Dans cette thèse, nous étudions une classe d'hypersurfaces de $\mathbb{C}^3$, dites \emph{hypersurfaces de Danielewski}. Ce sont les hypersurfaces $X_{Q,n}$ définies par une équation de la forme $x^ny=Q(x,z)$ avec $n\in\mathbb{N}_{\geq1}$ et $\deg_z(Q(x,z))\geq2$. Nous établissons leurs classifications complètes à isomorphisme près, et à équivalence via un automorphisme de $\mathbb{C}^3$ près. Pour cela, nous introduisons le concept de forme standard et montrons que toute hypersurface de Danielewski est isomorphe, par un procédé algorithmique, à une hypersurface sous forme standard. Cette terminologie est justifiée par le fait que tout isomorphisme entre deux formes standards s'étend en un automorphisme de l'espace ambiant (ce qui n'est pas<br>vrai pour des hypersurfaces de Danielewski quelconques).<br>Nous étudions aussi les problèmes de l'équivalence stable et de l'équivalence analytique. Nous construisons notamment des exemples de polynômes $P,Q\in\mathbb{C}[x,y,z]$ pour lesquels il n'existe aucun automorphisme algébrique de $\mathbb{C}[x,y,z]$ qui envoie $P$ sur $Q$, bien que ces polynômes soient équivalents via un automorphisme de $\mathbb{C}[x,y,z,w]$.<br>La plupart de ces résultats reposent sur la description précise, grâce aux techniques développées par Makar-Limanov, des dérivations localement nilpotentes sur les algèbres des fonctions régulières des hypersurfaces $X_{Q,n}$.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00335868 |
| Date | 25 June 2008 |
| Creators | Poloni, Pierre-Marie |
| Publisher | Université de Bourgogne |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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