Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / Cada semi-grupo tiene asociado un generador infinitesimal. Hille y Yosida descubrieron de manera independiente, alrededor de 1948, una condición necesaria y suficiente para saber cuándo un operador es el generador infinitesimal de un semi-grupo (de clase C0). Por otro lado, cada semi-grupo tiene asociado un potencial, concepto dual al de generador infinitesimal. Hunt, Meyer y Lion, entre otros, encontraron condiciones para saber cuándo un operador es el potencial de un semi-grupo. El problema propuesto para esta tesis es el siguiente : dado el núcleo de Green del movimiento browniano en un dominio, ¿ qué potencias de este núcleo y sobre qué clase de dominios generan un potencial de semi-grupo ? La idea central para resolver este problema es la aproximación del núcleo por procesos discretos, usar resultados conocidos para matrices y extender estos resultados al caso continuo. Para que funcione la aproximación, es necesario restringir la clase de conjuntos considerados, tratando de quedar lo más general posible. En esta tesis damos respuesta para el caso de los abiertos acotados regulares. Los conjuntos regulares son, simplificando, los conjuntos adecuados de la teoría del potencial. Si se debe resumir la memoria en una palabra seria «aproximación», se trata de reducir el problema a un caso conocido y se busca como extenderlo. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el CMM Center for Mathematical Modeling

Ingeniero Civil Matemático / El presente trabajo de Memoria de Título para la carrera Ingeniería Civil Matemática consiste en el estudio de difusiones en la recta real. Se pretende caracterizar la familia de procesos estocásticos generada por los operadores inversos de las n-ésimas potencias de Haddamard el operador de Green del Movimiento Browniano. En una primera instancia, se estudian las potencias de Haddamard del operador de Green asociado al movimiento Browniano en un intervalo acotado. Con ciertas propiedades encontradas para estos operadores, se obtienen propiedades que impiden la existencia de una inversa contínua. Luego, se calcula una fórmula para un operador diferencial en L^2, demostrando que corresponde a una inversa para la potencia del operador de Green. Posteriormente, se estudia la familia de procesos estocásticos cuyo semigrupo generador está dado por los operadores anteriormente obtenidos truncados en el coeficiente lineal. Este estudio permite obtener ciertas propiedades para el posterior estudio de la familia de procesos generada por los operadores obtenidos en la primera etapa, y además entrega una caracterización que resulta en sí misma interesante de una familia de procesos estocásticos. Luego, se caracteriza la familia de procesos estocásticos cuyo semigrupo generador está dado por los operadores obtenidos en la etapa inicial, en función de la familia de procesos obtenida en la parte anterior. Se demuestra la igualdad en ley con un proceso que es identico al anterior hasta un instante aleatorio de muerte y se obtienen cotas para la probabilidad de muerte en función del tiempo elapsado y de la potencia de Haddamard que genera el proceso, que se verifica una ecuación de semigrupo, que el generador de dicho proceso efectivamente corresponde a la inversa de una potencia de Hadamard del operador de Green del Movimiento Browniano, y que el Kernel de Green para estos procesos corresponde a una potencia de Hadamard de dicho operador. Finalmente, se presentan métodos numéricos desarrollados para simular ambas familias de procesos estocásticos, sus limitaciones, posibles errores, y se muestran un par de resultados obtenidos junto con una discusión acerca de la sensibilidad de los parámetros y los errores de aproximación.

Magíster en Ciencias, Mención Física / En el presente trabajo se estudia la dinámica de suspensiones en un sistema cuasi bidimensional (celda de Hele-Shaw), considerando partículas no Brownianas inmersas en un fluido viscoso confinado entre dos paredes infinitas, paralelas al plano en que se mueven las partículas. Al desplazarse una partícula, ésta provoca una perturbación en el fluido, el cual la transmite a lo largo del sistema y, por lo tanto, afecta a las demás partículas presentes. El objetivo principal es obtener un modelo que permita describir las interacciones de campo lejano entre las partículas, continuando la investigación que realizó la Dra. Álvarez en su tesis doctoral [1]. La aproximación del modelo dipolar desarrollada por la Dra. Álvarez se extiende a un modelo cuadrupolar; en otras palabras, se analizó el siguiente término en la serie de Fourier. Se recuperan los resultados de la Dra. Álvarez en relación a la fuerza hidrodinámica entre las partículas; específicamente, el lento decaimiento (que va como el cuadrado del inverso de la distancia, R-2) y el fenómeno de "antiarrastre'' entre partículas. En la expresión de esta fuerza queda de manifiesto la interacción entre todas las partículas del sistema, además del efecto que la misma partícula produce sobre sí misma al desplazarse. Se procede a analizar el caso particular de la sedimentación, i.e., el efecto de considerar la fuerza de gravedad. Se calcula la velocidad terminal de sedimentación, como también sus fluctuaciones (i.e., la desviación estándar). Para ello se utilizan tanto el modelo dipolar como el cuadrupolar, lo cual permite comparar ambos modelos; se concluye que las correcciones del modelo cuadrupolar no son despreciables si se desea precisión, pero de todas maneras el modelo dipolar logra rescatar la dinámica principal del sistema. Para realizar los cálculos utilizando un modelo consistente que no presente problemas de convergencia, se incorpora la presencia de paredes perpendiculares al plano en que se mueven las partículas mediante el método de imágenes. Una importante conclusión obtenida es que tanto la velocidad de sedimentación como sus fluctuaciones son independientes de tanto el tamaño como la geometría del sistema, a diferencia del caso tridimensional, en donde estudios teóricos indican que la geometría del sistema determina el comportamiento de las fluctuaciones. Finalmente, se desarrolla un modelo a partir de la Mecánica Estadística para calcular la función distribución de pares de partículas g(2) y se obtiene la jerarquía YBG correspondiente a este sistema. Considerando el régimen de una suspensión muy diluida se logra calcular una expresión analítica para g(2), la cual presenta en su forma el hecho de que la fuerza de campo lejano tiende a producir un déficit en el número de partículas cerca de una partícula de prueba. La nueva expresión para g(2) es empleada para calcular un nuevo valor de la velocidad terminal de sedimentación.

