Este trabalho descreve as soluções de algumas equações diofantinas em duas e três variáveis. O objetivo é apresentar a análise de alguns casos simples e de outros mais difíceis relativos ao Último Teorema de Fermat. Primeiramente são apresentados os pré-requisitos necessários dentre os quais incluímos a noção de número primo, máximo divisor comum, congruência, o Algoritmo de Euclides e o Teorema Fundamental da Aritmética. Este material é desenvolvido primeiramente no anel dos inteiros racionais e posteriormente em duas extensões algébricas conhecidas como os inteiros de Gauss e de Eisenstein. A estrutura dos últimos é indispensável na resolução do primeiro caso não trivial do Último Teorema de Fermat, a saber, da equação diofantina x3 + y3 = z3. O último capítulo apresenta algumas aplicações de problemas diofantinos e do Algoritmo de Euclides que podem ser desenvolvidos em sala de aula com alunos do sexto e do oitavo ano. / This work describes the solutions to some diophantine equations in two and three variables. The objective is to present the analysis of some simple and other more difficult cases related to Fermats Last Theorem. First, we present the necessary prerequisites which include the notion of a prime number, the maximum common divisor, congruences, Euclids Algorithm and the Fundamental Theorem of Arithmetic. This material is first developed by using the rational integers and then presented for two algebraic extensions known as Gauss and Eisenstein integers. The structure of the latter is indispensable for the first non-trivial case of Fermats Last Theorem, namely, the diophantine equation x3 + y3 = z3. The last chapter presents some applications of simple diophantine equations and Euclids algorithm which can be developed in the classroom with sixth and eight grade students.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Gabriela dos Santos Barbosa.pdf: 4377226 bytes, checksum: 1fa1ce1a13b0a16668f868acafcd63ef (MD5) Previous issue date: 2008-12-16 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The present thesis has the purpose of carrying out an interventionist study for the introduction of the Fundamental Theorem of Arithmetic (FTA) and main concepts associated to it to students of the 6th Grade of Basic Education. In the research we intend to answer the following question: What are the arguments used by students in the significance process of the Fundamental Theorem of Arithmetic? For that purpose, we carried out a study with 22 students of a private school situated in the north zone of Rio de Janeiro. The group had already been in touch, according to the school s formal point of view, with the concepts related to the Fundamental Theorem of Arithmetic: multiples, divisors, prime and compound numbers and prime factors decomposition. The research has as theoretical fundamental, the Conceptual Fields Theory proposed by Vergnaud (1983, 2001) and the ideas of Campbell and Zazquis (2002) related to the learning process of concepts associated with the Basic Number Theory, which TFA belongs to. The method used a study divided into three stages. The first stage was the collective use of an initial evaluation. The second addressed the intervention stage, which was divided into three activity groups, and inserted into them, there were two intermediary evaluations. And, at last, the third corresponds to the use, also collective, of a final evaluation, with the same questions as the initial evaluation. Data was analysed from two perspectives, one directed to quantitative analysis, where we tried to relate the percentages of rights, with the help of the statistic package SPSS (Statistical Package for Social Sciences). The second perspective was data analysis from the qualitative point of view, aiming at identifying the type of mistakes made by students, as well as their strategies to solve problem-situations. The results showed that students had developed their own scheme to deal with concepts in construction. In this process, even if implicitly, a series of mathematic concepts present in students actions; is the teacher s function to create favourable conditions for the students to explain them / A presente tese teve por objetivo realizar um estudo intervencionista para a introdução do Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) e dos principais conceitos associados a ele com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental. Na pesquisa, propomo-nos a responder a seguinte questão: De que argumentos os alunos se valem no processo de significação do Teorema Fundamental da Aritmética? Para tanto, realizamos um estudo com 22 alunos, advindos de uma turma de uma escola particular da zona norte do Rio de Janeiro. O grupo já havia tido contato, do ponto de vista formal da escola, com conceitos associados ao Teorema Fundamental da Aritmética: