Neste trabalho abordamos o problema de coloraÃÃo de vÃrtices via programaÃÃo inteira. Uma versÃo expandida da formulaÃÃo por conjuntos independentes à utilizada para abrigar outras sub-estruturas do grafos alÃm dos vÃrtices. Cada uma dessas sub-estruturas define uma restriÃÃo que determina quantos conjuntos independentes sÃo necessarios para cobrir aquele subgrafo. Experimentos com um mÃtodo de geraÃÃo de cortes e colunas para o problema sÃo feitos para determinar um limite inferior para um conjunto de instÃncias classicas para esse problema a biblioteca DIMACS. / In this work the vertex coloring problem is approached via integer programming. A tighter version of the independent set formulation is used, where the vertex-related constraints are substituted by subgraph-related constraints. Each constraint establishes a lower bound on the number of independent sets intersecting a subgraph H. It is shown a sufficient condition for this inequality to define a facet of the associated polytope. Basically, H is required to be color critical, not included in another color critical subgraph, and to have a connected complement. Also, the column generation algorithm proposed by Mehotra and Trick (INFORMS Journal in Computing, 1996) is adapted to allow the addition of cutting planes and to provide lower bounds along the process, which may abbreviate its end. Some computational experiments are reported.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Os problemas de coloraÃÃo estÃo entre os mais estudados dentro da Teoria dos Grafos devido a sua grande importÃncia teÃrica e prÃtica. O problema da L(2,1)-coloraÃÃo, por exemplo, pode ser aplicado na atribuiÃÃo de frequÃncias de rÃdio a torres de transmissÃo visando a diminuiÃÃo de interferÃncias nas transmissÃes. No entanto a maior parte das coloraÃÃes de Grafos à de difÃcil resoluÃÃo(NP-DifÃceis). Nesta dissertaÃÃo, estudamos os problemas de L(2,1)-coloraÃÃo, coloraÃÃo harmÃnica e M-partiÃÃo. Tendo em vista que os problemas de coloraÃÃo abordados nesta dissertaÃÃo sÃo todos NP-difÃceis, decidimos estudar as restriÃÃes destes problemas a (q,q-4)-grafos , com q fixo. As soluÃÃes utilizam a decomposiÃÃo primeval destes grafos. Ressaltamos ainda que esta classe contÃm os cografos e os grafos P4-esparsos. Os algoritmos encontrados desta maneira sÃo chamados de Fixed Parameter Tractable(FPT), pois sÃo polinomiais quando consideramos um determinado parÃmetro como um valor fixo. AlÃm da obtenÃÃo de algoritmos para diversos problemas de coloraÃÃo restritos aos (q,q-4)-grafos, com q fixo, tambÃm avaliamos a Conjectura de Griggs-Yeh com relaÃÃo aos grafos P_4-Esparsos e P_4-Laden. / The coloring problems are among the most studied in the graph theory due to its great theoretical and practical importance. The L(2;1)-labeling problem, for instance, can be applied to the frequency assignment of transmission towers in order to decrease interference in transmissions. However most of the graph coloring problems are difficult to solve (NP-hard). In this thesis, we study the L(2;1)-coloring, the harmonious coloring and M-partition of graphs. Considering that the coloring problems addressed in this thesis are all NP-hard, we decided to study the restrictions of these problems to (q;q􀀀4)-graphs, with q fixed. The solutions use the Primeval decomposition of these graphs. We also emphasize that this class contains the cographs and P4-sparse graphs. The algorithms found in this way are called Fixed parameter tractable (FPT), because they run on polynomial time if we consider a certain parameter as a fixed value. Besides obtaining algorithms for several coloring problems restricted to (q;q􀀀4)-graphs, with q fixed, we also evaluated Conjecture of Griggs-Yeh graphs with respect to P4-Sparse and P4-Laden graphs.

