em "Recherche d’Arithmétique", entre 1773 e 1775, no
qual estudou a propriedade de números que são a soma de dois quadrados. Assim, foi
levado a estudar os efeitos das transformações lineares com coeficientes inteiros numa
forma quadrática de duas variáveis.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.bc.ufg.br:tede/3123 |
| Date | 15 March 2013 |
| Creators | Nogueira, Leonardo Bernardes |
| Contributors | Melo, Maurílio Márcio, Melo, Maurilio Márcio, Borges, Venício Veloso, Medrado, João Carlos da Rocha |
| Publisher | Universidade Federal de Goiás, Programa de Pós-graduação em PROFMAT (RG), UFG, Brasil, Instituto de Matemática e Estatística - IME (RG) |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFG, instname:Universidade Federal de Goiás, instacron:UFG |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | 5637905143957969341, 600, 600, 600, 600, -4268777512335152015, 8398970785179857790, 2075167498588264571, [1] BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; RIBEIRO, V. L. F. F.; WETZLER, H. G. Álgebra Linear. Harbra, São Paulo, 1980. [2] HEFEZ, A.; DE SOUZA FERNANDEZ, C. Introducao a Algebra Linear. SBM, Rio de Janeiro, 2012. [3] HEGENBERG, L. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Almeida Neves, Rio de Janeiro, 1971. [4] LIMA, E. L. Álgebra Linear. Impa, Rio de Janeiro, 2008. [5] LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. MacGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1980. [6] MORGADO, A. C.; JÚDICE, E. D.; WAGNER, E.; LIMA, E. L.; DE CARVALHO, J. B. P.; CARNEIRO, J. P. Q.; GOMES, M. L. M.; CARVALHO, P. C. P. Exame de textos: Análise de livros de Matemática para o ensino médio. SBM, Rio de Janeiro, 2001. [7] NACHBIN, L. Introducão a Álgebra. MacGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1971. [8] PENNEY, D. E.; C.H. EDWARDS, J. Introducão à Álgebra Linear. LTC-Livros T’ecnicos e Cient’ificos Editora S.A, Rio de Janeiro, 1998. |
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