The main part of this thesis comprises a study of quasilinear p-forms (i.e., Fermat-type forms of degree p over fields of characteristic p > 0) in the spirit of the theory of non-singular quadratic forms over fields of characteristic different from two. Our approach to the subject centres around the study of a basic discrete invariant of quasilinear p-forms known as the standard splitting pattern, which plays here a similar role to that played by Knebusch's splitting pattern invariant for non-singular quadratic forms in characteristic different from two. This invariant not only captures a certain notion of algebraic complexity for quasilinear p-forms, but also encodes essential information concerning the geometry of their projective zero-loci, which we call quasilinear p+hypersurfaces. We explore here various aspects of this interaction between the alge+ braic and algebra-geometric parts of the theory. Our approach is successful, not only in extending well-known results from the theory of non-singular quadratic forms over fields of characteristic different from 2 into this setting, but in revealing interesting and important new phenomena which are completely absent from the former theory. A second part of this thesis is concerned with studying the behaviour of mod+p Milnor K-groups of fields of characteristic p > 0 under scalar extension to the fW1ction fields of nowhere-smooth hypersurfaces. A unifying theme for all this work is the study of a basic birational invariant of hypersurfaces of the latter type, which we call the norm field.

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Let $U_\infty\Z_p$ be the group of infinite invertible upper triangular matrices with entries in the $p$-adic integers. Also let $\Aut_{\text{left-}\ell\text{-mod}}^0(\ell\wedge\ell)$ be the group of left $\ell$-module automorphisms of $\ell\wedge\ell$ which induce the identity on mod $p$ homology, where $\ell$ is the Adams summand of the $p$-adically complete connective $K$-Theory spectrum. In this thesis we construct and prove there is an isomorphism between these two groups. We will then determine a specific matrix (up to conjugacy) which corresponds to the automorphism $1\wedge\psi^q$ of $\ell\wedge\ell$ where $\psi^q$ is the Adams operation and $q$ is an integer which generates the $p$-adic units $\Z_p^\times$. We go on to look at the map $1\wedge\phi_n$ where $\phi_n=(\psi^q-1)(\psi^q-r)\cdots(\psi^q-r^{n-1})$ and $r=q^{p-1}$ under a generalisation of the map which gave us the isomorphism. Lastly we use some of the ideas presented to give us a new way of looking at the ring of degree zero operations on the connective $p$-local Adams summand via upper triangular matrices.

Cette thèse porte principalement sur l’étude des groupoïdes étales. On étudie dans un premier temps l’action propre d’un groupe discret sur un espace localement compact et séparé, qui fournit un exemple de groupoïde étale (propre), puis de voir sous quelle condition le groupe de K-théorie équivariante peut être décrit à l’aide de K-cocyles de fibrés vectoriels complexes G-équivariant et dimension finie. Dans une deuxième partie, on donne la définition de la moyennabilité à l’infi pour un groupoïde étale localement compact, sigma-compact et séparé. On étudie dans certains cas la relation entre l’exactitude de la C*-*algèbres réduites du groupoïde et la moyennabilité à l’infini du groupoïde. Dans une dernière partie, en s’inspirant d’un article de Hilsum et Skandalis, on construit pour toute immersion K-orientée entre groupoïdes étales, un morphisme entre les groupes de K-théorie des C*-algèbres réduites de ces groupoïdes étales et on étudie la fonctorialité d’une telle construction. Cette dernière partie contient aussi la démonstration d’une conjecture annoncée en 1987 par Hilsum et Skandalis / The etale groupoid are the central subject of this thesis. We first study the proper action of a discrete group on a locally compact and Hausdorff space, which gives an example of proper etale groupoid and we find some conditions for which the group of equivariant K-theory defined by phillips is completely described by equivariant complex bundles of finite dimension. In the second part of the thesis, we consider locally compact, sigma-compact and Hausdorff etale groupoid and we give a definition of amenability at infinity of such groupoid. We study in some cases the relation between the exactness of the reduced C*-algebra of the groupoid and the amenability at infinity. In the last part of the thesis, we consider K oriented immersion between etales groupoids and we associate a morphism between group of K-theory of the reduced C* algebras of this etales groupoids. We study the functoriality of such morphism. This part contains a proof of a conjecture of Hilsum and Skandalis