MinistÃre de l'Enseignement SupÃrieur et de la Recherche / Nesta tese, estudamos vÃrios problemas de teoria dos grafos relativos à coloraÃÃo e convexidade em grafos. A maioria dos resultados contidos aqui sÃo ligados à complexidade computacional destes problemas para classes de grafos particulares. Na primeira, e principal, parte desta tese, discutimos coloraÃÃo de grafos que à uma das Ãreas mais importantes de teoria dos grafos. Primeiro, consideramos trÃs problemas de coloraÃÃo chamados coloraÃÃo gulosa, coloraÃÃo ponderada e coloraÃÃo ponderada imprÃpria. Em seguida, discutimos um problema de decisÃo, chamado boa rotulagem de arestas, cuja definiÃÃo foi motivada pelo problema de atribuiÃÃo de frequÃncias em redes Ãticas. A segunda parte desta tese à dedicada a um parÃmetro de otimizaÃÃo em grafos chamado de nÃmero de fecho (geodÃtico). A definiÃÃo deste parÃmetro à motivada pela extensÃo das noÃÃes de conjuntos e fecho convexos no espaÃo Euclidiano. Por m, apresentamos em anexo outros trabalhos desenvolvidos durante esta tese, um em hipergrafos dirigidos Eulerianos e Hamiltonianos e outro sobre sistemas de armazenamento distribuÃdo. / In this thesis, we study several problems of Graph Theory concerning Graph Coloring and Graph Convexity. Most of the results contained here are related to the computational complexity of these problems for particular graph classes. In the first and main part of this thesis, we deal with Graph Coloring which is one of the most studied areas of Graph Theory. We first consider three graph coloring problems called Greedy Coloring, Weighted Coloring and Weighted Improper Coloring. Then, we deal with a decision problem, called Good Edge-Labeling, whose definition was motivated by the Wavelength Assignment problem in optical networks. The second part of this thesis is devoted to a graph optimization parameter called (geodetic) hull number. The definition of this parameter is motivated by an extension to graphs of the notions of convex sets and convex hulls in the Euclidean space. Finally, we present in the appendix other works developed during this thesis, one about Eulerian and Hamiltonian directed hypergraphs and the other concerning distributed storage systems.

Os problemas de colorac Ëao de vÂertices e de arestas, que consistem em determinar o menor nÂumero de cores necessÂarias para colorir os vÂertices e arestas de um grafo, respectivamente, de forma que vÂertices adjacentes e arestas adjacentes, respectivamente, possuem cores distintas, sËao problemas computacionalmente difÂıceis e sËao objeto de pesquisa recorrente em teoria do grafos em virtude de inÂumeros problemas prÂaticos que eles modelam. No presente trabalho, estudamos o pior desempenho dos algoritmos gulosos de colorac Ëao de vÂertices e de arestas. O algoritmo guloso tem o seguinte princÂıpio geral: receber, um a um, os vÂertices (respect. as arestas) do grafo a ser colorido, atribuindo sempre a menor cor possÂıvel ao vÂertice (resp. aresta) a ser colorido. Observamos que colorir de forma gulosa as arestas de um grafo equivale a colorir de forma gulosa o seu grafo linha, tendo sido este o maior interesse na pesquisa em colorac Ëao gulosa de arestas. O pior desempenho dos algoritmos Âe medido pelo maior nÂumero de cores que eles podem utilizar. No caso da colorac Ëao gulosa de vÂertices, esse Âe o nÂumero de Grundy ou nÂumero cromÂatico guloso do grafo. No caso da colorac Ëao de arestas, esse Âe o Âındice cromÂatico guloso ou Âındice de Grundy do grafo. Sabe-se que determinar o nÂumero de Grundy de um grafo qualquer Âe NP-difÂıcil. A complexidade de determinar o Âındice de Grundy de um grafo qualquer era entretanto um problema em aberto. Na presente dissertac Ëao, provamos dois resultados de complexidade. Provamos que o nÂumero de Grundy de um grafo (q,q−4) pode ser determinado em tempo polinomial. Essa classe contÂem estritamente a classe dos cografos e P4-esparsos para os quais o mesmo resultado havia sido estabelecido. Esse resultado generaliza portanto aqueles resultados. O algoritmo apresentado usa a decomposicÂËao primeval desses grafos, determinando o parËametro em tempo linear. No que se refere `a colorac Ëao de arestas, provamos que o problema de determinar o Âındice de Grundy Âe NP-completo para grafos em geral e polinomial para grafos caterpillar, implicando que o nÂumero de Grundy Âe polinomial para os grafos linha desses. Mais especificamente provamos que o Âındice de Grundy dos caterpillar Âe D ou D+1 e apresentamos um algoritmo polinomial para determinÂa-lo exatamente. / The vertices and edges colorings problems, which consists in determine the smallest number of colors needed to color the vertices