La presente recherche doctorale en analyse numerique (et calcul scientifique) aborde le probleme du controle de la dissipation d'entropie numerique associee a une discretisation donnee. Cette problematique constitue un veritable challenge numerique non encore completement resolu a ce jour.<br /><br />Le travail se decompose en deux parties principales dont les caracteristiques sont reellement differentes.<br /><br />La premiere partie concerne l'approximation numerique des solutions (instationnaires en 1D et stationnaires en 2D) du systeme des equations de Navier-Stokes a plusieurs pressions independantes. Ce systeme est hyperbolique et possede des champs vraiment non lineaires sous des hypotheses classiques, mais s'ecrit naturellement sous forme non conservative.<br /><br />La deuxieme partie est dediee a l'approximation numerique des solutions instationnaires en 1D de quelques systemes de lois de conservation de type soit hyperbolique mais dont les champs possedent un defaut de vraiment non linearite, ou soit mixte hyperbolique-elliptique.<br /><br />Dans toutes ces situations motivees par des applications physiques concretes, le controle de la dissipation d'entropie joue un role déterminant dans la caracterisation des solutions recherchees. Les schemas numeriques proposes dans ce manuscrit sont obtenus par une analyse fine des bilans d'entropie associes.

Cette thèse a pour objet l'analyse mathématique de lois de conservation scalaires dont la fonction flux présente une discontinuité par rapport à la variable d'espace. Nous nous intéressons plus particulèrement au problème du raccord le long d'une interface commune des solutions de deux équations quasi linéaires hyperboliques du premier ordre, posées dans deux ouverts disjoints. <br /> En premier lieu nous considérons un problème couplé hyperbolique/hyperbolique. Sous une condition de non dégénérescence du flux, nous avons obtenu un résultat d'existence et d'unicité d'une solution faible entropique d'abord en dimension 1 d'espace puis en dimension quelconque. La preuve de l'unicité est basée sur la méthode de dédoublement des variables due à S.N. Kruzkov puis sur un raisonnement presque partout à l'interface. Dans le cas particulier de la dimension 1 l'existence s'obtient par une régularisation adéquate du coefficient discontinu dans le terme de convection alors que nous utilisons la méthode de viscosité artificielle dans le cas général. <br />En second lieu nous traitons le cas de termes de convection qui apparaissent dans l'ingénierie pétrolière pour lesquels la condition de non dégénérescence de la non linéarité n'est pas vérifiée. Nous ne pouvons donc pas adapter les méthodes précédemment utilisées. Nous nous sommes donc intéressés à un problème couplé perturbé où sur l'un des deux ouverts un terme de diffusion est ajouté. Sous l'hypothèse que les caractéristiques provenant de la zone hyperbolique sont sortantes à l'interface, l'unicité d'une solution faible entropique est établie. La méthode de viscosité artificielle et la notion de processus entropique nous permettent de prouver le résultat d'existence .

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Réalisé en majeure partie sous la tutelle de feu le Professeur Paul Arminjon. Après sa disparition, le Docteur Aziz Madrane a pris la relève de la direction de mes travaux. / Après un bref rappel sur les équations hyperboliques et les méthodes numériques classiques qui serviront pour les calculs de base dans nos simulations (MCS -- Main Computation Scheme), nous revenons sur le principe de compression artificielle de A. Harten, et la construction de la méthode de compression artificielle (ACM -- Artificial Compression Method). Nous insistons dans cette partie sur la nécessité d'associer l'ACM à un détecteur de discontinuité (DoD -- Detector of Discontinuities). Le triplet MCS/DoD/ACM ainsi formé peut être optimisé module par module. Nous proposons ensuite plusieurs extensions de l'ACM à différents degrés et différents ordres, jusqu'à l'ACM(2,2). Nous formulons aussi une méthodologie de construction de ces extensions, notées ACM(d,r), pour un degré d et un ordre r. Ces extensions sont moins sensibles aux discontinuités des dérivées d'une solution continue et elles perturbent moins les calculs menés par le MCS hors des discontinuités. Ceci les rend plus modulaires et utilisables sur une plus grande variété de problèmes, même avec un DoD moins fiable. Puis, nous passons à l'extension bidimensionnelle de l'ACM(1,1). D'abord pour des maillages cartésien, nous explorons une approche utilisant la séparation en espace, et une autre utilisant une méthode amont classique, appelée DCU (Donor-Cell Upwind). Nous proposons aussi une approche originale, spécialement construite pour l'ACM, que nous qualifions de directionnelle. Les deux dernières approches (DCU et directionnelle) sont ensuite reprises pour un maillage triangulaire non-structuré, ou plus exactement