The ground state of a quantum system is the minimizer of the total energy of that system. The aim of this thesis is to present and numerically solve the Gross-Pitaevskii eigenvalue problem (GPE) as a physical model for the formation of ground states of dilute Bose gases at ultra-low temperatures in a disordered potential. The first part of the report introduces the quantum mechanical phenomenon that arises at ground states of the Bose gases; the Anderson localization, and presents the nonlinear eigenvalue problem and the finite element method (FEM) used to discretize the GPE. The numerical method used to solve the eigenvalue problem for the smallest eigenvalue is called the inverse power iteration method, which is presented and explained. In the second part of the report, the smallest eigenvalue of a linear Schrödinger equation is compared with the numerically computed smallest eigenvalue (ground state) in order to evaluate the accuracy of a linear numerical scheme constructed as first step for numerically solving the non-linear problem. In the next part of the report, the numerical methods are implemented to solve for the eigenvalue and eigenfunction of the (non-linear) GPE at ground state (smallest eigenvalue). The mathematical expression for the quantum energy and smallest eigenvalue of the non-linear system are presented in the report. The methods used to solve the GPE are the FEM and inverse power iteration method and different instances of the Anderson localization are produced. The study shows that the error of the smallest eigenvalue approximation for the linear case without disorder is satisfying when using FEM and Power iteration method. The accuracy of the approximation obtained for the linear case without disorder is satisfying, even for a low numbers of iterations. The methods require many more iterations for solving the GPE with a strong disorder. On the other hand, pronounced instances of Anderson localizations are produced in a certain scaling regime. The study shows that the GPE indeed works well as a physical model for the Anderson localization. / Syftet med denna avhandling är att undersöka hur väl Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation (GPE) passar som en fysisk modell för bildandet av stationära elektronstater i utspädda Bose-gaser vid extremt låga temperaturer. Fenomenet som skall undersökas heter Anderson lokalisering och uppstår när potentialfältets styrka och störning i systemet är tillräckligt hög. Undersökningen görs i denna avhandling genom att numeriskt lösa GPE samt illustrera olika utfall av Anderson lokaliseringen vid olika numeriska värden. Den första delen av rapporten introducerar det icke-linjära matematiska uttrycket för GPE samt de numeriska metoderna som används för att lösa problemet numerisk: finita elementmetoden (FEM) samt egenvärdesalgoritmen som heter inversiiteration. Finita elementmetoden används för att diskretisera variationsproblemet av GPE och ta fram en enkel algebraisk ekvation. Egenvärdesalgoritmen tillämpas på den algebraiska ekvation för att iterativt beräkna egenfunktionen som motsvarar det minsta egenvärdet. Det minsta egenvärdet av en fullt definierad (linjär) Schrödinger ekvation löses i rapportens andra del. Den linjära ekvationen löses för att ta fram en förenklad numerisk algoritm att utgå ifrån innan den icke-linjära algoritmen tas fram. För att försäkra sig att den linjära algoritmen stämmer bra jämförs det exakta egenvärdet för problemet med ett numeriskt framtaget värde. Undersökningen av den linjära algoritmen visar att vi får en bra uppskattning av egenvärdet - även vid få iterationer. Vidare konstrueras den ickelinjära algoritmen baserat på den linjära. Ekvationen löses och undersökes. Egenfunktionen som motsvarar minsta egenvärdet framtas och beskriver kvantsystemet i lägsta energitillståndet, så kallade grundtillståndet. Undersökningen av GPE visar att de numeriska metoderna kräver många fler iterationer innan en tillräckligt bra uppskattning av egenvärdet fås. Å andra sidan fås markanta Anderson lokaliseringar för ett skalningsområde som beskrivs av styrkan av potentialfältet i relation till dess störning. Slutsatsen är att Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation passar bra som en fysisk modell för detta kvantsystem.