and edges of a graph, respectively, so that adjacent vertices and adjacent edges, respectively, have distinct colors, are computationally hard problems and recurring subject of research in graph theory due to numerous practical problems they model. In this work, we study the worst performance of greedy algorithms for coloring vertices and edges. The greedy algorithm has the following general principle: to receive, one by one, the vertices (respect. edges) of the graph to be colored by assigning always the smallest possible color to the vertex (resp. edge) to be colored. We note that so greedy coloring the edges of a graph is equivalent to greedily coloring its line graph, this being the greatest interest in research on greedy edges coloring. The worst performance of the Algorithms is measured by the greatest number of colors they can use. In the case of greedy vertex coloring, this is the number of Grundy or greedy chromatic number of the graph. For the edge coloring, this is the greedy chromatic index or Grundy index of the graph. It is known that determining the Grundy number of any graph is NP-hard. The complexity of determining the Grundy index of any graph was however an open problem. In this dissertation, we prove two complexity results. We prove that the Grundy number of a (q,q−4)-graph can be determined in polynomial time. This class contains strictly the class of cografos P4-sparse for which the same result had been established. This result generalizes so those results. The presented algorithm uses the primeval decomposition of graphs, determining the parameter in linear time. About greedy edge coloring, we prove that the problem of determining the Grundy index is NP-complete for general graphs and polynomial for catepillar graphs, implying that the Grundy number is polynomial for graphs of line of caterpillars. More specifically, we prove that the Grundy index of a caterpillar is D or D+1 and present a polynomial algorithm to determine it exactly.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O problema de coloraÃÃo de vÃrtices à considerado um dos modelos mais estudados em teoria dos grafos pela sua relevÃncia em campos prÃticos e teÃricos. Do ponto de vista teÃrico, o problema de coloraÃÃo à NP - DifÃcil. AlÃm disto, foi classificado entre os problemas mais difÃceis de NP, no sentido de que achar uma aproximaÃÃo para o nÃmero cromÃtico tambÃm à NP - DifÃcil. A importÃncia do problema de coloraÃÃo tem incentivado a investigar mÃtodos para encontrar limitantes inferiores prÃximos do nÃmero cromÃtico. Historicamente, os primeiros limitantes inferiores utilizados para resolvÃ-lo lidavam com cliques maximais. Mais recentemente, popularizou-se a utilizaÃÃo de relaxaÃÃes lineares de formulaÃÃes de programaÃÃo inteira. Uma formulaÃÃo que mostrou bons limitantes inferiores foi a formulaÃÃo por conjuntos independentes, cujo valor de relaxaÃÃo equivale ao nÃmero cromÃtico fracionÃrio. No presente trabalho, fazemos uma comparaÃÃo entre as formulaÃÃes de programaÃÃo inteira conhecidas para indicar a escolha pela formulaÃÃo dos representantes. Revisamos a formulaÃÃo para remover simetrias existentes e apresentamos um estudo parcial do politopo associado ao fecho convexo de suas soluÃÃes inteiras. Discutimos como à possÃvel utilizar a formulaÃÃo dos representantes para gerar limites inferiores para o nÃmero cromÃtico fracionÃrio. Realizamos a implementaÃÃo de um mÃtodo de planos de corte para aproximar o nÃmero cromÃtico fracionÃrio e mostramos que podemos gerar limitantes inferiores que normalmente nÃo diferem em mais de uma unidade. / The vertex coloring problem is one of the most studied problems in graph theory for its relevance in practical and theoretical fields. From a theoretical point of view, it is a NP-Hard problem. Moreover, it is classified among the most difficult problems of NP- Hard in the sense that finding an approximation to the chromatic number is also NP-Hard. The importance of the coloring problem motivates searching for methods to find lower bounds close to the chromatic number. Historically, the first lower bounds used were obtained from the size of maximal cliques. More recently, relaxed integer programming formulations gained more attention. A formulation which found good lower bounds was the coloring problem through stable sets whose relaxed lower bound equals the fractional chromatic number. In this work, we make a comparison between the known integer programming formulations to motivate our choice for the Representatives formulation. We revise this formulation to remove symmetry and present a partial study of the polytope associated with the convex hull of its integer solutions. We discuss how to se the Representatives formulation to get lower bounds for the fractional chromatic number and we show how to get such lower bounds that differ at most by one unit to its exact value.