Le texte est reparti comme suit : Dans le premier chapitre, nous rappelons le lemme de Schwarz-Pick, le théorème d'uniformisation, le théorème d'Ascoli et de Weierstrass et de Hurwitz, le domaine d'homolorphie, variété taut. Dans le deuxiéme chapitre, nous énoncerons la définition et des propriétés sur l'hyperbolicité au sens de Kobayashi sur une variété complexe, ainsi que les théorèmes de prolongements du type grand théorème de Picard dû à Kwak et Kiernan, et nous établissons que si la courbure sectionelle d'une variété hermitienne est bornée par une constante négative alors la variété est hyperbolique au sens de Kobayashi. Enfin, nous traiterons la description de la métrique et la relation avec le volume. Dans le troisième chapitre, nous étudions le concept d'hyperbolicité au sens de Brody sur une variété complexe et ses applications. Dans le quatrième chapitre je discute la propriété de Landeau-Shottky et la fonction de Bloch.

Le cadre théorique de la géométrie des réseaux consiste à placer des points, les nœuds, dans un espace métrique, puis les connecter par des liens par paires selon la distance qui les sépare. Lorsque la géométrie sous-jacente est hyperbolique, de nombreuses propriétés de réseaux qui proviennent de données empiriques peuvent être élégamment expliquées à l'aide de la proximité entre les nœuds et des caractéristiques de ces espaces si particuliers, dont la courbure est négative. Le modèle de réseaux hyperboliques le plus couramment utilisé attribue à chaque nœud une coordonnée radiale associée à son nombre total de liens et une coordonnée angulaire. Avec celle-ci, les nœuds peuvent être envoyés à un cercle, et à plus petite distance angulaire ils ont plus de chances d'être connectés, ce qui encode la similarité avec les autres nœuds. Or, dans de nombreux systèmes réels, il existe plus d'un facteur poussant les éléments à s'associer, et donc plusieurs manières d'être similaires ou pas. Cela se reflète dans les modèles de réseaux hyperboliques de plus grande dimension, où plus d'une coordonnée angulaire est associée à chaque nœud, qui est alors envoyé à une sphère de plus grande dimension à la place du cercle. Dans ce mémoire, on étudie les effets de la dimension des modèles de réseaux hyperboliques aléatoires. En particulier, la distribution des distances angulaires entre les nœuds connectés change selon la dimension. Or, la coordonnée angulaire des nœuds est aussi utilisée pour modéliser la structure communautaire, c'est-à-dire lorsque des sous-groupes de nœuds, les communautés, sont reliés plus densément entre eux qu'au reste du réseau. Par conséquent, augmenter le nombre de coordonnées angulaires affecte naturellement comment les communautés peuvent être générées et la manière dont elles sont reliées entre elles. Ces effets sont quantifiés en simulant des réseaux hyperboliques qui possèdent de la structure communautaire. Une différence marquée est observée entre le cas le plus simple et l'ajout d'une seule dimension, où la structure communautaire générée est plus diversifiée et réaliste. / The framework of network geometry involves placing points, nodes of a network, in a metric space and then creating pairwise connections, the edges, according to the distance between them. When the underlying geometry is hyperbolic, many network properties are elegantly explained by the closeness between nodes through properties of these negatively curved spaces. The flagship model of this framework assigns to each node one radial coordinate related to its total number of connections and one angular coordinate related to its similarity to other nodes. Nodes can thus be mapped to a circle where a smaller angular distance increases the chances to be connected, hence the idea of similarity. However, in many systems, there is more than one factors that drives relationships between elements, and thus more than one way in which they can be similar or not. This is captured by higher dimensional hyperbolic network models, where each node has more angular coordinates that maps it to a higher dimensional sphere instead of the circle. In this master's thesis, we study the effects of the dimension of hyperbolic network models. In particular, the distribution of angular distances between connected nodes changes with dimension. Yet, nodes' angular coordinates are also used to model hyperbolic networks' community structure, when some subgroups of nodes, the communities, are more densely connected than to the rest of the network. Hence, increasing the number of angular coordinates naturally affects how communities can be created and how they are related to one another. These effects are quantified through simulations of hyperbolic networks possessing community structure. A significant difference is observed between the simplest case and the addition of a single dimension, in which case the community structure generated is more diverse and realistic.

