La thèse concerne l'analyse numérique des méthodes de simulation en chimie et physique quantique.

Une partie importante des simulations en chimie quantique computationnelle utilisent aujourd'hui des techniques très avancées de mathématiques appliquées et de calcul scientifique. Ainsi ce champ d'application suscite un intérêt croissant de la part des numériciens et fournit des sujets de réflexion d'une grande complexité aussi bien théorique que pratique. Ayant abordé ce domaine de recherche lors de mon stage de DEA et ensuite lors de ma thèse, mes recherches en chimie quantique computationnelle ont continué par la suite et seront l'objet central de ce mémoire. La présentation de mes travaux a été divisée en chapitres thématiques. Après un chapitre introductif sur l'équation de SchrÄodinger et ses approximations, le second chapitre, dédié aux méthodes de discrétisation, présente mes contributions théoriques sur la méthode des bases réduites. Le troisième chapitre traite de l'analyse d'erreur a posteriori qui, de la même façon que les barres d'erreur sont utilisées lors des expériences réelles, permet de donner des informations quantitatives sur la confiance à mettre dans le résultat d'une simulation numérique. Cette méthode est appliquée à deux situations : le calcul du mouvement nucléaire et les calculs de structure électronique. Une autre contribution qui utilise les mêmes techniques et qui aboutit sur la construction d'algorithmes de type Newton pour les équations de Kohn-Sham est présenté en Section 3.4. Passant aux équations dépendantes de temps, le Chapitre 4 introduit un schéma parallèle en temps pour la résolution des équations d'évolution. L'extension de cette approche à des situations de contrôle est aussi détaillée. Situé au coeur de mes recherches en chimie quantique, l'étude du contrôle des phénomènes au niveau atomique est décrit Chapitre 5. Après une courte introduction je présente en Sections 5.2 et 5.3 mes travaux sur la contrôlabilité des équations bilinéaires intervenant dans la description mathématique de l'interaction laser-matière. Ces résultats continuent à la Section 5.4 avec une application à la discrimination optimale des systèmes quantiques. Ensuite, dans la Section 5.5, je traite des algorithmes d'optimisation utilisés pour de la recherche par des simulations numériques de champs laser réalisant les objectifs du contrôle. Enfin, au Chapitre 6, on trouve un travail sur un modèle en épidémiologie. Le Chapitre 7 réunit quelques projets de recherche en cours ou bien à plus long terme qui font suite aux travaux des chapitres précédents.

L'étude suivante a pour objet la représentation numérique d'une turbomachine. Le programme général de représentation qui a été construit, a été vérifié sur une abaque particulière, celle de MANICOUAGAN V, route 115.

Les systèmes à matrice cimentaire renforcée de fibres (MCRF) ont été récemment présentés comme une technique innovante de renforcement/réparation externe pour les structures en béton armé et en maçonnerie. Alors que les systèmes MCRF ont prouvé leur efficacité pour renforcer les structures simplement appuyées en termes de capacité et de ductilité, notre connaissance sur le renforcement des structures à multi-portées avec les systèmes MCRF est encore limitée. L'importance de ces structures peut être fréquemment constatée dans la plupart de nos infrastructures telles que les ponts et les garages de stationnement. Cette étude fait partie d'un grand projet qui vise à comprendre le comportement des structures à multi-portées renforcées par les systèmes MCRF. Le programme expérimental consistait des poutres à grande échelle et à deux travées qui ont été testées après avoir été renforcées par des systèmes de polyparaphénylène benzobisoxazole (PBO-MCRF) avec des différents ratios de renforcement négative/positive et avec des différents nombres de couches de renforcement. Les résultats ont confirmé que le renforcement à l'aide de PBO-MCRF a considérablement amélioré la ductilité et la capacité de flexion des poutres renforcées. Malgré le renforcement, les sections déficientes renforcées avec les systèmes MCRF étaient capables de redistribuer les moments jusqu'à 37 %, ce qui représentait 93 % de la capacité de redistribution de leurs homologues dans la poutre contrôle non renforcée. Ces résultats ont suggéré la révision des formulations de la norme Canadienne CSA et le guide ACI qui interdisaient la prise en compte de la redistribution des moments dans la conception des éléments renforcés à l'externe. De plus, un modèle d'éléments finis 3D (MEF) a été développé pour simuler le comportement en flexion non linéaire des poutres renforcées par les systèmes MCRF à l'aide d'ABAQUS. Les résultats numériques ont démontré un bon accord avec les résultats expérimentaux en termes de modes de rupture, de capacité, de ductilité et de redistribution des moments entre les sections critiques. Une étude paramétrique a ensuite été menée pour étendre les résultats obtenus et pour évaluer d'autres paramètres qui n'ont pas été inclus dans le travail expérimental. / Fabric-reinforced cementitious matrix (FRCM) systems have been recently presented as an innovative external strengthening/repair technique for reinforced concrete (RC) and masonry structures. While FRCM systems have proven their efficacy to strengthen simply supported RC structures in terms of flexure capacity and ductility, very little is known about the flexural strengthening of multi-span structures with FRCM systems. The importance of those structures can be frequently noted in most of our infrastructures such as bridges and parking garages. This study is part of a large project that aims at understanding the behavior of FRCM-strengthened multi-span RC structures. The experimental program consisted of testing large-scale two-span beams after being strengthened by Polyparaphenylene benzobisoxazole (PBO-FRCM) systems with different hogging-to-sagging strengthening ratios and different number of strengthening layers. The results confirmed that strengthening using PBO-FRCM significantly enhanced the ductility and the flexural capacity of the strengthened beams. Despite strengthening, the deficient sections strengthened with FRCM systems were capable to redistribute moments up to 37%, which represented 93% of the redistribution capacity of their counterpart sections in the unstrengthened control beam. These findings suggested the revision of the provisions of the CSA and ACI formulations that prohibited the consideration of moment redistribution in the design of externally bonded strengthened elements. Moreover, 3D finite element model (FEM) was developed to simulate the nonlinear flexural behavior of the FRCM-strengthened beams using ABAQUS. The numerical results demonstrated a good agreement with the experimental results in terms of the failure modes, the load-carrying capacity, the ductility, and the moment redistribution between the critical sections. A parametric study was then conducted to extend the obtained results and to assess other parameters that have not be included in the experimental work.