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / The coloring problem is among the most studied in the Graph Theory due to its great theoretical and practical importance. Since the problem of coloring the vertices of a graph G either with the smallest amount of colors is NP-hard, various coloring heuristics are examined to obtain a proper colouring with a reasonably small number of colors. Given a graph G, the b heuristic of colouring comes down to decrease the amount of colors in a proper colouring c, so that, if all vertices of a color class fail to see any color in your neighborhood, then we can change the color to any color these vertices nonexistent in your neighborhood. Thus, we obtain a coloring c ′ with a color unless c. Irving and Molove defined the b-coloring of a graph G as a coloring where every color class has a vertex that is adjacent the other color classes. These vertices are called b-vertices. Irving and Molove also defined the b-chromatic number as the largest integer k, such that G admits a b-coloring by k colors. They showed that determine the value of the b-chromatic number of any graph is NP-hard, but polynomial for trees. Irving and Molove also defined the m-degree of a graph, which is the largest integer m(G) such that there are m(G) vertices with degree at least m(G) − 1. Irving and Molove showed that the m-degree is an upper limit to the b-chromatic number and showed that it is m(T) or m(T)−1 to every tree T, where its value is m(T) if, and only if, T has a good set. In this dissertation, we analyze the relationship between the girth, which is the size of the smallest cycle, and the b-chromatic number of a graph G. More specifically, we try to find the smallest integer g ∗ such that if the girth of G is at least g ∗ , then the b-chromatic number equals m(G) or m(G)−1. Show that the value of g ∗ is at most 6 could be an important step in demonstrating the famous conjecture of Erd˝os-Faber-LovÂasz, but the best known upper limit to g ∗ is 9. We characterize the graphs whose girth is at least 6 and not have a good set and show how b-color them optimally. Furthermore, we show how b-color, also optimally, graphs whose girth is at least 7 and not have good set. / O problema de coloraÃÃo està entre os mais estudados dentro da Teoria dos Grafos devido a sua grande importÃncia teorica e prÃtica. Dado que o problema de colorir os vÃrtices de um grafo G qualquer com a menor quantidade de cores à NP-difÃcil, vÃrias heurÃsticas de coloraÃÃo sÃo estudadas a fim de obter uma coloraÃÃo prÃpria com um nÃmero de cores razoavelmente pequeno. Dado um grafo G, a heurÃstica b de coloraÃÃo se resume a diminuir a quantidade de cores utilizadas em uma coloraÃÃo prÃpria c, de modo que, se todos os vÃrtices de uma classe de cor deixam de ver alguma cor em sua vizinhanÃa, entÃo podemos modificar a cor desses vÃrtices para qualquer cor inexistente em sua vizinhanÃa. Dessa forma, obtemos uma coloraÃÃo c′ com uma cor a menos que c. Irving e Molove definiram a b-coloraÃÃo de um grafo G como uma coloraÃÃo onde toda classe de cor possui um vÃrtice que à adjacente as demais classes de cor. Esses vÃrtices sÃo chamados b-vÃrtices. Irving e Molove tambÃm definiram o nÃmero b-cromÃtico como o maior inteiro k tal que G admite uma b-coloraÃÃo por k cores. Eles mostraram que determinar o nÃmero b-cromÃtico de um grafo qualquer à um problema NP-difÃcil, mas polinomial para Ãrvores. Irving e Molove tambÃm definiram o m-grau de um grafo, que à o maior inteiro m(G) tal que existem m(G) vÃrtices com grau pelo menos m(G)−1. Irving e Molove mostraram que o m-grau à um limite superior para nÃmero b-cromÃtico e mostraram que o mesmo à igual a m(T) ou a m(T)−1, para toda Ãrvore T, onde o nÃmero b-cromÃtico à igual a m(T) se, e somente se, T possui um conjunto bom. Nesta dissertaÃÃo, verificamos a relaÃÃo entre a cintura, que à o tamanho do menor ciclo, e o nÃmero b-cromÃtico de um grafo G. Mais especificamente, tentamos encontrar o menor inteiro g∗ tal que, se a cintura de G à pelo menos g∗, entÃo o nÃmero b-cromÃtico à igual a m(G) ou m(G)−1. Mostrar que o valor de g∗ à no mÃximo 6 poderia ser um passo importante para demonstrar a famosa Conjectura de ErdÃs-Faber-Lovasz, mas o melhor limite superior conhecido para g∗ à 9. Caracterizamos os grafos cuja cintura à pelo menos 6 e nÃo possuem um conjunto bom e mostramos como b-colori-los de forma Ãtima. AlÃm disso, mostramos como bicolorir, tambÃm de forma Ãtima, os grafos cuja cintura à pelo menos 7 e nÃo possuem conjunto bom.