The Schramm-Loewner Evolution, or SLE, is a chain of random compact sets that allows us to generate any random curve that satis es conformal invariance as well as the domain Markov property. Its construction goes through the solution of a random version of Loewner's deterministic equation: @tgt(z) = 2 gt(z) f(t) g0(z) = z where the continuous function f is replaced by a stochastic process p kB, where k is a positive constant and B a Brownian motion. This construction enables the inclusion of stochastic calculus tools in the study of the curves generated by the SLE. The main objective of this thesis is to provide an accessible and introductory description of SLE. To do this, Loewner's theorems, which allows us to establish bijections between families of hulls and families of biholomorphisms properly normalized in 1, as well as between real continuous functions of real variable and families of hulls, are enunciated and demonstrated. On these bijections, the good de nition of the SLE is justi ed as a random family of hulls with law induced by a Brownian motion through the Loewner random equation. Then some elementary properties that the SLE inherits from the Brownian movement are presented and the existence of the curve that generates the SLE is demonstrated. Finally, as a way of discussing the non-trivial character of the constant k that appears in front of the Brownian motion that gives rise to the SLE, a demonstration of a phase transition exhibited by the SLE curves is presented, which pass from curves simple to non-simple once you go from k 2 (0:4] to k > 4. / La Evolución Schramm-Loewner, o SLE por sus siglas en inglés, es una
cadena de conjuntos compactos aleatorios que permite generar cualquier curva
aleatoria que posea las propiedades de dominio de Markov y de invarianza bajo
transformaciones conformes. Su construcción pasa por la solución de una versión
aleatoria de la ecuación determinística de Loewner:
∂tgt(z) = 2/gt(z) − f(t)
g0(z) = z
donde la función continua f es reemplazada por un proceso estocástico raíz de kB,
donde k es una constante positiva y B un movimiento Browniano. Dicha
construcción facilita la inclusión de herramientas del cálculo estocástico en el
estudio de las curvas que genera la SLE. La presente tesis tiene como objetivo
principal brindar una descripción accesible e introductoria de la SLE. Para ello
se enuncian y demuestran los teoremas de Loewner que nos permiten establecer
biyecciones entre familias de hulls y familias de biholomorfismos adecuadamente
normalizados en infinito, así como entre funciones continuas reales de variable real
y familias de hulls. Sobre dichas biyecciones se justifica la buena definición
de la SLE en tanto familia aleatoria de hulls con ley inducida a través de un
movimiento Browniano por intermedio de la ecuación aleatoria de Loewner.
Luego se presentan algunas propiedades elementales que la SLE hereda del
movimiento Browniano y se demuestra la existencia de la curva que genera la SLE.
Finalmente, como una manera de discutir el carácter no trivial de la constante k
que aparece delante del movimiento Browniano que da lugar a la SLE, se presenta
una demostración de una transición de fase que exhiben las curvas SLE, las cuales
pasan de curvas simples a no simples una vez que se pasa de k E (0; 4] a k>4.
Palabras clave:
ecuación de Loewner
hull compacto
ujo de Loewner
cadena de Loewner
movimiento browniano
curva aleatoria
| Identifer | oai:union.ndltd.org:PUCP/oai:tesis.pucp.edu.pe:20.500.12404/18863 |
| Date | 21 April 2021 |
| Creators | Maura Llauri, Christian Jaime |
| Contributors | Beltrán Ramirez, Johel Victorino |
| Publisher | Pontificia Universidad Católica del Perú, PE |
| Source Sets | Pontificia Universidad Católica del Perú |
| Language | Spanish |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess, Atribución 2.5 Perú, http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/pe/ |
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