sur les deux maillages duaux de Voronoï (cellules barycentriques et cellules en diamant) issus d'un maillage en triangles, avec pour MCS le schéma d'Arminjon-Viallon-Madrane. Enfin, nous abordons le problème de la détection des discontinuités et proposons un DoD basé sur une propriété physique des chocs: la production d'entropie. Les raisonnements mis en place dans cette partie font intervenir deux maillages complémentaires, pouvant être traités par deux unités de calcul différentes, tirant ainsi pleinement parti des nouvelles technologies de processeurs multi-coeurs. Cet outil est construit pour les maillages unidimensionnels ainsi que bidimensionnels cartésiens et triangulaires non-structurés. / After a short review about hyperbolic equations and the classical numerical methods that will be used as a basis for computations in our simulations (we call them MCS -- Main Computation Scheme), we come back to the principle of artificial compression, as defined by A. Harten, and the construction of the Artificial Compression Method (ACM). In this part, we insist on the necessity to associate the ACM with a Detector of Discontinuities (DoD). The trio MCS/DoD/ACM thus formed may be optimised one module at a time. Then we propose some extensions of ACM up to different degrees and different orders, ending with ACM(2,2). We also formulate a way to build these extensions, noted ACM(d,r), up to a degree d and an order r. These extensions are less sensitive to discontinuities in the derivatives of a continuous solution and they less perturbate the computations performed by the MCS outside of discontinuities. This makes them more modular and usable with a wider variety of problems, even with a less reliable DoD. We follow up with the extension in two space dimensions of the ACM(1,1). First for cartesian grids, we explore an approach using space-splitting, and another using the classical Donor-Cell Upwind scheme (DCU). We also propose an original approach, specially designed for the ACM, that we call directional. These two last approaches (DCU and directional) are then applied to triangular unstructured grids, and more precisely to the two dual Voronoï meshes (barycentric cells and diamond cells) built from the triangular elements, together with the Arminjon-Viallon-Madrane extension of the Nessyahu-Tadmor scheme as MCS. Last but not least, we turn our attention to the problem of detecting discontinuities, and propose a DoD based on a physical property of shocks: the entropy production. The ideas developped in this part imply the use of two complementary meshes, that can be treated independently by two computing units, thus taking full advantage of the new technology of multi-core processors. This tool is made available for one-dimensional meshes, as for two-dimensional cartesian and unstructured triangular grids.

L'objet principal de cette thèse est l'étude de la dimension conforme Ahlfors régulière d'un espace métrique. C'est un invariant numérique par quasisymétrie, introduit par P. Pansu, permettant la classification à quasi-isométrie près des espaces homogènes de courbure négative. Elle joue actuellement un rôle important en théorie géométrique des groupes et en dynamique conforme. A partir d'une suite de recouvrements d'un espace métrique compact on construit des distances de dimension contrôlée appartenant à la jauge conforme (Ahlfors régulière). On peut ainsi caractériser toutes les métriques de la jauge à homéomorphismes bi-Lipschitz près. On montre comment calculer la dimension conforme AR à partir de modules combinatoires en considérant un exposant critique. Comme conséquence de cette égalité on obtient un critère général de dimension un. Les conditions sont données en termes de points de coupure locale.On donne par ailleurs des applications de ces résultats aux bords des groupes hyperboliques et aux ensembles de Julia des fractions rationnelles semihyperboliques. / In this thesis we study the Ahlfors regular conformal dimension of a metric space. This is a quasisymmetric numerical invariant, introduced by P. Pansu, which was used to classify negatively curved homogeneous spaces up to quasi-isometries. It plays nowadays an important role in geometric group theory and in conformal dynamics.Using a sequence of finite coverings of a compact metric space, we construct distances in the (Ahlfors regular) conformal gauge of controlled dimension. We obtain in this way a combinatorial characterization (up to bi-Lipschitz homeomorphisms) of all the metrics of the gauge.We show how to compute the conformal dimension (AR) using the critical exponent associated to the combinatorial modulus. As a consequence of this equality we obtain a general criterion ensuring dimension one. The conditions are stated in terms of local cut points.Finally, we give applications of these results to the boundaries of Gromov hyperbolic groups and to the Julia sets of semi-hyperbolic rational maps.