La modélisation mathématique est un outil largement employé dans plusieurs disciplines des sciences appliquées. En hydrologie, en biologie, en économie ainsi que d'autres domaines des sciences naturelles, sociales et humaines, le recours à la modélisation mathématique est une démarche de plus en plus fréquente. Par exemple, en hydrologie, plusieurs modèles mathématiques sont conçus pour décrire ou prédire la relation existante entre les hauteurs d'eau et les débits des rivières. Dans le cadre de cette thèse nous nous sommes intéressés au développement de nouveaux modèles permettant de modéliser les phénomènes de croissance qui nécessitent la présence d'une asymptote linéaire croissante ou curviligne. Pour atteindre cet objectif, l'idée de base a été d'utiliser quelques modèles parmi les plus répandus en pratique et de les modifier judicieusement (et simplement) de façon à introduire une asymptote soit linéaire soit curviligne tout en conservant leur unique point d'inflexion. La modification que nous avons introduite conserve aussi le caractère simple et continue de ces modèles ainsi que la forme lisse et croissante de leurs courbes. Nous obtenons ainsi des modèles qui répondent aux besoins de la modélisation lorsque les modèles standards échouent.

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Partial differential equations having diffusive, convective and reactive terms appear naturally in the modeling of a large variety of processes of practical interest in several branches of science such as biology, chemistry, economics, physics, physiology and materials science. Moreover, in some instances several species or components interact with each other requiring to solve strongly coupled systems of convection-diffusion-reaction equations. Of special interest for us is the numerical treatment of the advection dominated continuum dislocation transport equations used to describe the plastic behavior of crystalline materials.Analytical solutions for such equations are extremely scarce and practically limited to linear equations with homogeneous coefficients and simple initial and boundary conditions. Therefore, resorting to numerical approximations is the most affordable and often the only viable strategy to deal with such models. However, when classical numerical methods are used to approximate the solutions of such equations, even in the simplest one dimensional case in the steady state regime for a single equation, instabilities in the form of node to node spurious oscillations are found when the convective or reactive terms dominate over the diffusive term.To address such issues, stabilization techniques have been developed over the years in order to handle such transport equations by numerical means, overcoming the stability difficulties. However, such stabilization techniques are most often suited for particular problems. For instance the Streamline Upwind Petrov-Galerkin method, to name only one of the most well-known, successfully eliminates spurious oscillations for single advection-diffusion equations when its advective form is discretized, but have been shown useless if the divergence form is used instead. Additionally, no extensive work has been carried out for systems of coupled equations. The reason for this immaturity is the lack of a maximum principle when going from a single transport equation towards systems of coupled equations.The main aim of this work is to present a stabilization technique for systems of coupled multidimensional convection-diffusion-reaction equations based on coefficient perturbations. These perturbations are optimally chosen in such a way that certain compatibility conditions analogous to a maximum principle are satisfied. Once the computed perturbations are injected in the classical Bubnov-Galerkin finite element method, they provide smooth and stable numerical approximations.Such a stabilization technique is first developed for the single one-dimensional convection-diffusion-reaction equation. Rigorous proof of its effectiveness in rendering unconditionally stable numerical approximations with respect to the space discretization is provided for the convection-diffusion case via the fulfillment of the discrete maximum principle. It is also demonstrated and confirmed by numerical assessments that the stabilized solution is consistent with the discretized partial differential equation, since it converges to the classical Bubnov-Galerkin solution if the mesh Peclet number is small enough. The corresponding proofs for the diffusion-reaction and the general convection-diffusion-reaction cases can be obtained in a similar manner. Furthermore, it