Etant donnée une substitution de dimension 1, notée $\sigma$, nous pouvons définir l'enveloppe $\Omega_\sigma$ formant un système dynamique $(\Omega_\sigma, \R)$ où l'action de $\R$ sur les pavages est donnée par les translations. Si la substitution est primitive alors nous pouvons construire un pavage $P$ du demi-plan de Poincaré $\mathbb H_2 $ muni de sa métrique $\frac{\mathrm d x + \mathrm d y}{y^2}$. De manière analogue nous pouvons construire des enveloppes pour les actions de $N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\}$ et $G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\}$ que l'on notera respectivement $X_P ^N$ et $X_{P(c)}^G$ (où $P(c)$ est le pavage colorié ligne à ligne pour rendre l'action de $G$ libre).\par En utilisant la notion de $C^* $-algèbre de groupoïde ainsi que les résultats obtenus dans l'article de Ian Putnam et Jared Anderson et via l'isomorphisme issu de l'équivalence Morita entre $C((\Xi \times \R)/\As)$ et $C(\Xi) \rtimes \Z$, nous pouvons donner la description de la $C^*$-algèbre de l'enveloppe du pavage hyperbolique en termes de générateurs et relations. Nous terminons par la description des générateurs de la $K$-théorie de $C(X_{P(c)}^G) \rtimes G.$ pour les substitutions de Fibonacci, Thue-Morse et Tribonacci / Given a one dimensional substitution $\sigma$, one can define the continuous hull $\Omega_\sigma$ for the $\R$-action given by translations and so we obtain a dynamical system $(\Omega_\sigma,\sigma)$. If the substitution we choose is primitive, then we can construct an hyperbolic tiling on Poincaré's half-plane equiped with its standard metric $\frac{\mathrm d x +\mathrm d y}{y^2}$. By analogy of the standard case, we can define two continuous hulls, denoted $X_P ^ N $ and $X_{P(c)}^G$, where $P(c)$ is a colored tiling (in such fashion that the action of $G$ is free), and the groups are denoted respectively $N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\}$ and $G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\}$.\par Using Jean Renault's construction of the reduced $C^*$-algebra of a groupoid , the results of Ian Putnam and Jared Anderson and the Morita equivalence between $C((\Xi\times \R)/\As)$ and $C(\Xi) \rtimes \Z$, we describe the $C^*$-algebra of the hyperbolic tiling using generators and relations. Finally we obtain for the Fibonacci, Thue-Morse and Tribonacci substitutions the full description of the generators of $K_* (C(X_{P(c)}^G ) \rtimes G)$

Dans leur article de 2015 intitulé "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono et G. Yu introduisent un raffinement de la K-théorie opératorielle adapté au cadre desC*-algèbres filtrées, appelé K-théorie quantitative ou contrôlée. Dans cette thèse, nous généralisons la notion de filtration de C_-algèbres. Nous montrons ensuite que ce cadre contient celui déjà traité par G. Yu et H. Oyono-Oyono, tout en se révélant assez souple pour traiter les produits croisés de groupoïdes étalés et de groupes quantiques discrets. Nous construisons ensuite des applications d'assemblage _a valeurs dans les groupes de K-théorie contrôlée associés, pour les C*-algèbres de Roe à coefficients et les produits croisés de groupoïdes étalés. Nous montrons que ces applications factorisent les applications d'assemblage usuelles de Baum-Connes. Nous prouvons ensuite ce que nous appelons des énoncés quantitatifs, et nous montrons qu'une version contrôlée de la conjecture de Baum-Connes est vérifiée pour une large classe de groupoïdes étalés. La fin de la thèse est consacrée à plusieurs applications de ces résultats. Nous montrons que l'application d'assemblage contrôlée coarse est équivalente à son analogue à coefficients pour le groupoïde coarse introduit par G. Skandalis, J-L. Tu et G. Yu. Nous donnons ensuite une preuve que les espaces coarses qui admettent un plongement hilbertien fibré vérifient la version maximale de la conjecture de Baum-Connes coarse contrôlée. Enfin nous étudions les groupoïdes étalés dont toutes les actions propres sont localement induites par des sous-groupoïdes compacts ouverts, dont un exemple est donné par les groupoïdes amples introduits par J. Renault. Nous développons un principe de restriction pour cette classe de groupoïdes, et prouvons que, sous des hypothèses raisonnables, leurs produits croisés vérifient la formule de Künneth en K-théorie contrôlée / In their paper entitled "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono and G. Yu introduced a refinement of operator K-theory, called quantitative or controlled K-theory, adapted to the setting of filtered C_-algebras. In this thesis, we generalize filtration of C*-algebras. We show that this setting contains the theory developed by H. Oyono-Oyono and G. Yu, and is general enough to be applied to the setting of crossed products by étale groupoids and discrete quantum groups. We construct controlled assembly maps with values into this controlled K-groups, for Roe C*-algebras and crossed products by étale groupoids. We show that these controlled assembly maps factorize the usual Baum-Connes and coarse Baum-Connes assembly maps. We prove statements called quantitative statements, and we show that a controlled version of the Baum-Connes conjecture is satisfied for a large class of étale groupoids. The end of the thesis is devoted to several applications of these results. We show that the controlled coarse assembly map is equivalent to its analog with coefficients for the coarse groupoid introduced by G. Skandalis, J-L. Tu and G. Yu. We give a proof that coarse spaces which admit a _bred coarse embedding into Hilbert space satisfy the maximal controlled coarse Baum-Connes conjecture. Finally, we study étale groupoids whose proper actions are locally induced by compact open subgroupoids, e.g. ample groupoids introduced by J. Renault. We develop a restriction principle for these groupoids, and prove that under suitable assumptions, their crossed products satisfy the controlled Künneth formula