La surface de Bolza est la surface hyperbolique orientable compacte la plus symétrique de genre 2. Pour tout genre supérieur à 2, il existe une surface orientable compacte construite de manière similaire à la surface de Bolza et ayant le même type de symétries. Nous appelons ces surfaces des surfaces hyperboliques symétriques. Cette thèse porte sur le calcul des triangulations de Delaunay (TD) de surfaces hyperboliques symétriques. Les TD de surfaces compactes peuvent être considérées comme des TD périodiques de leur revêtement universel (dans notre cas, le plan hyperbolique). Une TD est pour nous un complexe simplicial. Cependant, les ensembles de points ne définissent pas tous une décomposition simpliciale d'une surface hyperbolique symétrique. Dans la littérature, un algorithme a été proposé pour traiter ce problème avec l'utilisation de points factices : initialement une TD de la surface est construite avec un ensemble de points connu, puis des points d'entrée sont insérés avec le célèbre algorithme incrémental de Bowyer, et enfin les points factices sont supprimés, si la triangulation reste toujours un complexe simplicial. Pour la surface de Bolza, les points factices sont spécifiés. L'algorithme existant calcule une DT de la surface de Bolza comme une DT périodique du plan hyperbolique, ce qui nécessite de travailler dans un sous-ensemble approprié du plan hyperbolique. Nous étudions les propriétés des TD de la surface de Bolza définies par des ensembles de points contenants l'ensemble proposé de points factices, et nous décrivons en détail une implémentation de l'algorithme incrémentiel pour cette surface. Nous commençons par définir un représentant canonique unique qui est contenu dans un sous-ensemble borné du plan hyperbolique pour chaque face d'une TD de la surface. Nous donnons une structure de données pour représenter une TD de la surface de Bolza via les représentants canoniques de ses faces. Nous détaillons les étapes de la construction d'une telle triangulation et les opérations supplémentaires qui permettent de localiser les points et de retirer des sommets. Nous présentons également les résultats sur le degré algébrique des prédicats nécessaires pour toutes les opérations. Nous fournissons une implémentation entièrement dynamique pour la surface de Bolza, en offrant l'insertion de nouveaux points, la suppression des sommets existants, la localisation des points, et la construction d'objets duaux. Notre implémentation est basée sur la bibliothèque CGAL (Computational Geometry Algorithms Library), et est actuellement en cours de révision pour être intégrée dans la bibliothèque. L'intégration de notre code dans CGAL nécessite que tous les objets que nous introduisons soient compatibles avec le cadre existant et conformes aux standards adoptés par la bibliothèque. Nous donnons une description détaillée des classes utilisées pour représenter et traiter les triangulations hyperboliques périodiques et les objets associés. Des analyses comparatives et des tests sont effectués pour évaluer notre implémentation, et une application simple est donnée sous la forme d'une démonstration CGAL. Nous discutons une extension de notre implémentation à des surfaces hyperboliques symétriques de genre supérieur à 2. Nous proposons trois méthodes pour engendrer des ensembles de points factices pour chaque surface et présentons les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Nous définissons un représentant canonique contenu dans un sous-ensemble borné du plan hyperbolique pour chaque face d'une TD de la surface. Nous décrivons une structure de données pour représenter une telle triangulation via les représentants canoniques de ses faces, et donnons des algorithmes pour l'initialisation de la triangulation. Enfin, nous discutons une implémentation préliminaire dans laquelle nous examinons les difficultés d'avoir des prédicats exacts efficaces pour la construction de TD de surfaces hyperboliques symétriques / The Bolza surface is the most symmetric compact orientable hyperbolic surface of genus 2. For any genus higher than 2, there exists one compact orientable surface constructed in a similar way as the Bolza surface having the same kind of symmetry. We refer to this family of surfaces as symmetric hyperbolic surfaces. This thesis deals with the computation of Delaunay triangulations of symmetric hyperbolic surfaces. Delaunay triangulations of compact surfaces can be seen as periodic Delaunay triangulations of their universal cover (in our case, the hyperbolic plane). A Delaunay triangulation is for us a simplicial complex. However, not all sets of points define a simplicial decomposition of a symmetric hyperbolic surface. In the literature, an algorithm has been proposed to deal with this issue by using so-called dummy points: initially a triangulation of the surface is constructed with a set of dummy points that defines a Delaunay triangulation of the surface, then input points are