Le volume des simplexes hyperboliques joue un rôle important dans la connaissance du volume des variétés hyperboliques ainsi que dans d'autres domaines des mathématiques comme par exemple en arithmétique. Mais il est beaucoup plus difficile à calculer que le volume des simplexes euclidiens, et les résultats connus sont toujours partiels. Dans cette thèse, nous démontrons une généralisation aux simplexes hyperboliques finis et idéaux d'une formule utilisée par A. Connes pour calculer l'aire des triangles euclidiens et hyperboliques. Cette formule intégrale ne permet pas de calculer des valeurs précises, mais plutôt d'étudier des propriétés analytiques de la fonction volume des simplexes hyperboliques idéaux. C'est du moins l'application que nous en faisons. Cela se fait en paramétrant un simplexe idéal par ses sommets sur une sphère -- cette sphère sera le bord de l'espace hyperbolique dans les modèles de la boule de Poincaré ou de Klein. Plus précisément, nous développons une méthode de décomposition en harmoniques sphériques -- après en avoir décrit une base -- du volume d'un simplexe idéal en fonction de ses sommets. Nous détaillons ensuite cette méthode en dimensions 2 et 3, sans toutefois obtenir des formules définitives synthétiques. Nous avons en effet recours au logiciel de calcul formel Maple pour obtenir les premiers coefficients de la décomposition.

Thurston montre comment munir le complémentaire du noeud de huit dans S³ d'une structure hyperbolique réelle complète en identifiant cet espace au recollement de deux tétraèdres. Falbel prolonge cette méthode dans le cadre CR-sphérique. Il obtient ainsi une géométrisation CR branchée pour le complémentaire du noeud. Cette approche passe par la résolution d'équations polynomiales dont les inconnues sont des invariants caractérisant les tétraèdres. La résolution de ces équations nous a permis de construire des représentations de groupes fondamentaux à valeur dans PU(2,1) pour des variétés non compactes. Dans le cas réel, la rigidité des structures hyperboliques complètes est assurée par le théorème de Mostow, tandis qu'il existe des représentations de variétés CR-sphériques compactes admettant des déformations. Le calcul du rang des équations précédemment évoquées permet de conclure à la rigidité d'une structure CR-sphérique triangulée dès qu'elle existe. Pour les représentations que nous avons construites, le rang des équations est systématiquement maximal. Dans le cas général, nous donnons des minorations du rang. Dans une partie indépendante, nous étudions le corps de trace de sous-groupes de SU(n,1). Nous établissons que pour un groupe G dans SU(2,1) Zariski dense qui contient une transformation parabolique, quitte à conjuguer G, son corps de trace est exactement le corps engendré par les coefficients de ses matrices.

Dans ma thèse, je me suis intéressé à l'étude des sous-groupes discrets $\G$ de $\s$ (resp. de $ßs^{\pm}_{4}(\R)$) qui préservent un ouvert proprement convexe $\O$ de l'espace projectif réel $\P(\R)$ (resp. $\PP^3(\R)$). En dimension 2, j'ai caractérisé le fait que la surface quotient $\Quo$ est de volume fini de différentes façons, notamment à l'aide l'holonomie des pointes de la surface $S$, ou de l'ensemble limite du groupe $\G$. Cette étude m'a permis de montrer que lorsque le quotient $\Quo$ est de volume fini, alors l'ouvert proprement convexe $\O$ est strictement convexe et son bord $\partial \O$ est $C^1$. Enfin, j'ai montré que l'espace des modules des structures projectives proprement convexes de volume fini, sur une surface (de caractéristique d'Euler strictement négative) de genre $g$ et à $p$ pointes est homéomorphe à une boule de dimension $16g-16+6p$. En dimension 3, je me suis intéressé à l'espace des modules des structures projectives proprement convexes sur les 3-orbifolds de Coxeter compact. J'ai dû faire une hypothèse sur la forme de l'orbifold pour montrer que l'espace des modules est une réunion de $n$ boules de dimension $d$, où les entiers $n$ et $d$ se calculent à l'aide de la combinatoire de l'orbifold.

