Cette thèse se concentre sur l'étude de quelques propriétés arithmétiques de certaines variétés algébriques qui sont ''les plus simples'' en un sens géométrique et qui sont définies sur des corps de type géométrique. Elle se compose de trois chapitres. Dans le premier chapitre, indépendant des deux autres, on s'intéresse à la propriété d'approximation faible pour une variété projective lisse rationnellement connexe X définie sur le corps de fonctions K=k(C) d'une courbe algébrique C sur un corps k. Supposons que X possède un K-point rationnel. En utilisant des méthodes géométriques, on démontre que X(K) est Zariski dense dans X si k est un corps fertile, et que l'approximation faible en un certain ensemble de places de bonne réduction vaut pour X sous des hypothèses supplémentaires convenables. Lorsque k est un corps fini, on obtient l'approximation faible en une place quelconque de bonne réduction pour une surface cubique lisse sur K ainsi qu'un résultat sur l'approximation faible d'ordre zéro pour des hypersurfaces cubiques de dimension supérieure sur K.Les deux autres chapitres forment la seconde partie de la thèse, où on travaille sur le corps des fractions K d'un anneau intègre local R, hensélien, excellent de dimension 2 dont le corps résiduel k est souvent supposé fini et où on emploie des outils plus algébriques. On étudie d'abord la ramification et la cyclicité des algèbres à division sur un tel corps K. On démontre en particulier que toute classe de Brauer d'ordre n premier à la caractéristique résiduelle sur K est d'indice divisant n^2 et que la cyclicité d'une classe de Brauer d'ordre premier peut être testée localement sur les corps complétés par rapport aux valuations discrètes de K. Ces résultats sont appliqués dans le dernier chapitre pour étudier l'arithmétique des formes quadratiques sur K. On montre que toute forme quadratique de rang \ge 9 sur K possède un zéro non trivial. Si K est le corps des fractions d'un anneau de séries formelles A[[t]] sur un anneau de valuation discrète complet A, on a prouvé le principe local-global pour toute forme quadratique de rang \ge 5 sur K. Pour K général on a établi le principe local-global pour les formes de rang 5. Le cas des formes de rang 6,7 ou 8 est ouvert.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00691513 |
| Date | 04 April 2012 |
| Creators | Hu, Yong |
| Publisher | Université Paris Sud - Paris XI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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