inserted with the well-known incremental algorithm by Bowyer, and finally the dummy points are removed, if the triangulation remains a simplicial complex after their removal. For the Bolza surface, the set of dummy points to initialize the triangulation is given. The existing algorithm computes a triangulation of the Bolza surface as a periodic triangulation of the hyperbolic plane and requires to identify a suitable subset of the hyperbolic plane in which to work. We study the properties of Delaunay triangulations of the Bolza surface defined by sets of points containing the proposed set of dummy points, and we describe in detail an implementation of the incremental algorithm for it. We begin by identifying a subset of the hyperbolic plane that contains at least one representative for each face of a Delaunay triangulation of the surface, which enables us to define a unique canonical representative in the hyperbolic plane for each face on the surface. We give a data structure to represent a Delaunay triangulation of the Bolza surface via the canonical representatives of its faces in the hyperbolic plane. We detail the construction of such a triangulation and additional operations that enable the location of points and the removal of vertices. We also report results on the algebraic degree of predicates needed for all operations. We provide a fully dynamic implementation for the Bolza surface, supporting insertion of new points, removal of existing vertices, point location, and construction of dual objects. Our implementation is based on CGAL, the Computational Geometry Algorithms Library, and is currently under revision for integration in the library. To incorporate our code into CGAL, all the objects that we introduce must be compatible with the existing framework and comply with the standards adopted by the library. We give a detailed description of the classes used to represent and handle periodic hyperbolic triangulations and related objects. Benchmarks and tests are performed to evaluate our implementation, and a simple application is given in the form of a CGAL demo. We discuss an extension of our implementation to symmetric hyperbolic surfaces of genus higher than 2. We propose three methods to generate sets of dummy points for each surface and present the advantages and shortcomings of each method. We identify a suitable subset of the hyperbolic plane that contains at least one representative for each face of a Delaunay triangulation of the surface, and we define a canonical representative in the hyperbolic plane for each face on the surface. We describe a data structure to represent such a triangulation via the canonical representatives of its faces, and give algorithms for the initialization of the triangulation with dummy points. Finally, we discuss a preliminary implementation in which we examine the difficulties of having efficient exact predicates for the construction of Delaunay triangulations of symmetric hyperbolic surfaces

On étudie le comportement topologique du flot horocyclique sur des surfaces hyperboliques géométriquement infinies. Cette étude est intimement liée à celle du flot géodésique sur ces surfaces. Le premier chapitre commence par introduire les objets de géométrie hyperbolique que nous utiliserons. Il présente ensuite une classe de surfaces, les flûtes hyperboliques, qui couvrent une grande partie de la complexité des surfaces géométriquement infinies. Enfin, il aborde la notion de finesse asymptotique d'une demi-géodésique, qui donne la limite inférieure du rayon d'injectivité de la surface le long de la demi-géodésique. Le deuxième chapitre est consacré aux propriétés classiques du flot horocyclique sur lesquelles nous baserons nos preuves. Le troisième chapitre concerne l'étude de l'intersection entre l'adhérence de l'orbite horocyclique issue d'un vecteur u d'une surface hyperbolique et la demi orbite géodésique issue de ce même vecteur. Nous montrons que si la finesse asymptotique de la demi-orbite géodésique issue de u est finie et si u n'est pas périodique pour le flot horocyclique, cette intersection contient une infinité divergente de points. Par ailleurs, si la finesse asymptotique est nulle, alors cette intersection est égale à toute la demi-orbite géodésique positive. Nous montrons cependant que même si la finesse asymptotique n'est pas nulle, la demi-orbite géodésique peut tout de même être contenue dans cette intersection. Le quatrième chapitre étudie les liens entre une orbite horocyclique issue d'un vecteur u et la feuille fortement stable associée. Nous commençons par montrer que les adhérences de ces deux ensembles coïncident toujours. Cependant, cette propriété ne s'étend pas aux ensembles eux-mêmes et nous donnons ensuite une condition suffisante pour que qu'ils ne coïncident pas. Nous montrons qu'alors la feuille fortement stable est une union d'une quantité non dénombrable d'orbites horocycliques. / We study the topological behavior