Dans le cadre des variétés hyperboliques, Thurston a conjecturé que toute variété hyperbolique de dimension trois connexe, orientable, complète et de volume fini possède un revêtement fini qui est fibré sur le cercle. En lien avec cette conjecture, le résultat principal de cette thèse donne des conditions suffisantes pour qu'un revêtement fini d'une variété hyperbolique M de dimension trois fibre sur le cercle, ou du moins contienne une fibre virtuelle. Soit F une surface close, orientable, plongée et proche d'une surface minimale, dans un revêtement fini M' de M et séparant M' en corps en anses. La condition pour qu'il existe une fibre virtuelle dans le complémentaire de F est donnée par une inégalité faisant intervenir le degré d du revêtement, le genre g de la surface, le nombre q de corps en anses et une constante k ne dépendant que du volume et du rayon d'injectivité de M. En appliquant ce théorème à un scindement de Heegaard de genre minimal du revêtement M', on obtient une version sous-logarithmique des conjectures de Lackenby sur le gradient de Heegaard et le gradient de Heegaard fort. Le théorème principal s'applique également dans le cadre d'une décomposition circulaire associée à une classe d'homologie non triviale. Nous obtenons par exemple des conditions suffisantes pour qu'une classe d'homologie non triviale de M corresponde à une fibration sur le cercle. Des méthodes analogues permettent aussi de donner une condition suffisante pour qu'une surface incompressible plongée dans M soit une fibre virtuelle. Enfin, nous donnons un critère pour que dans une tour de revêtements finis le premier nombre de Betti tende vers l'infini.

Le thème central de ce mémoire est l'étude des variétés kähleriennes (compactes) dont la courbure sectionnelle est strictement négative. Les exemples connus sont de deux types, selon qu'ils admettent ou non une métrique localement symétrique. Le cas localement symétrique correspond à l'étude des réseaux (uniformes) de PU(n,1). Nous nous intéressons particulièrement à la construction de réseaux non-arithmétiques. Dans le cas non localement symétrique, nous présentons un résultat d'estimation du pincement des métriques kähleriennes sur les surfaces de Mostow-Siu et leurs analogues tri-dimensionnels.

Ce mémoire aborde plusieurs domaines :<br />- le calcul de Lie et en particulier les séries de Lie et leurs applications en théorie du contrôle (avec F. JEAN), en mécanique hamiltonienne et dans l'étude de relations dans des groupes ; <br />- l'étude des déformations de groupes triangulaires discrets dans l'espace PU(2,1) des automorphismes<br />de la boule unité complexe de dimension 2 (avec E. FALBEL).<br />- ainsi qu'un travail en collaboration avec Serge GALAM sur l'étude d'un modèle particulier du problème<br />d'Ising triangulaire antiferromagnétique.

ette thèse se situe dans le domaine de l'étude des représentations de<br />groupes de surfaces dans le groupe de Lie réel non-compact PU(2,1), groupe des isométries du plan hyperbolique complexe. Nous nous intéressons plus particulièrement aux \-représentations du groupe fondamental du tore épointé dans PU(2,1). Notre principal résultat est l'existence d'une famille à trois paramètres de représentations discrètes, fidèles et préservant le type du groupe fondamental du tore épointé dans PU(2,1). Pour le démontrer, nous sommes amenés à définir un nouveau type d'hypersurfaces du plan hyperbolique complexe, que nous utilisons pour construire des domaines fondamentaux. Nous étudions également la propriété de décomposabilité des représentations, et donnons des critères de décomposabilité, exprimés en termes de traces et de birapports.

Nous étudions certaines décompositions de M en polyèdres idéaux, où M est une variété hyperbolique à pointe(s), de dimension 3. Par un théorème d'Epstein et Penner, il existe une telle décomposition, dite ``de Delaunay'', canonique en un sens géométrique. <br /><br />Au chapitre 1 nous trouvons la décomposition de Delaunay quand M fibre sur le cercle avec pour fibre un tore percé. La méthode consiste à ``deviner'' la <br />combinatoire de la décomposition, puis à trouver des angles dièdres positifs pour ses polyèdres combinatoires : un théorème de Rivin dit que tout point critique de la fonctionelle volume dans l'espace de déformation des angles dièdres fournit la métrique hyperbolique. Les inégalités établies pour montrer l'existence d'un tel point critique permettent alors de vérifier que la décomposition est bien de Delaunay. <br /><br />Au chapitre 2 nous étendons la méthode à certains complémentaires d'entrelacs (entrelacs à 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l'étendons aux coeurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore percé (la décomposition est alors infinie, et certaines <br />pièces ne sont pas des polyèdres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du théorème des laminations de plissage pour le tore percé. Au chapitre 4, nous étendons partiellement la méthode aux complémentaires d'entrelacs arborescents : sans <br />trouver de point critique, nous caractérisons les entrelacs arborescents hyperboliques. <br /><br />Au chapitre 5, qui éclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynômes de Laurent, qui généralisent les nombres de Markoff, n'ont que des coefficients positifs.