In this thesis, a method to calculate eigenpairs is implemented for the Multipsi library. While the standard implemtentations use the Davidson method with Rayleigh-Ritz extraction to calculate the eigenpairs with the lowest eigenvalues, the new method uses the harmonic Davidson method with the harmonic Rayleigh-Ritz extraction to calculate eigenpairs with eigenvalues near a chosen target. This is done for Configuration Interaction calculations and for Multiconfigurational methods. From calculations, it seems the new addition to the Multipsi library is worth investigating further as convergence for difficult systems with a lot of near-degeneracy was improved. / I denna avhandling implementeras en metod för att beräkna egenpar för Multipsi-biblioteket. Medan standardimplementeringarna använder Davidson-metoden med Rayleigh-Ritz-extraktion för att beräkna egenparen med de lägsta egenvärdena, använder den nya metoden den harmoniska Davidson-metoden med den harmoniska Rayleigh-Ritz-extraktionen för att beräkna egenparen med egenvärden nära ett valt mål. Detta görs för konfigurationsinteraktionsberäkningar och för multikonfigurationsmetoder. Utifrån beräkningarna verkar det nya tillskottet till Multipsi-biblioteket vara värt att undersöka vidare eftersom konvergensen för svåra system med mycket nära degenerering förbättrades.

Pensionsmyndigheten's (the Swedish Pensions Agency) current calculation of the internal rate of return for 7.7 million premium pension savers is both time and resource consuming. This rate of return mirrors the overall performance of the funded part of the pension system and is analyzed internally, but also reported to the public monthly and yearly based on differently sized data samples. This thesis aims to investigate the possibility of utilizing other approaches in order to improve the performance of these calculations. Further, the study aims to verify the results stemming from said calculations and investigate their robustness. In order to investigate competitive matrix methods, a sample of approaches are compared to the more classical numerical methods. The approaches are compared in different scenarios aimed to mirror real practice. The robustness of the results are then analyzed by a stochastic modeling approach, where a small error term is introduced aimed to mimic possible errors which could arise in data management. It is concluded that a combination of Halley's method and the Jacobi-Davidson algorithm is the most robust and high performing method. The proposed method combines the speed and robustness from numerical and matrix methods, respectively. The result show a performance improvement of 550% in time, while maintaining the accuracy of the current server computations. The analysis of error propagation suggests the output error to be less than 0.12 percentage points in 99 percent of the cases, considering an introduced error term of large proportions. In this extreme case, the modeled expected number of individuals with an error exceeding 1 percentage point is estimated to be 212 out of the whole population. / Pensionsmyndighetens nuvarande beräkning av internräntan för 7,7 miljoner pensionssparare är både tid- och resurskrävande. Denna avkastning ger en översikt av hur väl den fonderade delen av pensionssystemet fungerar. Detta analyseras internt men rapporteras även till allmänheten varje månad samt årligen baserat på olika urval av data. Denna uppsats avser att undersöka möjligheten att använda andra tillvägagångssätt för att förbättra prestanda för denna typ av beräkningar. Vidare syftar studien till att verifiera resultaten som härrör från dessa beräkningar och undersöka deras stabilitet. För att undersöka om det finns konkurrerande matrismetoder jämförs ett urval av tillvägagångssätt med de mer klassiska numeriska metoderna. Metoderna jämförs i flera olika scenarier som syftar till att spegla verklig praxis. Stabiliteten i resultaten analyseras med en stokastisk modellering där en felterm införs för att efterlikna möjliga fel som kan uppstå i datahantering. Man drar slutsatsen att en kombination av Halleys metod och Jacobi-Davidson-algoritmen är den mest robusta och högpresterande metoden. Den föreslagna metoden kombinerar hastigheten från numeriska metoder och tillförlitlighet från matrismetoder. Resultatet visar en prestandaförbättring på 550 % i tid, samtidigt som samma noggrannhet som ses i de befintliga serverberäkningarna bibehålls. Analysen av felutbredning föreslår att felet i 99 procent av fallen är mindre än 0,12 procentenheter i det fall där införd felterm har stora proportioner. I detta extrema fall uppskattas det förväntade antalet individer med ett fel som överstiger 1 procentenhet vara 212 av hela befolkningen.