Dans leur article de 2015 intitulé "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono et G. Yu introduisent un raffinement de la K-théorie opératorielle adapté au cadre desC*-algèbres filtrées, appelé K-théorie quantitative ou contrôlée. Dans cette thèse, nous généralisons la notion de filtration de C_-algèbres. Nous montrons ensuite que ce cadre contient celui déjà traité par G. Yu et H. Oyono-Oyono, tout en se révélant assez souple pour traiter les produits croisés de groupoïdes étalés et de groupes quantiques discrets. Nous construisons ensuite des applications d'assemblage _a valeurs dans les groupes de K-théorie contrôlée associés, pour les C*-algèbres de Roe à coefficients et les produits croisés de groupoïdes étalés. Nous montrons que ces applications factorisent les applications d'assemblage usuelles de Baum-Connes. Nous prouvons ensuite ce que nous appelons des énoncés quantitatifs, et nous montrons qu'une version contrôlée de la conjecture de Baum-Connes est vérifiée pour une large classe de groupoïdes étalés. La fin de la thèse est consacrée à plusieurs applications de ces résultats. Nous montrons que l'application d'assemblage contrôlée coarse est équivalente à son analogue à coefficients pour le groupoïde coarse introduit par G. Skandalis, J-L. Tu et G. Yu. Nous donnons ensuite une preuve que les espaces coarses qui admettent un plongement hilbertien fibré vérifient la version maximale de la conjecture de Baum-Connes coarse contrôlée. Enfin nous étudions les groupoïdes étalés dont toutes les actions propres sont localement induites par des sous-groupoïdes compacts ouverts, dont un exemple est donné par les groupoïdes amples introduits par J. Renault. Nous développons un principe de restriction pour cette classe de groupoïdes, et prouvons que, sous des hypothèses raisonnables, leurs produits croisés vérifient la formule de Künneth en K-théorie contrôlée / In their paper entitled "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono and G. Yu introduced a refinement of operator K-theory, called quantitative or controlled K-theory, adapted to the setting of filtered C_-algebras. In this thesis, we generalize filtration of C*-algebras. We show that this setting contains the theory developed by H. Oyono-Oyono and G. Yu, and is general enough to be applied to the setting of crossed products by étale groupoids and discrete quantum groups. We construct controlled assembly maps with values into this controlled K-groups, for Roe C*-algebras and crossed products by étale groupoids. We show that these controlled assembly maps factorize the usual Baum-Connes and coarse Baum-Connes assembly maps. We prove statements called quantitative statements, and we show that a controlled version of the Baum-Connes conjecture is satisfied for a large class of étale groupoids. The end of the thesis is devoted to several applications of these results. We show that the controlled coarse assembly map is equivalent to its analog with coefficients for the coarse groupoid introduced by G. Skandalis, J-L. Tu and G. Yu. We give a proof that coarse spaces which admit a _bred coarse embedding into Hilbert space satisfy the maximal controlled coarse Baum-Connes conjecture. Finally, we study étale groupoids whose proper actions are locally induced by compact open subgroupoids, e.g. ample groupoids introduced by J. Renault. We develop a restriction principle for these groupoids, and prove that under suitable assumptions, their crossed products satisfy the controlled Künneth formula

Ma thèse concerne des variantes de la propriété (T) de Kazhdan et de la conjecture de Baum-Connes tordues par des représentations de dimension finie qui ne sont pas nécessairement unitaires.<br />Soit G un groupe localement compact et (rho,V) une représentation de dimension finie non nécessairement unitaire de G.<br />Dans le Chapitre 1, nous avons défini un renforcement de la propriété (T) en considérant des produits tensoriels par rho de représentations unitaires de G. Nous avons alors défini deux algèbres de Banach de groupe tordues, Amax(rho) et A(rho), analogues aux C*-algèbres de groupe, C*(G) et C*r(G), et nous avons défini la propriété (T) tordue par rho en termes de Amax(rho). Nous avons ensuite montrer que la plupart des groupes de Lie semi-simples réels ayant la propriété (T) ont la propriété (T) tordue par n'importe quelle représentation irréductible de dimension finie.<br />Les Chapitres 2 et 3 sont consacrés au calcul de la K-théorie des algèbres tordues. Pour ceci, Nous avons défini deux applications d'assemblage tordues du membre de gauche du morphisme de Baum-Connes, noté Ktop(G), dans la K-théorie des algèbres tordues. Nous avons ensuite montrer, dans le Chapitre 3, que ce morphisme de Baum-Connes tordu est bijectif pour une large classe de groupes vérifiant la conjecture de Baum-Connes.<br />Dans le Chapitre 4, nous avons montré que le domaine de définition naturel d'un analogue en K-théorie du produit tensoriel par une représentation de dimension finie est la K-théorie des algèbres tordues et non pas la K-théorie des C*-algèbres de groupe.

Cette thèse consiste d'une étude de la géométrie d'une certaine classe de groupes arithmétiques, à travers d'une action propre sur un espace contractile. Nous calculons explicitement leur homologie de groupe, et leur K-homologie équivariante. Plus précisément, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire et son anneau d'entiers A. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A) et PSL_2(A). Ces groupes agissent d'une manière naturelle sur l'espace hyperbolique à 3 dimensions. Ils constituent une clef pour l'étude d'une classe plus large de groupes, les groupes Kleiniens, étudiés depuis Poincaré. En fait, chaque groupe Kleinien arithmétique non-cocompact est commensurable avec un des groupes de Bianchi. L'auteur a implémenté à l'ordinateur, le calcul d'un domaine fondamental pour ces groupes. En calculant les stabilisateurs et identifications sur ce domaine fondamental, nous obtenons une structure explicite d'orbi-espace. Nous nous en servons pour étudier des aspects différents de la géométrie des groupes de Bianchi. D'abord, nous calculons l'homologie de groupe à coefficients entiers, à l'aide de la suite spectrale équivariante de Leray/Serre. Ensuite, nous calculons l'homologie de Bredon de groupes de Bianchi, de laquelle nous déduisons leur K-homologie équivariante. Par la conjecture de Baum/Connes, qui est vérifiée par nos groupes, nous obtenons la K-théorie des C*-algèbres réduites de nos groupes. Finalement, nous complexifions nos orbi-espaces, en complexifiant l'espace hyperbolique. Ceci nous permet de calculer la cohomologie d'orbi-espace de Chen/Ruan, qui est l'un des deux côtés de la conjecture de la résolution cohomologique crépante de Ruan.