The ground state of a quantum system is the minimizer of the total energy of that system. The aim of this thesis is to present and numerically solve the Gross-Pitaevskii eigenvalue problem (GPE) as a physical model for the formation of ground states of dilute Bose gases at ultra-low temperatures in a disordered potential. The first part of the report introduces the quantum mechanical phenomenon that arises at ground states of the Bose gases; the Anderson localization, and presents the nonlinear eigenvalue problem and the finite element method (FEM) used to discretize the GPE. The numerical method used to solve the eigenvalue problem for the smallest eigenvalue is called the inverse power iteration method, which is presented and explained. In the second part of the report, the smallest eigenvalue of a linear Schrödinger equation is compared with the numerically computed smallest eigenvalue (ground state) in order to evaluate the accuracy of a linear numerical scheme constructed as first step for numerically solving the non-linear problem. In the next part of the report, the numerical methods are implemented to solve for the eigenvalue and eigenfunction of the (non-linear) GPE at ground state (smallest eigenvalue). The mathematical expression for the quantum energy and smallest eigenvalue of the non-linear system are presented in the report. The methods used to solve the GPE are the FEM and inverse power iteration method and different instances of the Anderson localization are produced. The study shows that the error of the smallest eigenvalue approximation for the linear case without disorder is satisfying when using FEM and Power iteration method. The accuracy of the approximation obtained for the linear case without disorder is satisfying, even for a low numbers of iterations. The methods require many more iterations for solving the GPE with a strong disorder. On the other hand, pronounced instances of Anderson localizations are produced in a certain scaling regime. The study shows that the GPE indeed works well as a physical model for the Anderson localization. / Syftet med denna avhandling är att undersöka hur väl Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation (GPE) passar som en fysisk modell för bildandet av stationära elektronstater i utspädda Bose-gaser vid extremt låga temperaturer. Fenomenet som skall undersökas heter Anderson lokalisering och uppstår när potentialfältets styrka och störning i systemet är tillräckligt hög. Undersökningen görs i denna avhandling genom att numeriskt lösa GPE samt illustrera olika utfall av Anderson lokaliseringen vid olika numeriska värden. Den första delen av rapporten introducerar det icke-linjära matematiska uttrycket för GPE samt de numeriska metoderna som används för att lösa problemet numerisk: finita elementmetoden (FEM) samt egenvärdesalgoritmen som heter inversiiteration. Finita elementmetoden används för att diskretisera variationsproblemet av GPE och ta fram en enkel algebraisk ekvation. Egenvärdesalgoritmen tillämpas på den algebraiska ekvation för att iterativt beräkna egenfunktionen som motsvarar det minsta egenvärdet. Det minsta egenvärdet av en fullt definierad (linjär) Schrödinger ekvation löses i rapportens andra del. Den linjära ekvationen löses för att ta fram en förenklad numerisk algoritm att utgå ifrån innan den icke-linjära algoritmen tas fram. För att försäkra sig att den linjära algoritmen stämmer bra jämförs det exakta egenvärdet för problemet med ett numeriskt framtaget värde. Undersökningen av den linjära algoritmen visar att vi får en bra uppskattning av egenvärdet - även vid få iterationer. Vidare konstrueras den ickelinjära algoritmen baserat på den linjära. Ekvationen löses och undersökes. Egenfunktionen som motsvarar minsta egenvärdet framtas och beskriver kvantsystemet i lägsta energitillståndet, så kallade grundtillståndet. Undersökningen av GPE visar att de numeriska metoderna kräver många fler iterationer innan en tillräckligt bra uppskattning av egenvärdet fås. Å andra sidan fås markanta Anderson lokaliseringar för ett skalningsområde som beskrivs av styrkan av potentialfältet i relation till dess störning. Slutsatsen är att Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation passar bra som en fysisk modell för detta kvantsystem.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-269167 |
| Date | January 2020 |
| Creators | Ugarte, Crystal |
| Publisher | KTH, Numerisk analys, NA |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | Swedish |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-SCI-GRU ; 2020;026 |
Page generated in 0.0028 seconds