(\bf RESUME) \footnote(Les références sont celles de la liste des publications.) \end(center) * Dans la première, on examine les propriétés de la fonction elliptique\\ $\wp(z,\omega,\omega')$\ de Weierstrass et les fonctions \ $\theta(v,\tau)$ \ classiques, à la lumière d'un nouveau développement trigonométrique. On détermine explicitement les coefficients en fonction de \ $\tau$, qui sont en fait des fonctions hypergéométriques. (\it [P1], [P6]). \\ Cela permet en particulier une nouvelle construction de la théorie des fonctions elliptiques et de retrouver certaines propriétés. Notamment, celle concernant la fonction zeta de Jacobi \ $Zn(z,k).$\ Aussi, on met en évidence des relations modulaires entre ces coefficients. \ (\it [P7], [P19], [P22]). * Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux solutions\ périodiques \ de \ certaines\ équations\ différentielles\ ordinaires et, plus précisèment à la croissance de la fonction période dépendant de l'énergie et, aux conditions de sa monotonie. Nous mettons en évidence une nouvelle condition suffisante. (\it [P5]). On montre en particulier que tous les critères connus - à savoir ceux de Chow, Schaaf Chicone et Rothe - ne sont pas optimaux. (\it [P8]).\\ On s'intéresse aussi à la monotonie de la période du système de Liénard avec un centre à l'origine.On donne en particulier une preuve plus simple d'un résultat de Christopher et Devlin. (\it [T30] ) En utilisant des séries trigonométriques, on montre l'existence de solutions périodiques pour une équation de type Duffing perturbée. (\it [P10], [P12]).\\ Enfin, on utilise avec succès une méthode de Farkas concernant la controllabilité de la période pour montrer l'existence d'une solution périodique de l'équation de Liénard perturbée. (\it [P13] ). * Dans la troisième partie, nous mettons en évidence les propriétés des courbures riemannienne et de Ricci de certaines métriques à courbure scalaire constante positive, ainsi que leurs singularités. (\it [P3], [P4]).\\ Ces métriques en nombre fini sont appelées pseudo-cylindriques. De plus, elles ont une courbure harmonique et une courbure de Ricci non paralléle, et sont solutions du problème de Yamabe singulier sur la sphère standard privée de deux points\ $S^n -\(p_1,p_2\).$ \ On examine aussi leurs propriétés asymptotiques. De plus, pour certaines valeurs de \ $n \ =3,4$\ ou\ $6$ \ on peut déterminer ces métriques explicitement. On s'intéresse aussi au problème d'existence de métriques tordues de A. Derdzinski. (\it [P11], [P15]). * Enfin, dans la dernière partie, on considère des inégalités isopérimètriques de type Bonnesen en rapport avec des conjectures de P. Lévy et de X.M. Zhang sur des polygones plans. Nous proposons en particulier une conjecture plus générale.\ (\it [P2], [P9], [P18]).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00003633 |
| Date | 17 October 2003 |
| Creators | Chouikha, Raouf |
| Publisher | Université de Rouen |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | habilitation ࠤiriger des recherches |
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