Le présent travail est une contribution à la K-théorie bivariante des C*-algèbres au sens de Kasparov, et en particulier à sa version équivariante. Un rôle clé dans cette théorie est joué par l'élément"gamma" de Kasparov, une sorte de classe fondamentale équivariante d'un groupe localement compact. On s'intéresse à la représenter par desK-cycles (modules de Fredholm) possédant de bonnes propriétés.Dans cette thèse on donne une nouvelle construction de tels K-cyclespour les groupes hyperboliques au sens de Gromov. Les modules de Fredholm obtenus sont finiment sommables, i.e. ils possèdent une propriété de régularité particulièrement forte. On donne aussi une majoration de leur degré minimal de sommabilité.On s'inspire des travaux de V. Lafforgue: les K-cycles considérés sontsimilaires à ceux utilisés par Lafforgue dans sa démonstration de la Conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques. Leur construction est basée sur les idées de Mineyev sur les "bicombings homologiques" des groupes hyperboliques et procède par récurrence sur les squelettes d'un complexe de Rips associé au groupe.Une preuve non-constructive de la sommabilité finie d'un élément "gamma"a été obtenue par Emerson et Nica pour les groupes hyperboliques decaractéristique d'Euler-Poincaré zéro. Des constructions explicites deK-cycles représentant l'élément "gamma" d'un groupe hyperbolique ont étédonnées par Kasparov-Skandalis et V. Lafforgue, mais on ne sait passi leurs modules sont finiment sommables. En général, on ne peut pasespérer trouver des éléments "gamma" finiment sommables pour d'autresclasses de groupes discrets. / This work is a contribution to the bivariant K-theory of C*-algebras in the sense of Kasparov and in particular to its equivariant version. In this theory, a key role is played by Kasparov’s “gamma”-element, a kind of equivariant fundamental equivariant class for a locally compact group. It is of interest to find particularly well behaved K-cycles (Fredholm modules) representing this class.We present a new construction of K-cycles representing a "gamma"-element for hyperbolic groups in the sens of Gromov. The Fredholm modules obtained are finitely summable i.e. they possess particularly strong regularity properties. We also obtain an upper bound of their minimal degree of summability.Our approach is inspired by the work of V. Lafforgue: the K-cycles under consideration are similar to those used by Lafforgue in his demonstration of Baum-Connes conjecture with coefficients for hyperbolic groups. Their construction is based on Mineyev’s ideas on homological bicombings and proceeds by induction over the skeleta of a Rips complex associated to the group.A non-constructive proof of the finite summablity of a “gamma” element was obtained by Emerson and Nica for the hyperbolic groups of Euler-Poincaré characteristic zero. Explicit constructions of K-cycles representing the “gamma”-element of hyperbolic groups were given by Kasparov-Skandalis and V. Lafforgue, but it is not known whether their modules are finitely summable. In general one cannot hope to find finitely summable “gamma” elements for other classes of discrete groups.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2019AIXM0059 |
| Date | 14 March 2019 |
| Creators | Cabrera, Jean-Marie |
| Contributors | Aix-Marseille, Puschnigg, Michael |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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