Analiza el cambio de paradigma de un movimiento browniano ordinario a un movimiento browniano fraccional en el proceso de la volatilidad del tipo de cambio, es decir el elemento de persistencia en una serie caótica muy sensible a cambios en las condiciones iniciales, los cuales generan impactos decisivos en la dinámica de su movimiento de esta manera identificándose patrones en su conducta a primera vista aleatoria, pero fractalmente con un patrón a modelar, se demuestra que la serie de tiempo sujeto de estudio es un proceso con incrementos no estacionarios y dependientes distinguidas por la no linealidad negando la posibilidad de ser un proceso martingala, debido a la evidencia del coeficiente de Hurts y otras pruebas semiparamétricas que la respaldan por lo que se demuestra también que la variación cuadrática del proceso es cero. Por otro lado se muestra que dicha persistencia tiende a desaparecer de manera hiperbólica para ello se utilizó la función impulso respuesta acumulativa también llamada memoria larga. Por lo tanto el centro neurálgico de esta investigación es la persistencia en modelos no lineales heterocedásticos (FIGARCH), modelos autoregresivos con heterocedasticidad condicionada generalizada fraccionalmente integrados. Utilizando las principales propiedades de procesos gaussianos y los casos específicos de movimiento browniano y movimiento browniano fraccional. Para dicha aplicación se utilizó a la variable tipo de cambio y mediante modelos de series de tiempo de memoria larga poder analizar la persistencia del efecto existente en la volatilidad de dicha serie. Considerando que existen muchos puntos de vistas acerca del estudio de este fenómeno caótico, se logra la formulación y estimación econométrica para entender de mejor manera la naturaleza de un indicador macroeconómico clave en la toma de decisiones estatales. De esta manera poder demostrar la dependencia de los intervalos ajenos si importar su distancia en un proceso estocástico, es decir la existencia de la dependencia no lineal entre los incrementos de una serie de tiempo. / Tesis

La Evolución Schramm-Loewner, o SLE por sus siglas en inglés, es una cadena de conjuntos compactos aleatorios que permite generar cualquier curva aleatoria que posea las propiedades de dominio de Markov y de invarianza bajo transformaciones conformes. Su construcción pasa por la solución de una versión aleatoria de la ecuación determinística de Loewner: ∂tgt(z) = 2/gt(z) − f(t) g0(z) = z donde la función continua f es reemplazada por un proceso estocástico raíz de kB, donde k es una constante positiva y B un movimiento Browniano. Dicha construcción facilita la inclusión de herramientas del cálculo estocástico en el estudio de las curvas que genera la SLE. La presente tesis tiene como objetivo principal brindar una descripción accesible e introductoria de la SLE. Para ello se enuncian y demuestran los teoremas de Loewner que nos permiten establecer biyecciones entre familias de hulls y familias de biholomorfismos adecuadamente normalizados en infinito, así como entre funciones continuas reales de variable real y familias de hulls. Sobre dichas biyecciones se justifica la buena definición de la SLE en tanto familia aleatoria de hulls con ley inducida a través de un movimiento Browniano por intermedio de la ecuación aleatoria de Loewner. Luego se presentan algunas propiedades elementales que la SLE hereda del movimiento Browniano y se demuestra la existencia de la curva que genera la SLE. Finalmente, como una manera de discutir el carácter no trivial de la constante k que aparece delante del movimiento Browniano que da lugar a la SLE, se presenta una demostración de una transición de fase que exhiben las curvas SLE, las cuales pasan de curvas simples a no simples una vez que se pasa de k E (0; 4] a k>4. Palabras clave: ecuación de Loewner hull compacto ujo de Loewner cadena de Loewner movimiento browniano curva aleatoria / The Schramm-Loewner Evolution, or SLE, is a chain of random compact sets that allows us to generate any random curve that satis es conformal invariance as well as the domain Markov property. Its construction goes through the solution of a random version of Loewner's deterministic equation: @tgt(z) = 2 gt(z) 􀀀 f(t) g0(z) = z where the continuous function f is replaced by a stochastic process p kB, where k is a positive constant and B a Brownian motion. This construction enables the inclusion of stochastic calculus tools in the study of the curves generated by the SLE. The main objective of this thesis is to provide an accessible and introductory description of SLE. To do this, Loewner's theorems, which allows us to establish bijections between families of hulls and families of biholomorphisms properly normalized in 1, as well as between real continuous functions of real variable and families of hulls, are enunciated and demonstrated. On these bijections, the good de nition of the SLE is justi ed as a random family of hulls with law induced by a Brownian motion through the Loewner random equation. Then some elementary properties that the SLE inherits from the Brownian movement are presented and the existence of the curve that generates the SLE is demonstrated. Finally, as a way of discussing the non-trivial character of the constant k that appears in front of the Brownian motion that gives rise to the SLE, a demonstration of a phase transition exhibited by the SLE curves is presented, which pass from curves simple to non-simple once you go from k 2 (0:4] to k > 4.