Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / The coloring problem is among the most studied in the Graph Theory due to its great theoretical and practical importance. Since the problem of coloring the vertices of a graph G either
with the smallest amount of colors is NP-hard, various coloring heuristics are examined to obtain a proper colouring with a reasonably small number of colors.
Given a graph G, the b heuristic of colouring comes down to decrease the amount of colors
in a proper colouring c, so that, if all vertices of a color class fail to see any color in your
neighborhood, then we can change the color to any color these vertices nonexistent in your
neighborhood. Thus, we obtain a coloring c
′ with a color unless c.
Irving and Molove defined the b-coloring of a graph G as a coloring where every color class
has a vertex that is adjacent the other color classes. These vertices are called b-vertices. Irving
and Molove also defined the b-chromatic number as the largest integer k, such that G admits a
b-coloring by k colors. They showed that determine the value of the b-chromatic number of any
graph is NP-hard, but polynomial for trees.
Irving and Molove also defined the m-degree of a graph, which is the largest integer m(G)
such that there are m(G) vertices with degree at least m(G) − 1. Irving and Molove showed
that the m-degree is an upper limit to the b-chromatic number and showed that it is m(T) or
m(T)−1 to every tree T, where its value is m(T) if, and only if, T has a good set.
In this dissertation, we analyze the relationship between the girth, which is the size of the
smallest cycle, and the b-chromatic number of a graph G. More specifically, we try to find
the smallest integer g
∗
such that if the girth of G is at least g
∗
, then the b-chromatic number
equals m(G) or m(G)−1. Show that the value of g
∗
is at most 6 could be an important step in
demonstrating the famous conjecture of Erd˝os-Faber-LovÂasz, but the best known upper limit to
g
∗
is 9. We characterize the graphs whose girth is at least 6 and not have a good set and show
how b-color them optimally. Furthermore, we show how b-color, also optimally, graphs whose
girth is at least 7 and not have good set. / O problema de coloraÃÃo està entre os mais estudados dentro da Teoria dos Grafos devido
a sua grande importÃncia teorica e prÃtica. Dado que o problema de colorir os vÃrtices de um
grafo G qualquer com a menor quantidade de cores à NP-difÃcil, vÃrias heurÃsticas de coloraÃÃo
sÃo estudadas a fim de obter uma coloraÃÃo prÃpria com um nÃmero de cores razoavelmente
pequeno.
Dado um grafo G, a heurÃstica b de coloraÃÃo se resume a diminuir a quantidade de cores
utilizadas em uma coloraÃÃo prÃpria c, de modo que, se todos os vÃrtices de uma classe de cor
deixam de ver alguma cor em sua vizinhanÃa, entÃo podemos modificar a cor desses vÃrtices
para qualquer cor inexistente em sua vizinhanÃa. Dessa forma, obtemos uma coloraÃÃo c′ com
uma cor a menos que c.
Irving e Molove definiram a b-coloraÃÃo de um grafo G como uma coloraÃÃo onde toda
classe de cor possui um vÃrtice que à adjacente as demais classes de cor. Esses vÃrtices sÃo
chamados b-vÃrtices. Irving e Molove tambÃm definiram o nÃmero b-cromÃtico como o maior
inteiro k tal que G admite uma b-coloraÃÃo por k cores. Eles mostraram que determinar o
nÃmero b-cromÃtico de um grafo qualquer à um problema NP-difÃcil, mas polinomial para Ãrvores. Irving e Molove tambÃm definiram o m-grau de um grafo, que à o maior inteiro m(G) tal
que existem m(G) vÃrtices com grau pelo menos m(G)−1. Irving e Molove mostraram que o m-grau à um limite superior para nÃmero b-cromÃtico e mostraram que o mesmo à igual a m(T)
ou a m(T)−1, para toda Ãrvore T, onde o nÃmero b-cromÃtico à igual a m(T) se, e somente se,
T possui um conjunto bom.
Nesta dissertaÃÃo, verificamos a relaÃÃo entre a cintura, que à o tamanho do menor ciclo,
e o nÃmero b-cromÃtico de um grafo G. Mais especificamente, tentamos encontrar o menor
inteiro g∗ tal que, se a cintura de G à pelo menos g∗, entÃo o nÃmero b-cromÃtico à igual a
m(G) ou m(G)−1. Mostrar que o valor de g∗ Ã no mÃximo 6 poderia ser um passo importante
para demonstrar a famosa Conjectura de ErdÃs-Faber-Lovasz, mas o melhor limite superior
conhecido para g∗ à 9. Caracterizamos os grafos cuja cintura à pelo menos 6 e nÃo possuem um
conjunto bom e mostramos como b-colori-los de forma Ãtima. AlÃm disso, mostramos como bicolorir,
tambÃm de forma Ãtima, os grafos cuja cintura à pelo menos 7 e nÃo possuem conjunto
bom.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:www.teses.ufc.br:6404 |
| Date | 25 February 2013 |
| Creators | Carlos Vinicius Gomes Costa Lima |
| Contributors | Victor Almeida Campos, Ana Shirley Ferreira da Silva, Rudini Menezes Sampaio, Erika Morais Martins Coelho |
| Publisher | Universidade Federal do CearÃ, Programa de PÃs-GraduaÃÃo em CiÃncia da ComputaÃÃo, UFC, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC, instname:Universidade Federal do Ceará, instacron:UFC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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