BRITO, F. C. A. Resolução de problema via inteiros algébricos. 48 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-19T19:52:07Z
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Ex: Definições preliminares
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Previous issue date: 2017-07 / In this paper, we present the definitions of integral domain, euclidean domain, principal ideal domain and unique factorization domain and we prove the implications Euclidean Domain ⇒ Principal Ideal Domain ⇒ Unique Factorization Domain. We check that the set of Gaussian integers is a unique factorization domain, we find its prime elements and we describe several properties of this set, applying them especially to describe, completely, the Pythagorean triples and to calculate the number of ways one can write an integer as a sum of two squares. We also check that the set of Eisenstein integers is a unique factorization domain, we also find its prime elements and we apply the properties of this set to describe the general form of a triple of integers that are sides of a triangle with an angle of 60 o . We present the general form of the integers of Q [√d] and, for d < 0, we exhibit all values of d for which this ring a unique factorization domain. Lastly, we apply the developed theory to solve several problems of mathematical olympiads. / Neste trabalho, apresentamos as definições de domínio de integridade, domínio euclidiano, domínio de ideais principais e domínio de fatoração única e provamos as implicaçõoes Domínio Euclidiano ⇒ Domínio de Ideais Principais ⇒ Domínio de Fatoração Única.Verificamos que o conjunto dos inteiros de Gauss é um domínio de fatoração única, encontramos seus elementos primos e descrevemos diversas propriedades desse conjunto, aplicando-as especialmente para descrever, de maneira completa, as ternas pitagóricas e
para calcular o número de maneiras de representar um inteiro como soma de dois quadrados. Verificamos também que o conjunto dos inteiros de Eisenstein é um domínio de fatoração única, também encontramos seus elementos primos e aplicamos as propriedades desse conjunto para descrever a forma geral de uma terna de inteiros que são lados de um triângulo com um ângulo de 60º. Apresentamos a forma geral dos anéis de inteiros de Q [√d] e, para o caso d < 0, exibimos todos os valores de d que tornam esse anel
um domínio de fatoração única. Por fim, aplicamos a teoria desenvolvida para resolver diversos problemas de olimpíadas de matemática.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:www.repositorio.ufc.br:riufc/24321 |
| Date | 07 1900 |
| Creators | Brito, Francisco das Chagas Alves |
| Contributors | Girão, Frederico Vale |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFC, instname:Universidade Federal do Ceará, instacron:UFC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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