En matemáticas, la integrabilidad de los campos de vectores polinomiales
ha sido objeto de estudio desde hace más de cien años. En 1878, Darboux dio
unas condiciones que permiten establecer la existencia de una integral prime-
ra para estos campos. La existencia de integrales primeras simplifica mucho
el estudio de la dinámica de un sistema diferencial, pero dado un sistema
diferencial no es fácil, en general, saber si posee o no integrales primeras.
A pesar de los notables progresos que en los últimos años se han obtenido
sobre este tema dentro de la teoría de integrabilidad de Darboux, todavía no
se ha encontrado una respuesta plenamente satisfactoria. En esta memoria
estudiamos aspectos relacionados con la teoría de integrabilidad de Darboux
y generalizamos algunos resultados. En particular nos interesan los campos
de vectores polinomiales en Rn+1 definidos sobre hipersuperficies regulares
algebraicas. En 1979 Jouanolou mostró que si el número de hipersuperficies
algebraicas invariantes de un campo vectorial en Rn+1 de grado m es por lo
menos
(n+m
n+1
)
+n+1, entonces el campo vectorial tiene una integral primera
racional que se puede calcular utilizando hipersuperficies algebraicas inva-
riantes. En el capítulo 2 extendemos este resultado mostrando que el número
de hipersuperficies algebraicas invariantes necesarias para garantizar la exis-
tencia de una integral primera racional de un campo de vectorial polinomial
definido sobre una hipersuperficie de grado d es
(n+m
n+1
)
���
(n+m ���d
n+1
)
+ n.
Otro aspecto relacionado con la teoría de integrabilidad de Darboux es
el estudio del número máximo de clases de hipersuperficies invariantes que
un campo vectorial polinomial puede tener. Para encontrar hipersuperficies
algebraicas invariantes utilizamos el concepto de hipersuperficie algebraica
extáctica. En el capítulo 3 obtenemos cotas superiores para el número máxi-
mo de esferas n-dimensionales invariantes de campos vectoriales polinomiales
de Rn+1 en función del grado del campo y teniendo en cuenta la multiplicidad
de las esferas invariantes. En el capítulo 4 estudiamos los campos vectoriales
polinomiales de R3 definidos sobre una cuádrica y obtenemos las cotas supe-
riores para el número máximo de cónicas invariantes que uno de estos campos
puede tener en función de su grado y que vivan sobre planos invariantes. Pa-
ra esto extendemos la noción de multiplicidad de una superficie algebraica
invariante. Además, probamos si estas cotas pueden ser alcanzadas o no.
En los capítulos 5 y 6 estudiamos sistemas cuadráticos. El estudio de esta
clase de sistemas diferenciales no es trivial y se han publicado más de mil
artículos sobre ellos. En el capítulo 5 estudiamos sistemas cuadráticos con
una silla integrable. Recientemente este tipo de sillas han sido estudiadas
por varios autores. Artés, Llibre y Vulpe caracterizaron los retratos de fase
de todos los sistemas cuadráticos con una silla integrable pero no encontra-
ron sus integrales primeras. Nosotros obtenemos las expresiones explícitas
para las integrales primeras Liouvillianas de estos sistemas cuadráticos. En
el capítulo 6 estudiamos los sistemas cuadráticos Lotka-Volterra que poseen
un invariante Darboux. Cuando no podemos calcular una integral primera
de un sistema diferencial es útil determinar si el sistema tiene un invariante
Darboux. Nosotros caracterizamos los retratos de fase globales en el disco
de Poincaré de todos los sistemas cuadráticos Lotka-Volterra que poseen un
invariante Darboux. / In mathematics, the integrability of polynomial vector fields has been studied
for more than one hundred years. In 1878, Darboux provided conditions
to establish the existence of first integrals for these fields. The existence of
first integrals simplifies the study of the dynamics of a differential system, but
given a differential system it is not easy, in general, to know whether or not it
has first integrals. Despite the remarkable progress that in recent years have
been obtained in the Darboux theory of integrability, this question has not
yet a satisfactory answer. We study aspects related to the Darboux theory of
integrability and we generalize some results. In particular we are interested in
polynomial vector fields in Rn+1 defined on regular algebraic hypersurfaces.
In 1979 Jouanolou showed that if the number of invariant algebraic hypersurfaces
of a vector field in Rn+1 of degree m is at least
(n+m
n+1
)
+ n + 1, then
the vector field has a rational first integral that can be calculated using invariant
algebraic hypersurfaces. In chapter 2 we extend this result by showing
that the number of invariant algebraic hypersurfaces to ensure the existence
of a rational first integral of a polynomial vector field defined on a regular
algebraic hypersurface of degree d is
(n+m
n+1
)
��
(n+m ��d
n+1
)
+ n.
Other aspect related to the Darboux integrability theory is the study of
the maximum number of classes of invariant hypersurfaces that a polynomial
vector field can have. In order to find invariant algebraic hypersurfaces we
use the concept of extactic algebraic hypersurface. In chapter 3 we obtain
upper bounds for the maximum number of invariant n-dimensional spheres
of polynomial vector fields in Rn+1 in function of the degree of the field and
taking into account the multiplicity of the invariant spheres. In chapter 4 we
study the polynomial vector fields of R3 defined on a quadric and we obtain
upper bounds for the maximum number of invariant conics that one of these
fields can have in terms of their degree and living on invariant planes. To do
this we extend the notion of multiplicity of an invariant algebraic surface.
Moreover, we show whether these bounds can be reached or not.
In chapters 5 and 6 we study quadratic differential systems. The study of
this class of differential systems is not trivial and have been published more
than one thousand papers about them. In chapter 5 we study quadratic
systems with an integrable saddle. Recently these saddles have been studied
by several authors. Artes, Llibre and Vulpe characterized the phase portraits
of all quadratic systems having an integrable saddle, but they did not provide
their first integrals. We obtain explicit expressions for the Liouvillian
first integrals of these systems. In chapter 6 we study the Lotka-Volterra
quadratic systems having a Darboux invariant. When we cannot calculate
a first integral of a differential system is useful to determine if the system
has a Darboux invariant. We characterize the global phase portraits in the
Poincaré disc of all quadratic Lotka-Volterra systems possessing a Darboux
invariant.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:TDX_UAB/oai:www.tdx.cat:10803/120216 |
| Date | 17 May 2013 |
| Creators | Bolaños Rivera, Yudy Marcela |
| Contributors | Llibre, Jaume, Valls, Claudia, 1973-, Universitat Autònoma de Barcelona. Departament de Matemàtiques |
| Publisher | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Source Sets | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
| Format | 162 p., application/pdf |
| Source | TDX (Tesis Doctorals en Xarxa) |
| Rights | ADVERTIMENT. L'accés als continguts d'aquesta tesi doctoral i la seva utilització ha de respectar els drets de la persona autora. Pot ser utilitzada per a consulta o estudi personal, així com en activitats o materials d'investigació i docència en els termes establerts a l'art. 32 del Text Refós de la Llei de Propietat Intel·lectual (RDL 1/1996). Per altres utilitzacions es requereix l'autorització prèvia i expressa de la persona autora. En qualsevol cas, en la utilització dels seus continguts caldrà indicar de forma clara el nom i cognoms de la persona autora i el títol de la tesi doctoral. No s'autoritza la seva reproducció o altres formes d'explotació efectuades amb finalitats de lucre ni la seva comunicació pública des d'un lloc aliè al servei TDX. Tampoc s'autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant als continguts de la tesi com als seus resums i índexs., info:eu-repo/semantics/openAccess |
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