Le but principal de ce mémoire est de comprendre la représentation et la classification des groupes de Coxeter hyperboliques. Après avoir jeté les interbases de la théorie de Coxeter, nous exposerons la classification des groupes de Coxeter, puis celle des groupes de Coxeter hyperboliques. Nous porterons une attention particulière au cas des groupes hyperboliques de rang 3. Plus précisément, nous tâcherons de faire le pont entre leur représentation dans ℝ³ et celle dans le disque de Poincarré; notamment, nous remarquerons l'équivalence des notions de réflexion et d'inversion. Les notions de domaine fondamental, de cône de Tits et de forme bilinéaire sont essentielles à la représentation des groupes de Coxeter. La classification des groupes de Coxeter hyperboliques est, pour sa part, basée sur la compacité et sur la classification des groupes de Coxeter finis et affines. Ce mémoire ayant comme visée la compréhension, et non le développement de la science, nous n'exposons que des résultats connus. Le désir d'illustrer le plus possible constitue peut-être une distinction dans la démarche suivie. Nous avons surtout tenté de représenter un groupe de Coxeter hyperbolique grâce au langage informatique Sage. Les détails du code sont omis, mais dérivent directement des calculs faits aux chapitres 2 et 3. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Groupe, Coxeter, Hyperbolique, Représentation, Classification.

Le texte est reparti comme suit : Dans le premier chapitre, nous rappelons le lemme de Schwarz-Pick, le théorème d'uniformisation, le théorème d'Ascoli et de Weierstrass et de Hurwitz, le domaine d'homolorphie, variété taut. Dans le deuxiéme chapitre, nous énoncerons la définition et des propriétés sur l'hyperbolicité au sens de Kobayashi sur une variété complexe, ainsi que les théorèmes de prolongements du type grand théorème de Picard dû à Kwak et Kiernan, et nous établissons que si la courbure sectionelle d'une variété hermitienne est bornée par une constante négative alors la variété est hyperbolique au sens de Kobayashi. Enfin, nous traiterons la description de la métrique et la relation avec le volume. Dans le troisième chapitre, nous étudions le concept d'hyperbolicité au sens de Brody sur une variété complexe et ses applications. Dans le quatrième chapitre je discute la propriété de Landeau-Shottky et la fonction de Bloch.

RÉSUMÉ: Toute variété différentiable $M$ admet une métrique dite métrique riemannienne.\\ En définissant $\mathbb{H}=\lbrace z\in\mathbb{C}: Im(z)>0\rbrace$, on peut munir de $\mathbb{H}$ d'une métrique riemannienne $ds^{2}=\frac{dzd\bar{z}}{(Im(z))^{2}}=\frac{dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}$.\\ Muni de cette métrique, $\mathbb{H}$ est une variété riemannienne à la quelle on associe le fibré tangent, $T\mathbb{H}$ ainsi que le fibré unitaire tangent, $T^{1}\mathbb{H}$. Les éléments de $T^{1}\mathbb{H}$ peuvent être exprimés, de façon bijective, en termes des éléments du groupe PSL(2,$\mathbb{R}$) dont l'action sur $T^{1}\mathbb{H}$ est transitive et libre.\\ La métrique définie sur $M$ (en particulier sur $M=\mathbb{H}$) permet de définir sur $TM$ (en particulier sur $T^{1}\mathbb{H}$) une métrique connue sous le nom de métrique de Sasaki.

Thèse (M.Sc.)--Université Laval, 2007. / Bibliogr.: f. [72]. Publié aussi en version électronique dans la Collection Mémoires et thèses électroniques.