múltiplo, divisor, números primos e compostos e decomposição em fatores primos. A fundamentação teórica da pesquisa contou com a Teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud (1983, 2001) e as idéias de Campbell e Zazquis (2002) com relação à aprendizagem dos conceitos associados à Teoria Elementar dos Números, de que o TFA é parte integrante. O método constou de um estudo dividido em três etapas. A primeira referiu-se a aplicação coletiva de uma avaliação inicial. A segunda voltou-se para a fase de intervenção, que foi divida em três grupos de atividades intercalados por duas avaliações intermediárias. E, por fim, a terceira corresponde à aplicação, também coletiva, de uma avaliação final, com as mesmas questões da avaliação inicial. Os dados foram analisados em duas perspectivas: uma voltada à análise quantitativa, em que se buscou relacionar os percentuais de acerto, com a ajuda do pacote estatístico SPSS (Statistical Package for Social Science). A segunda perspectiva referiu-se à análise dos dados do ponto de vista qualitativo, visando identificar os tipos de erros cometidos pelos alunos, bem como suas estratégias na resolução de situações-problema. Os resultados mostraram que os alunos desenvolvem esquemas próprios para lidar com os conceitos em construção. Nesse processo, uma série de conceitos matemáticos está presente, ainda que implicitamente, em suas ações. É função do professor criar condições que favoreçam aos alunos explicitá-los

Neste trabalho é apresentado um breve levantamento da história dos números primos e de que maneira o assunto acerca desses números aparecem no novo cenário trazido pela BNCC. Provamos o Teorema Fundamental da Aritmética e apresentamos duas ferramentas importantes de cálculo, que são as Congruências e o Pequeno Teorema de Fermat. Apresentamos ainda uma proposta didática e um material diferenciado para ser utilizado em sala de aula. / In the present work is presented a brief data collection about the history of prime numbers and how this subject is shown in the new scenario brought by BNCC (Common Curricular National Base) . It was proved the Fundamental Arithmetic Theorem and it was presented two important ways to calculate that are the Congruence and the Fermet Theorem. It is given a teaching method and a differentiated material to be used in class.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-10-09T15:42:04Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Robinson Borges - 2015.pdf: 5327815 bytes, checksum: 26e74f7fe04f29332da9adb2d2476abc (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-10-09T15:44:21Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Robinson Borges - 2015.pdf: 5327815 bytes, checksum: 26e74f7fe04f29332da9adb2d2476abc (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-10-09T15:44:21Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Robinson Borges - 2015.pdf: 5327815 bytes, checksum: 26e74f7fe04f29332da9adb2d2476abc (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-03-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work shows how an educational toy (game) can stimulate the teaching of mathematics. This game becomes a starting point for several discussions, is a pedagogical tool that relates to concrete, direct and simple way, various parts of mathematics. This is a game easy to use, easy to manufacture and which favors the systematization of logical reasoning. By using this teaching tool the student is required to take decisions and also notes that every decision has implications in the upcoming decisions. The desired solution is obtained with the aid of a spreadsheet. We work with a general case and for that we used twenty-four variables. To reach the desired solutions toy was converted into codes, axes were used as directions and guidelines senses them, counting rule, application of the fundamental theorem of arithmetic and foundations of probability. / Este trabalho mostra como um brinquedo pedagógico (jogo) pode estimular o ensino de matemática. Este jogo torna-se um ponto de partida para várias discussões e um instrumento pedagógico que relaciona de maneria concreta, direta e simples, várias partes da matemática. Trata se de um jogo de fácil utilização, de fácil confecção e que favorece a sistematização do raciocínio lógico. Com a utilização deste instrumento pedagógico o aluno é levado a tomar decisões e ainda verifica que cada decisão tomada tem implicações nas próximas decisões. A solução desejada será obtida com o auxílio de uma planilha eletrônica. Trabalhamos com um caso geral e para isso utilizamos vinte e quatro variáveis. Para chegar às soluções desejadas o brinquedo foi convertido em códigos, foram utilizados eixos como direções e neles sentidos de orientações, regra de contagem, aplicação do teorema fundamental da aritmética e fundamentos básicos de probabilidade.

Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-04-06T15:56:31Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel Sombra.pdf: 863251 bytes, checksum: 2067dbe00da7848645ffcf735b6a3068 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-04-06T15:56:42Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel Sombra.pdf: 863251 bytes, checksum: 2067dbe00da7848645ffcf735b6a3068 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-06T15:56:42Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel Sombra.pdf: 863251 bytes, checksum: 2067dbe00da7848645ffcf735b6a3068 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-03-22 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Number theory is branch from Mathematics hardly ever explored in elementary and middle school, almost nonexistent in high school. Its implementations and features in elementary and middle school narrow in divisibility principals, greatest common factor (GCF) and Euclidean algorithm. All presented in a plain and timid way. Nevertheless, number theory is a vast field in Mathematics, tightly related to algebra results. It consists of powerful tools to the resolutions of problems such as: Olympics, properties display and indirect implementations in other sciences. In this paper, it will be presented in a fair and concise, the most fundamental outcome related to number theory which do not need further studies to be understood. One familiarity with the properties of integers, the aspects of divisibility seen in elementary and middle school and notions of mathematical proof are sufficient to the knowledge of the main idea of this paper. The major results presented were: Euclidean algorithm, fundamental theorem of arithmetic, Fermat, Wilson and Euler’s theorem and Euler’s totient function . During demos, it will be presented exercises that exemplifies theory. Besides, there are 2 chapters concerning the resolution of Olympics problems, with the intentions to explore, in a smart way, the concepts presented during theory. / A teoria dos números é um ramo da Matemática praticamente inexplorado no ensino básico e quase inexistente Ensino Médio. As aplicações e propriedades no Ensino Fundamental se restringem aos critérios de divisibilidade, ao máximo divisor comum e ao Algoritmo de Euclides, apresentados de forma bastante elementar e tímida. Contudo a teoria dos números é um ramo bastante vasto dentro da Matemática, fortemente relacionada à resultados da Álgebra. Nela constituem-se ferramentas muito poderosas para a resolução de problemas de olimpíadas, demonstração de propriedades e aplicações indiretas em outras ciências. Neste trabalho são apresentados e demonstrados, de forma clara e concisa, os resultados mais fundamentais referentes à teoria dos números, os quais não precisam de estudos avançados na área para serem compreendidos. Uma familiaridade com as propriedades dos números inteiros, os aspectos de divisibilidade vistos na educação básica e noções de demonstração matemática são suficientes para que o leitor compreenda o escopo deste trabalho. Os principais resultados apresentados são: o Algoritmo de Euclides, o Teorema Fundamental da Aritmética, os Teoremas de Fermat, Wilson e Euler e a função de Euler. No transcorrer das demonstrações são apresentados exercícios que exemplificam a teoria. Além disso, são dedicados dois capítulos para resolução de problemas olímpicos, com a intenção de explorar de forma inteligente os conceitos apresentados no transcorrer da teoria.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rubens Vilhena Fonseca.pdf: 1601945 bytes, checksum: 9bd5a69dcacb920b758afcd188c86010 (MD5) Previous issue date: 2015-04-22 / This work aims to analyze a didactic sequence directly linked to the research question, which sought to provide students an investigative route in order to find solutions to the problems raised, which are in the field of number theory, and are related to prime numbers and Fundamental Theorem of Arithmetic, objects of this research, developed with students of the degree course in mathematics of the Pará State University. There were theoretical studies and a literature review for the formulation of the research question and identification of conceptual tools for analyzing protocols. Six questions were applied to ten students, involving prime numbers and the fundamental theorem of arithmetic. Based primarily on studies that considered the number representations and their transparent or opaque characteristics, in a qualitative study, the answers given by the students were analyzed. Preliminary studies allowed the development of a problematic around the following research question: What knowledge and difficulties about the concepts / properties of prime numbers and the fundamental theorem of arithmetic are evidenced by undergraduate students in Mathematics of the Pará State University when subjected to a didactic sequence that intended to involve them in investigative routes formatted from theoretical assumptions related to numerical representations and their transparent / opaque features? The work is justified by the scarcity of research related to number theory in mathematics education in Brazil. The results revealed the need for mastery of undergraduates with regard to issues related to understanding research themes; specifically, difficulties relating to work with certain numerical representations were highlighted, especially in relation to the concepts of primes and the fundamental theorem of arithmetic / Este trabalho tem como objetivo analisar uma sequência didática diretamente ligada à questão de pesquisa, que pretendeu proporcionar aos estudantes um percurso investigativo em busca de soluções para os problemas levantados, que estão no domínio da Teoria dos Números, e são relativos aos Números Primos e ao Teorema Fundamental da Aritmética, objetos desta pesquisa, desenvolvida com alunos do curso de licenciatura em matemática da Universidade do Estado do Pará. Realizaram-se estudos preliminares, de ordem teórica, e uma revisão bibliográfica para a formulação da questão de pesquisa e identificação de ferramentas conceituais para a análise dos protocolos. Foram aplicadas seis questões envolvendo números primos e o teorema fundamental da aritmética a dez estudantes. Com base, principalmente, em estudos que consideravam as representações numéricas e suas características transparentes ou opacas, em uma abordagem qualitativa de pesquisa, analisaram-se as respostas dadas pelos alunos. Os estudos preliminares permitiram a elaboração de uma problematização em torno da seguinte questão de pesquisa: quais saberes e dificuldades acerca dos conceitos/propriedades dos números primos e do teorema fundamental da aritmética são evidenciados por licenciandos em Matemática da Universidade do Estado do Pará quando submetidos a uma sequência didática que pretendeu inserir os mesmos em percursos investigativos, formatados a partir de pressupostos teóricos ligados a representações numéricas e suas características transparentes/opacas? O trabalho justifica-se pela escassez de pesquisas relacionadas com a Teoria dos Números na área da Educação Matemática. Os resultados revelaram a necessidade de um domínio mais amplo dos licenciandos no que se refere às questões relacionadas à compreensão dos temas em tela; especificamente, ficaram evidenciadas dificuldades atinentes ao trabalho com certas representações numéricas, e, principalmente, em relação aos conceitos de números primos e do teorema fundamental da aritmética

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Flavio Pereira da Cruz.pdf: 2297186 bytes, checksum: e42d3730b92eeee2b7c7f4a9b7c71ab5 (MD5) Previous issue date: 2008-02-15 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / This dissertation aims to analyze how the collection Mathematics and Reality approaches argumentation and proof when it refers to the Fundamental Theorem of Arithmetic and the Theorem of Pythagoras. It s inserted in the Project AProvaME (Argumentation and Proof in School Mathematics) that proposes the investigation of conceptions of argumentation and proof in the teaching of mathematics in schools in the state of São Paulo and to form a group of researchers to elaborate situations of learning involving arguments and proof to be investigated in the classroom. The analysis of the collection, in our research, is based on the work done by BALACHEFF et. al. (2001) which presents possible activities that may involve argumentation and proof classifying them into various types and levels. We have used this classification, when it refers to the Fundamental Theorem of Arithmetic and the Theorem of Pythagoras, to consider the theoretical text and the respective exercises presented in the collection that are related to argumentation and proof. We have noticed that the proposed activities may basically be classified as "tasks of initiation to proof." We conclude, in our analysis, that the collection is not designed to work with argumentation and proof to develop such skills in students when presenting the Fundamental Theorem of Arithmetic and the Theorem of Pythagoras, and also when proposing its activities. We propose, at the end of our work, dynamic activities that may complement those that are present in the collection, aiming to help in the development of new approaches on argumentation and proof in the classroom / Este trabalho tem o objetivo de analisar como a coleção Matemática e Realidade aborda argumentação e prova quando trata do Teorema Fundamental da Aritmética e do Teorema de Pitágoras. Ele está inserido no projeto AProvaME - (Argumentação e Prova na Matemática Escolar) que propõe a investigação de concepções de argumentação e prova no ensino de matemática em escolas do estado de São Paulo e formar grupo de pesquisadores para elaborar situações de aprendizagem envolvendo argumentação e prova para serem investigadas em sala de aula. A análise da coleção, em nossa pesquisa, tem como fundamento o trabalho desenvolvido por BALACHEFF et. al. (2001) que apresenta possíveis atividades que possam envolver argumentação e prova classificando-as em vários tipos e níveis. Utilizamos esta classificação para analisar, quando trata do Teorema Fundamental da Aritmética e do Teorema de Pitágoras, o texto teórico e os respectivos exercícios apresentados na coleção e que estejam relacionados com argumentação e prova. Constatamos que são propostas basicamente atividades que podem ser classificadas como de tarefas de iniciação a prova . Concluímos, em nossa análise, que a coleção não visa o trabalho com argumentação e prova para desenvolver tais competências nos alunos quando apresenta os temas Teorema Fundamental da Aritmética e Teorema de Pitágoras e também quando propõe as respectivas atividades. Propomos ao final de nosso trabalho, atividades dinâmicas que podem complementar as que estão presentes na coleção, com o propósito de contribuir na elaboração de novas abordagens sobre argumentação e prova em sala de aula