Lorsque W est un groupe de réflexion complexe bien engendré, le treillis NCP_W des partitions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d'un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées...). De nombreuses propriétés combinatoires de NCP_W sont démontrées au cas par cas, à partir de la classification des groupes de réflexion. C'est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis NCP_W en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d'une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la combinatoire de NCP_W et la théorie des invariants de W. Le point de départ est l'utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (LL), défini à partir de la géométrie du discriminant de W. Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les fibres de LL aux factorisations d'un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l'action d'Hurwitz du groupe de tresses B_n sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d'anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par un revêtement LL. On en déduit — sans utiliser la classification — des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d'un élément de Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de LL.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00528066 |
| Date | 09 July 2010 |
| Creators | Ripoll, Vivien |
| Publisher | Université Paris-Diderot - Paris VII |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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