Le présent travail est une contribution à la K-théorie bivariante des C*-algèbres au sens de Kasparov, et en particulier à sa version équivariante. Un rôle clé dans cette théorie est joué par l'élément"gamma" de Kasparov, une sorte de classe fondamentale équivariante d'un groupe localement compact. On s'intéresse à la représenter par desK-cycles (modules de Fredholm) possédant de bonnes propriétés.Dans cette thèse on donne une nouvelle construction de tels K-cyclespour les groupes hyperboliques au sens de Gromov. Les modules de Fredholm obtenus sont finiment sommables, i.e. ils possèdent une propriété de régularité particulièrement forte. On donne aussi une majoration de leur degré minimal de sommabilité.On s'inspire des travaux de V. Lafforgue: les K-cycles considérés sontsimilaires à ceux utilisés par Lafforgue dans sa démonstration de la Conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques. Leur construction est basée sur les idées de Mineyev sur les "bicombings homologiques" des groupes hyperboliques et procède par récurrence sur les squelettes d'un complexe de Rips associé au groupe.Une preuve non-constructive de la sommabilité finie d'un élément "gamma"a été obtenue par Emerson et Nica pour les groupes hyperboliques decaractéristique d'Euler-Poincaré zéro. Des constructions explicites deK-cycles représentant l'élément "gamma" d'un groupe hyperbolique ont étédonnées par Kasparov-Skandalis et V. Lafforgue, mais on ne sait passi leurs modules sont finiment sommables. En général, on ne peut pasespérer trouver des éléments "gamma" finiment sommables pour d'autresclasses de groupes discrets. / This work is a contribution to the bivariant K-theory of C*-algebras in the sense of Kasparov and in particular to its equivariant version. In this theory, a key role is played by Kasparov’s “gamma”-element, a kind of equivariant fundamental equivariant class for a locally compact group. It is of interest to find particularly well behaved K-cycles (Fredholm modules) representing this class.We present a new construction of K-cycles representing a "gamma"-element for hyperbolic groups in the sens of Gromov. The Fredholm modules obtained are finitely summable i.e. they possess particularly strong regularity properties. We also obtain an upper bound of their minimal degree of summability.Our approach is inspired by the work of V. Lafforgue: the K-cycles under consideration are similar to those used by Lafforgue in his demonstration of Baum-Connes conjecture with coefficients for hyperbolic groups. Their construction is based on Mineyev’s ideas on homological bicombings and proceeds by induction over the skeleta of a Rips complex associated to the group.A non-constructive proof of the finite summablity of a “gamma” element was obtained by Emerson and Nica for the hyperbolic groups of Euler-Poincaré characteristic zero. Explicit constructions of K-cycles representing the “gamma”-element of hyperbolic groups were given by Kasparov-Skandalis and V. Lafforgue, but it is not known whether their modules are finitely summable. In general one cannot hope to find finitely summable “gamma” elements for other classes of discrete groups.

Le cadre théorique de la géométrie des réseaux consiste à placer des points, les nœuds, dans un espace métrique, puis les connecter par des liens par paires selon la distance qui les sépare. Lorsque la géométrie sous-jacente est hyperbolique, de nombreuses propriétés de réseaux qui proviennent de données empiriques peuvent être élégamment expliquées à l'aide de la proximité entre les nœuds et des caractéristiques de ces espaces si particuliers, dont la courbure est négative. Le modèle de réseaux hyperboliques le plus couramment utilisé attribue à chaque nœud une coordonnée radiale associée à son nombre total de liens et une coordonnée angulaire. Avec celle-ci, les nœuds peuvent être envoyés à un cercle, et à plus petite distance angulaire ils ont plus de chances d'être connectés, ce qui encode la similarité avec les autres nœuds. Or, dans de nombreux systèmes réels, il existe plus d'un facteur poussant les éléments à s'associer, et donc plusieurs manières d'être similaires ou pas. Cela se reflète dans les modèles de réseaux hyperboliques de plus grande dimension, où plus d'une coordonnée angulaire est associée à chaque nœud, qui est alors envoyé à une sphère de plus grande dimension à la place du cercle. Dans ce mémoire, on étudie les effets de la dimension des modèles de réseaux hyperboliques aléatoires. En particulier, la distribution des distances angulaires entre les nœuds connectés change selon la dimension. Or, la coordonnée angulaire des nœuds est aussi utilisée pour modéliser la structure communautaire, c'est-à-dire lorsque des sous-groupes de nœuds, les communautés, sont reliés plus densément entre eux qu'au reste du réseau. Par conséquent, augmenter le nombre de coordonnées angulaires affecte naturellement comment les communautés peuvent être générées et la manière dont elles sont reliées entre elles. Ces effets sont quantifiés en simulant des réseaux hyperboliques qui possèdent de la structure communautaire. Une différence marquée est observée entre le cas le plus simple et l'ajout d'une seule dimension, où la structure communautaire générée est plus diversifiée et réaliste. / The framework of network geometry involves placing points, nodes of a network, in a metric space and then creating pairwise connections, the edges, according to the distance between them. When the underlying geometry is hyperbolic, many network properties are elegantly explained by the closeness between nodes through properties of these negatively curved spaces. The flagship model of this framework assigns to each node one radial coordinate related to its total number of connections and one angular coordinate related to its similarity to other nodes. Nodes can thus be mapped to a circle where a smaller angular distance increases the chances to be connected, hence the idea of similarity. However, in many systems, there is more than one factors that drives relationships between elements, and thus more than one way in which they can be similar or not. This is captured by higher dimensional hyperbolic network models, where each node has more angular coordinates that maps it to a higher dimensional sphere instead of the circle. In this master's thesis, we study the effects of the dimension of hyperbolic network models. In particular, the distribution of angular distances between connected nodes changes with dimension. Yet, nodes' angular coordinates are also used to model hyperbolic networks' community structure, when some subgroups of nodes, the communities, are more densely connected than to the rest of the network. Hence, increasing the number of angular coordinates naturally affects how communities can be created and how they are related to one another. These effects are quantified through simulations of hyperbolic networks possessing community structure. A significant difference is observed between the simplest case and the addition of a single dimension, in which case the community structure generated is more diverse and realistic.