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / This study was conducted in order to verify the effects of the inclusion of annatto residual seed (SRU) in the feed of laying hens red eggs on the quality of the fresh egg depending on the storage time to 6  C for up to 30 days. The experimental design was completely randomized in a factorial 3 x 6 (six experimental diets and three storage times), six replicates per treatment, totaling 108 observations. Initially, 288 laying hens Lohmann Brown at 34 weeks of age were randomly distributed, totaling 48 birds (6 repetitions of 8 birds) for each experimental diet, which consisted of T1 - ration composed based on corn and soybean meal (positive control); T2 - diet containing sorghum in total replacement of corn without the addition of pigmentante (negative control); T3, T4, T5 and T6 - feed containing sorghum in total replacement of corn, with the addition of 2.5; 4.5; 6.5 and 8.5% residual annatto seed (SRU), respectively. In the 10th week, after the start of the experimental supply feed were collected 6 eggs of each repetition for evaluations on day 0 and after 15 and 30 days of storage. We evaluated the albumen quality parameters (Haugh units, percentage, pH, formation and foam stability), gem (percentage and pH, subjective and objective color and lipid oxidation) and bark (percentage and specific gravity). There was a significant interaction between the experimental feed and the storage time, only for yolk color variables. However, the addition SRU linearly increases the perception of color by colorimetric range, reduced lightness (L *), increased redness (a *) and yellow (b *), while increasing storage time increased perception of color by colorimetric range, intensity of yellow (b *) and reduced lightness (L *) and redness (a *). The experimental feed does not influence other gem quality variables, but the storage time caused a loss in the quality of albumen and shell, except the percentage of shell and albumen pH. It is possible to include up to 8.5% of SRU in feed containing sorghum for laying red eggs without harming the quality of the albumen and yolk of fresh and stored eggs, and improve the color of the yolk with the inclusion from 2.5 %. / Este estudo foi realizado com o objetivo de verificar os efeitos da inclusÃo da semente residual do urucum (SRU) na raÃÃo de poedeiras comerciais de ovos vermelhos sobre a qualidade do ovo fresco em funÃÃo do tempo de armazenamento a 6ÂC por atà 30 dias. O delineamento experimental foi o inteiramente casualizado em esquema fatorial 6 x 3 (seis raÃÃes experimentais e trÃs tempos de armazenamento), sendo seis repetiÃÃes por tratamento, totalizando 108 observaÃÃes. Inicialmente, 288 poedeiras Lohmann Brown com 34 semanas de idade foram distribuÃdas ao acaso, totalizando 48 aves (6 repetiÃÃes de 8 aves) para cada raÃÃo experimental, que consistiram em: T1 - raÃÃo composta à base de milho e farelo de soja (controle positivo); T2 - raÃÃo contendo sorgo em substituiÃÃo total ao milho, sem a adiÃÃo de pigmentante (controle negativo); T3, T4, T5 e T6 â raÃÃo contendo sorgo em substituiÃÃo total ao milho, com a adiÃÃo de 2,5; 4,5; 6,5 e 8,5% de semente residual de urucum (SRU), respectivamente. Na 10 semana apÃs o inÃcio do fornecimento das raÃÃes experimentais foram coletados 6 ovos de cada repetiÃÃo para as avaliaÃÃes no dia 0 e apÃs 15 e 30 dias de armazenamento. Foram avaliados os parÃmetros de qualidade do albÃmen (Unidades Haugh, percentagem, pH, formaÃÃo e estabilidade da espuma), da gema (percentagem e pH, cores subjetiva e objetiva e oxidaÃÃo lipÃdica) e da casca (percentagem e densidade especÃfica). Houve interaÃÃo significativa entre as raÃÃes experimentais e o tempo de armazenamento, apenas para as variÃveis de coloraÃÃo da gema. PorÃm, a adiÃÃo de SRU aumentou linearmente a percepÃÃo da cor pelo leque colorimÃtrico, reduziu a luminosidade (L*), aumentou a intensidade de vermelho (a*) e do amarelo (b*), enquanto o aumento do tempo de armazenamento aumentou a percepÃÃo da cor pelo leque colorimÃtrico, intensidade do amarelo (b*) e reduziu a luminosidade (L*) e a intensidade de vermelho (a*). As raÃÃes experimentais nÃo influenciaram as demais variÃveis de qualidade da gema, entretanto o tempo de armazenamento causou um prejuÃzo na qualidade do albÃmen e da casca, com exceÃÃo da percentagem de casca e pH do albÃmen. à possÃvel incluir atà 8,5% de SRU em raÃÃes contendo sorgo para poedeiras de ovos vermelhos sem prejudicar a qualidade do albÃmen e da gema dos ovos frescos e armazenados, sendo possÃvel melhorar a coloraÃÃo da gema com a inclusÃo a partir de 2,5%.