BRITO, F. C. A. Resolução de problema via inteiros algébricos. 48 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-19T19:52:07Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411778 bytes, checksum: 245d4362c4e5b55412ceece791de8db2 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia Favor informar ao aluno que o trabalho necessita das seguintes correções: Na parte inferior da capa e folha de rosto deve constar somente a cidade e o ano. Os itens Palavras-Chave e Abstract são separadas após o Resumo e Abstract por um espaço. E os termos dos mesmos são separados e finalizados por ponto. No Sumário e no texto as seções secundárias não são em caixa alta. Ex: Definições preliminares on 2017-07-20T11:46:28Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-26T18:59:32Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411116 bytes, checksum: bc403e168ae0eaacd43db637cf408e48 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-27T11:14:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411116 bytes, checksum: bc403e168ae0eaacd43db637cf408e48 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-27T11:14:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411116 bytes, checksum: bc403e168ae0eaacd43db637cf408e48 (MD5) Previous issue date: 2017-07 / In this paper, we present the definitions of integral domain, euclidean domain, principal ideal domain and unique factorization domain and we prove the implications Euclidean Domain ⇒ Principal Ideal Domain ⇒ Unique Factorization Domain. We check that the set of Gaussian integers is a unique factorization domain, we find its prime elements and we describe several properties of this set, applying them especially to describe, completely, the Pythagorean triples and to calculate the number of ways one can write an integer as a sum of two squares. We also check that the set of Eisenstein integers is a unique factorization domain, we also find its prime elements and we apply the properties of this set to describe the general form of a triple of integers that are sides of a triangle with an angle of 60 o . We present the general form of the integers of Q [√d] and, for d < 0, we exhibit all values of d for which this ring a unique factorization domain. Lastly, we apply the developed theory to solve several problems of mathematical olympiads. / Neste trabalho, apresentamos as definições de domínio de integridade, domínio euclidiano, domínio de ideais principais e domínio de fatoração única e provamos as implicaçõoes Domínio Euclidiano ⇒ Domínio de Ideais Principais ⇒ Domínio de Fatoração Única.Verificamos que o conjunto dos inteiros de Gauss é um domínio de fatoração única, encontramos seus elementos primos e descrevemos diversas propriedades desse conjunto, aplicando-as especialmente para descrever, de maneira completa, as ternas pitagóricas e para calcular o número de maneiras de representar um inteiro como soma de dois quadrados. Verificamos também que o conjunto dos inteiros de Eisenstein é um domínio de fatoração única, também encontramos seus elementos primos e aplicamos as propriedades desse conjunto para descrever a forma geral de uma terna de inteiros que são lados de um triângulo com um ângulo de 60º. Apresentamos a forma geral dos anéis de inteiros de Q [√d] e, para o caso d < 0, exibimos todos os valores de d que tornam esse anel um domínio de fatoração única. Por fim, aplicamos a teoria desenvolvida para resolver diversos problemas de olimpíadas de matemática.

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-08-28T13:01:20Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 553092 bytes, checksum: 60c2a1a060ead1662c0a4edc6ec82f9c (MD5) / Approved for entry into archive by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2017-08-28T15:55:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 553092 bytes, checksum: 60c2a1a060ead1662c0a4edc6ec82f9c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-28T15:55:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 553092 bytes, checksum: 60c2a1a060ead1662c0a4edc6ec82f9c (MD5) Previous issue date: 2015-10-23 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Our study aims to present a special category of numbers, the Gaussian integers, their properties and operations, have an overview about these numbers, their history and emergence. We will also study Gaussian prime numbers, their properties and application in matrix language representation of 2 x 2 type. / Nosso estudo tem como objetivo apresentar uma categoria especial de números, os inteiros Gaussianos, suas propriedades e operações, ter uma visão geral sobre esses números, sua história e surgimento. Também estudaremos números primos Gaussianos, suas propriedades e aplicação com representação em linguagem matricial do tipo 2 x 2.

Submitted by Swane Vicente (swane_vicente@hotmail.com) on 2016-07-08T13:51:12Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-07-08T15:06:38Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-07-08T15:11:26Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-08T15:11:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) Previous issue date: 2016-03-30 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The purpose of this research is to help High school students to learn complex number sets. Will be shown one of its subsets that has a great importance in Algebra, the Gaussian integers. At first, the study will demonstrate that Gaussian integers are an Algebraic structure, a Euclidean domain to be more specific. The study will compare the addition, subtraction, multiplication, division and exponentiation in algebraic form. Then, we will analyze the prime number in the Gaussian integers sets and compare them to prime numbers in the integer sets to show the differences. At last, some Gaussian integers applications will be presented. / Este trabalho tem como objetivo contribuir para o aprimoramento dos alunos do Ensino Médio no estudo do Conjunto dos Números Complexos, apresentando-lhes um de seus subconjuntos que possuí uma grande importância no estudo da Álgebra. Este conjunto é denominado de Conjunto dos Inteiros de Gauss. Inicialmente demonstraremos que o Conjunto dos Inteiros de Gauss é uma estrutura algébrica, mais precisamente um Domínio Fatorial. Na abordagem será feita a comparação entre os esses dois conjuntos definindo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação na forma algébrica. Será feita, ainda, um estudo sobre os números primos dentro do Conjunto dos Inteiros de Gauss que serão comparados com os números primos do Conjunto dos Números Inteiros que possibilitará a visualização das diferenças existentes. Por fim, concluiremos com a apresentação de algumas aplicações dos inteiros de Gauss.

Este trabalho descreve as soluções de algumas equações diofantinas em duas e três variáveis. O objetivo é apresentar a análise de alguns casos simples e de outros mais difíceis relativos ao Último Teorema de Fermat. Primeiramente são apresentados os pré-requisitos necessários dentre os quais incluímos a noção de número primo, máximo divisor comum, congruência, o Algoritmo de Euclides e o Teorema Fundamental da Aritmética. Este material é desenvolvido primeiramente no anel dos inteiros racionais e posteriormente em duas extensões algébricas conhecidas como os inteiros de Gauss e de Eisenstein. A estrutura dos últimos é indispensável na resolução do primeiro caso não trivial do Último Teorema de Fermat, a saber, da equação diofantina x3 + y3 = z3. O último capítulo apresenta algumas aplicações de problemas diofantinos e do Algoritmo de Euclides que podem ser desenvolvidos em sala de aula com alunos do sexto e do oitavo ano. / This work describes the solutions to some diophantine equations in two and three variables. The objective is to present the analysis of some simple and other more difficult cases related to Fermats Last Theorem. First, we present the necessary prerequisites which include the notion of a prime number, the maximum common divisor, congruences, Euclids Algorithm and the Fundamental Theorem of Arithmetic. This material is first developed by using the rational integers and then presented for two algebraic extensions known as Gauss and Eisenstein integers. The structure of the latter is indispensable for the first non-trivial case of Fermats Last Theorem, namely, the diophantine equation x3 + y3 = z3. The last chapter presents some applications of simple diophantine equations and Euclids algorithm which can be developed in the classroom with sixth and eight grade students.