El objetivo de esta tesis es abordar distintos problemas algebraicos acerca de
algunas subvariedades de las álgebras de De Morgan Heyting y de las álgebras pseudocomplementadas
de Kleene utilizando dualidades topológicas tipo Priestley correspondientes
a dichas variedades. Se investiga la sucesión de subvariedades SDHn de
las álgebras de De Morgan Heyting caracterizadas por la identidad xn(1*) = x(n+1)(1*)
definidas por H.P. Sankappanavar en [26]. Se obtienen condiciones necesarias y sufi-
cientes sobre el espacio de filtros primos para que un álgebra de De Morgan Heyting
pertenezca a la variedad SDH1 y se caracterizan las álgebras subdirectamente irreducibles
y simples de dicha variedad. Todos estos resultados son extendidos para las
álgebras finitas en el caso general SDHn.
La clase de las álgebras de Boole es un ejemplo familiar de álgebras de Heyting y
es bien conocido que existe una correspondencia entre las subálgebras de un álgebra
de Boole y ciertas relaciones de equivalencia definidas sobre su espacio Booleano
(ver, por ejemplo [13]). En esta tesis se extiende esta correspondencia tanto para la
clase de las álgebras de Heyting como para la clase de las álgebras de De Morgan
Heyting, es decir, se caracterizan las subálgebras de las álgebras de Heyting y de
De Morgan Heyting definiendo ciertas relaciones de equivalencia sobre los espacios
topológicos de sus respectivas representaciones tipo Priestley. Como caso particular
de este resultado, se obtiene la caracterización para subálgebras maximales de las
álgebras de Heyting finitas dada por M. Adams en [2].
Se estudian las álgebras subdirectamente irreducibles en la variedad PCDM de
las álgebras pseudocomplementadas de De Morgan a través de sus pm-espacios. Se
introduce la noción de body de un álgebra L 2 PCDMy se caracteriza completamente
Body(L) cuando L es subdirectamente irreducible, directamente indescomponible
o simple. Como consecuencia de esto, en el caso particular de las álgebras pseudocomplementadas
de Kleene, surgen naturalmente tres subvariedades de la misma
para las cuales se determinan identidades que las caracterizan. Se define la subvariedad
BPK, de particular interés ya que sus álgebras subdirectamente irreducibles son
suma ordinal de álgebras de Boole y cadenas, realizándose un estudio de la misma. Se
determina completamente el reticulado de sus subvariedades y se encuentran bases
ecuacionales para cada una de ellas. Una de estas subvariedades, llamada BPK0 es
aquella cuyos miembros subdirectamente irreducibles son de la forma B B, donde
B es un álgebra de Boole. La última parte de la tesis está destinada al estudio de
la variedad BPK0 resolviéndose problemas tales como la obtención de las álgebras
libres con una cantidad finita de generadores libres y la descripción completa del
reticulado de cuasivariedades junto con una base de cuasi-identidades para cada
cuasivariedad. / The objective of this thesis is to study several algebraic problems regarding
some subvarieties of De Morgan Heyting algebras and pseudocomplemented Kleene
algebras using the corresponding Priestley dualities as a main tool. We focus on the
sequence of subvarieties SDHn, which consist of the De Morgan Heyting algebras
characterized by the identity xn(1*) =x(n+1)(1*), as defined by H. P. Sankappanavar
in [26]. We give necessary and suficient conditions on the space of prime filters for
a De Morgan Heyting algebra to belong to the variety SDH1. We also characterize
the subdirectly irreducible and simple members of this variety. These results are all
further extended for finite algebras in the general case of the varieties SDHn.
The class of Boolean algebras is a familiar example of Heyting algebras and it
is well known that there exists a correspondence between subalgebras of a Boolean
algebra and certain equivalence relations on its Boolean space (see, for example,
[13]). In this thesis, we extend this correspondence both for the class of Heyting
algebras and for the class of De Morgan Heyting algebras, that is, we characterize
the subalgebras of a Heyting algebra and a De Morgan Heyting algebra by defining
certain equivalence relations on their respective Priestley spaces. The characterization
of maximal subalgebras in finite Heyting algebras given by M. Adams in [2]
follows now as a special case of our characterization.
We also study the subdirectly irreducible members of the variety PCDM of
pseudocomplemented De Morgan algebras in terms of their pm-spaces. We introduce
the notion of body of an algebra L 2 PCDM and characterize completely the
body of L when L is subdirectly irreducible, directly indecomposable or simple. As
a consequence of this, in the case of pseudocomplemented Kleene algebras, three
special subvarieties arise naturally, for which we give explicit identities that characterize
them. We also define the variety BPK which is of particular interest because
its subdirectly irreducible algebras are ordinal sums of Boolean algebras and chains.
We study this variety in depth. We determine the whole subvariety lattice and find
explicit equational bases for each of the subvarieties. The subdirectly irreducible
members of one of these subvarieties, called BPK0, are of the form B B, where
B is a Boolean algebra. The last part of this thesis is devoted to the study of this
variety: we characterize the finitely generated free algebras and give a full description
of the quasivariety lattice as well as the corresponding quasi-equational basis
for each of the quasivarieties.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/3808 |
| Date | 28 June 2017 |
| Creators | Castaño, Valeria Marcela |
| Contributors | Díaz Varela, José Patricio |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
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