Nous étudions certaines décompositions de M en polyèdres idéaux, où M est une variété hyperbolique à pointe(s), de dimension 3. Par un théorème d'Epstein et Penner, il existe une telle décomposition, dite ``de Delaunay'', canonique en un sens géométrique. <br /><br />Au chapitre 1 nous trouvons la décomposition de Delaunay quand M fibre sur le cercle avec pour fibre un tore percé. La méthode consiste à ``deviner'' la <br />combinatoire de la décomposition, puis à trouver des angles dièdres positifs pour ses polyèdres combinatoires : un théorème de Rivin dit que tout point critique de la fonctionelle volume dans l'espace de déformation des angles dièdres fournit la métrique hyperbolique. Les inégalités établies pour montrer l'existence d'un tel point critique permettent alors de vérifier que la décomposition est bien de Delaunay. <br /><br />Au chapitre 2 nous étendons la méthode à certains complémentaires d'entrelacs (entrelacs à 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l'étendons aux coeurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore percé (la décomposition est alors infinie, et certaines <br />pièces ne sont pas des polyèdres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du théorème des laminations de plissage pour le tore percé. Au chapitre 4, nous étendons partiellement la méthode aux complémentaires d'entrelacs arborescents : sans <br />trouver de point critique, nous caractérisons les entrelacs arborescents hyperboliques. <br /><br />Au chapitre 5, qui éclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynômes de Laurent, qui généralisent les nombres de Markoff, n'ont que des coefficients positifs.

Dans ce travail, nous présentons une méthode de résolution de l'équation de la courbe géodésique en utilisant le symbole de Christoffel. En effet, l'équation de la courbe géodésique contient une dérivée covariante.

Etant donnée une substitution de dimension 1, notée $\sigma$, nous pouvons définir l'enveloppe $\Omega_\sigma$ formant un système dynamique $(\Omega_\sigma, \R)$ où l'action de $\R$ sur les pavages est donnée par les translations. Si la substitution est primitive alors nous pouvons construire un pavage $P$ du demi-plan de Poincaré $\mathbb H_2 $ muni de sa métrique $\frac{\mathrm d x + \mathrm d y}{y^2}$. De manière analogue nous pouvons construire des enveloppes pour les actions de $N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\}$ et $G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\}$ que l'on notera respectivement $X_P ^N$ et $X_{P(c)}^G$ (où $P(c)$ est le pavage colorié ligne à ligne pour rendre l'action de $G$ libre).\par En utilisant la notion de $C^* $-algèbre de groupoïde ainsi que les résultats obtenus dans l'article de Ian Putnam et Jared Anderson et via l'isomorphisme issu de l'équivalence Morita entre $C((\Xi \times \R)/\As)$ et $C(\Xi) \rtimes \Z$, nous pouvons donner la description de la $C^*$-algèbre de l'enveloppe du pavage hyperbolique en termes de générateurs et relations. Nous terminons par la description des générateurs de la $K$-théorie de $C(X_{P(c)}^G) \rtimes G.$ pour les substitutions de Fibonacci, Thue-Morse et Tribonacci / Given a one dimensional substitution $\sigma$, one can define the continuous hull $\Omega_\sigma$ for the $\R$-action given by translations and so we obtain a dynamical system $(\Omega_\sigma,\sigma)$. If the substitution we choose is primitive, then we can construct an hyperbolic tiling on Poincaré's half-plane equiped with its standard metric $\frac{\mathrm d x +\mathrm d y}{y^2}$. By analogy of the standard case, we can define two continuous hulls, denoted $X_P ^ N $ and $X_{P(c)}^G$, where $P(c)$ is a colored tiling (in such fashion that the action of $G$ is free), and the groups are denoted respectively $N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\}$ and $G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\}$.\par Using Jean Renault's construction of the reduced $C^*$-algebra of a groupoid , the results of Ian Putnam and Jared Anderson and the Morita equivalence between $C((\Xi\times \R)/\As)$ and $C(\Xi) \rtimes \Z$, we describe the $C^*$-algebra of the hyperbolic tiling using generators and relations. Finally we obtain for the Fibonacci, Thue-Morse and Tribonacci substitutions the full description of the generators of $K_* (C(X_{P(c)}^G ) \rtimes G)$

L'objet de cette thèse est l'étude de sous-groupes discrets de<br />$PU(2,1)$, groupe des isométries holomorphes de l'espace hyperbolique complexe de dimension (complexe) 2. On s'intéresse en particulier aux groupes engendrés par des transformations elliptiques, i.e. ayant un point fixe dans cet espace. <br /><br /> Les deux fils conducteurs de ce travail sont d'une part l'utilisation des sous-espaces lagrangiens (ou plans réels) ainsi que des réflexions associées (des involutions antiholomorphes), et de l'autre<br />l'étude et la compréhension des exemples de réseaux de $PU(2,1)$<br />construits par Mostow en 1980.