Un problema común en la teoría de aproximación es la reconstrucción de una función a partir de
un conjunto de valores discretos de datos que dan información sobre la función misma. Esta
información por lo general viene dada como valores puntuales o medias en celda de la función
sobre un conjunto finito de puntos o celdas, respectivamente. La función es aproximada por un
interpolante, es decir, por otra función cuyos valores puntuales o medias en celda coinciden con
los de la función original.
Este interpolante puede ser construido por interpolación lineal. En este caso la exactitud de la
aproximación cerca de una singularidad está limitada y depende del orden de la singularidad, de
modo que si construimos el polinomio interpolador basándonos en un stencil que cruza la
singularidad obtendremos una aproximación insatisfactoria. Esto significa que aumentar el grado
del polinomio producirá regiones más grandes de mala aproximación alrededor de las
singularidades.
Para aumentar la exactitud la solución es escoger los puntos de forma que el stencil quede dentro
de la parte suave de la función, siempre que esto sea posible. Esta es la idea que hay detrás de la
técnica de interpolación ENO (Esencialmente No Oscilatoria), introducida por Harten et al., que es
un procedimiento no lineal con el que la región de poca exactitud queda reducida al intervalo que
contiene la singularidad, siempre y cuando las singularidades estén suficientemente bien
separadas.
Liu et al. introdujeron una mejora sobre la técnica ENO, llamada weighted ENO (ENO
ponderado), que consiste en reconstruir un polinomio que interpola los valores puntuales de la
solución de una ley de conservación hiperbólica a partir de las medias en celda de la solución
débil. En la interpolación WENO se asignan a cada celda todos los stencils que la contienen, y el
polinomio interpolador se calcula como combinación lineal convexa de todos los polinomios
correspondientes a estos stencils. La clave es asignar los pesos más convenientes a la
combinación. Estos pesos deben ser elegidos de forma que en la combinación los polinomios
interpoladores en los stencils que cruzan una singularidad tengan una contribución casi nula. En
las regiones suaves se utiliza la información proporcionada por todas las celdas contenidas en los
stencils del proceso de selección ENO, y el resultado es un mayor orden de exactitud.
En este trabajo se ha integrado la técnica WENO en el entorno de multirresolución de Harten, y se
ha adaptado a los contextos de medias en celda y valores puntuales. En ambos casos se
proponen nuevas medidas para la suavidad de una función. Además, en el contexto de valores
puntuales se propone una modificación en la definición de los pesos WENO, que mejora el orden
de la aproximación en presencia de singularidades. En la definición de los pesos WENO se
introduce un ε positivo para evitar que el denominador se anule y se suele tomar ε constante. En
esta tesis se propone tomar ε=h2, lo que permite demostrar que si la función es suave en al menos
r+1 puntos y tiene una discontinuidad dentro del stencil de 2r puntos, entonces obtenemos al
menos una aproximación de orden r+1, es decir, como mínimo obtenemos el mismo orden que el
interpolante ENO, y en las zonas suaves de la función el orden de la aproximación es óptimo
incluso en presencia de puntos críticos en los que se anulen las dos primeras derivadas.
Las técnicas de interpolación WENO se comparan, mediante diferentes experimentos numéricos,
con las técnicas de interpolación lineal, ENO y ENO-SR, para poder concluir qué método
proporciona la mayor exactitud en cada caso. / A common problem in approximation theory is to reconstruct a function from a discrete set of data
which gives information on the function itself. This information will usually come in the form of
point-values or cell-averages of the function, which is then approximated by an interpolant, that is,
another function whose values at a given set of points or cell-averages are equal to those of the
original one.
This interpolant can be built through linear interpolation, but in this case the accuracy of the
approximation in the presence of a singularity is limited by the order of the singularity, so that any
stencil crossing it will result in a poor approximation. In order to improve the accuracy of the
approximation we need to choose stencils that avoid crossing singularities, whenever this is
possible. That is the idea behind the ENO (essentially non-oscillatory) technique, introduced by
Harten et al.
WENO (weighted ENO) was introduced by Liu et al. as an improvement upon ENO. The idea is to
assign to each subinterval all the stencils containing it, and construct the interpolating polynomial
as a linear convex combination of the corresponding polynomials. In this way we use all the
information provided by the nodes contained in the candidate stencils in the ENO selection
process, and this should give a higher order of accuracy in smooth regions of the function. The key
point is the assignment of weights to the convex combination.
In this work we have incorporated WENO to Harten's multiresolution framework, and adapted it to
the context of cell-averages and point-values. Moreover, for point-values we propose a
modification in the definition of the weights, producing a higher order of accuracy in the presence
of singularities. We also compare the WENO technique with other interpolation techniques through
numerical experimentation.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:TDX_UV/oai:www.tdx.cat:10803/39090 |
| Date | 01 March 2010 |
| Creators | Belda García, Ana María |
| Contributors | Aràndiga, Francesc, Universitat de València. Departament de Matemàtica Aplicada |
| Publisher | Universitat de València |
| Source Sets | Universitat de València |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
| Format | 228 p., application/pdf |
| Source | TDX (Tesis Doctorals en Xarxa) |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess, ADVERTIMENT. L'accés als continguts d'aquesta tesi doctoral i la seva utilització ha de respectar els drets de la persona autora. Pot ser utilitzada per a consulta o estudi personal, així com en activitats o materials d'investigació i docència en els termes establerts a l'art. 32 del Text Refós de la Llei de Propietat Intel·lectual (RDL 1/1996). Per altres utilitzacions es requereix l'autorització prèvia i expressa de la persona autora. En qualsevol cas, en la utilització dels seus continguts caldrà indicar de forma clara el nom i cognoms de la persona autora i el títol de la tesi doctoral. No s'autoritza la seva reproducció o altres formes d'explotació efectuades amb finalitats de lucre ni la seva comunicació pública des d'un lloc aliè al servei TDX. Tampoc s'autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant als continguts de la tesi com als seus resums i índexs. |
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