of the horocycle flow on geometrically infinite hyperbolic surfaces. This study and that of the geodesic flow are deeply interwoven. The first chapter introduces the basic objects of hyperbolic geometry that we will use. Next, it presents a class of surfaces, the hyperbolic flutes, which carries most of the complexity of geometrically infinite surfaces. Then, it details the notion of asymptotic thinness for a half-geodesic, which determines the size of the most thin parts that this half-geodesic crosses. The second chapter focuses on the classical properties of the horocycle flow on which we will base our proofs. The third chapter presents the study of the intersection between the closure of a horocyclic orbit stemming from a vector u on a hyperbolic surface and the positive half-geodesic stemming from the same vector. We show that if the asymptotic thinness of the half-orbit stemming from u is finite and if u is not periodic for the horocycle flow, then this intersection contains an unbounded sequence of points. Moreover, if the asymptotic thinness is zero, then all the halfgeodesic orbit is included in the intersection. However, we also prove that the half-geodesic orbit can be included in the intersection and even if the asymptotic thinness is not zero. The fourth chapter studies the links between a horocyclic orbit starting from a vector u and the strong stable manifold associated to u. We first show that the closure of these two sets are always the same. However, we then give a sufficient condition for these two sets to be different and we prove that in this case, the strong stable manifold is a reunion of an uncountable number of horocyclic orbits.

L'objectif de ce travail de thèse est de développer un modèle mathématique pour l'étude et la compréhension de la dynamique des populations d'un insecte ravageur, l'Eudémis de la vigne, dans son écosystème. Le modèle proposé est un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) de type hyperbolique qui décrit les variations numériques au cours du temps de la population en fonction des stades de développement, du sexe des individus et des conditions environnementales. La ressource alimentaire, la température, l'humidité et la prédation sont les principaux facteurs environnementaux du modèle expliquant les fluctuations du nombre d'individus au cours du temps. Les différences de développement qui existent dans une cohorte d'Eudémis sont aussi modélisées pour affiner les prédictions du modèle. A partir de données expérimentales obtenues par les entomologistes de l'INRA, les paramètres du modèle sont estimés. Ce modèle ainsi ajusté nous permet alors d'étudier quelques aspects biologiques et écologiques de l'insecte comme par exemple l'impact de scénarios climatiques sur le ponte des femelles ou sur la dynamique d'attaque de la vigne par les jeunes larves. Les analyses mathématique et numérique du modèle mathématique et des problèmes d'estimation des paramètres sont développes dans cette thèse.

Texte synthétique de présentation des théories quantiques des champs dites "hyperboliques" , définies par l'auteur en collaboration avec R. Benedetti. Leur place en topologie quantique, et leurs relations avec la conjecture du volume et les invariants de Chern-Simons, sont développés.

Cette thèse présente des études préliminaires visant à réaliser des mémoires quantiques dans des ions de terre rare en matrice cristalline. Les mémoires quantiques sont un élément essentiel de tout processus de traitement quantique de l'information. Si les photons sont les meilleurs vecteurs pour le transport d'information, les systèmes matériels représentent les meilleurs objets quantiques pour réaliser des opérations de stockage et de traitement de l'information. Les transitions Raman sont un processus intéressant pour réaliser le couplage lumière-matière car elles sont insensibles à la décohérence par émission spontanée. Les ions de terre rare ont été choisis car ils présentent des durées de vies de cohérence relativement longues. Dans ce manuscrit, après une présentation détaillée des différents ions de terre rare et des différentes matrices cristallines, on justifie le choix de travailler sur l'ion Thulium inséré dans un cristal de YAG. On discute ensuite de la façon de créer un système à trois niveaux efficace dans ce matériau à l'aide d'un champ magnétique. On présente les résultats expérimentaux de spectroscopie de l'ion Thulium en champ magnétique qui permettent de mesurer les facteurs gyromagnétiques du Thulium. On détaille la procédure de préparation du système à trois niveaux de façon à éliminer l'effet de l'élargissement inhomogène des transitions. On décrit enfin une première opération de manipulation cohérente d'un ensemble macroscopique d'ions Thulium, en utilisant un laser ultra-stable construit au laboratoire: l'opération de transfert adiabatique de population entre deux niveaux du système, par excitation cohérente "Sécante Hyperbolique Complexe".