is demonstrated that this stabilization technique is applicable irrespective of whether the advective or the divergence form is used for the spatial discretization, making it highly flexible and general. Subsequently the stabilization technique is extended to the one-dimensional multiple equations case by using the superposition principle, a well-known strategy used when solving non-homogeneous second order ordinary differential equations. Finally, the stabilization technique is applied to mutually perpendicular spatial dimensions in order to deal with multidimensional problems.Applications to several prototypical linear coupled systems of partial differential equations, of interest in several scientific disciplines, are presented. Subsequently the stabilization technique is applied to the continuum dislocation transport equations, involving their non-linearity, their strongly coupled character and the special boundary conditions used in this context; a combination of additional difficulties which most traditional stabilization techniques are unable to deal with. The proposed stabilization scheme has been successfully applied to these equations. Its effectiveness in stabilizing the classical Bubnov-Galerkin scheme and being consistent with the discretized partial differential equation are both demonstrated in the numerical simulations performed. Such effectiveness remains unaffected when different types of dislocation transport models with constant or variable length scales are used.These results allow envisioning the use of the developed technique for simulating systems of strongly coupled convection-diffusion-reaction equations with an affordable computational effort. In particular, the above mentioned crystal plasticity models can now be handled with reasonable computation times without the use of extraordinary computational power, but still being able to render accurate and physically meaningful numerical approximations. / Doctorat en Sciences de l'ingénieur et technologie / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse porte sur la modélisation du transport électronique dans les semi-conducteurs. Des modèles de diffusion sont couramment utilisés (modèles de type Dérive Diffusion), mais ils s'avèrent imprécis pour de petites échelles (composants nanométriques) et des systèmes hors équilibre (régimes transitoires). Les modèles cinétiques, très précis, sont généralement trop coûteux en temps de calcul pour permettre une utilisation dans des contextes physiques réalistes. Les modèles Spherical Harmonics Expansion (SHE) représentent un intermédiaire intéressant entre ces deux types de modèles. Les modèles SHE sont des modèles de diffusion dans l'espace position-énergie qui sont théoriquement adaptés à la modélisation de systèmes de particules proches de l'équilibre (mais pas forcément d'un équilibre Maxwellien, contrairement aux modèles de Dérive Diffusion), la thermalisation étant le fait de collisions de type élastique. Dans cette thèse, nous avons proposé des modèles de type SHE couplé qui permettent de modéliser des particules interagissant avec le milieu environnant de façon inélastique. Un modèle SHE couplé est introduit pour décrire les interactions entre électrons et phonons dans les semi-conducteurs. Un autre modèle de type SHE couplé est proposé pour modéliser des situations où la diffusion est engendrée par des collisions entre les particules considérées (électrons par exemple) et les parois du matériau dans lequel elles évoluent. Une étude numérique montre que les modèles de type SHE et SHE couplé donnent une représentation fidèle de la réalité (montrant de faibles différences avec des modèles cinétiques), même lorsque les collisions considérées sont fortement inélastiques. Enfin, nous proposons une hiérarchie de modèles SHE quantiques pour la description de systèmes de très petite échelle, lorsque le transport électronique aussi bien que les interactions avec le milieu sont régies par la mécanique quantique. Ces modèles dissipent une entropie quantique.

On s'attache à étudier des modèles mathématiques multi-échelles pour des domaines variés : la rhéologie des matériaux vitreux, la biochimie dans la balnéothérapie et la biomécanique des sutures craniofaciales. Pour les matériaux vitreux, nous étudions un modèle de type cinétique et justifions mathématiquement des propriétés macroscopiques (transition vitreuse à faible cisaillement et comportement de type fluide newtonien à fort taux de cisaillement) après avoir remarqué une certaine analogie avec la pénalisation d'obstacles en mécanique des fluides. Nous proposons également une généralisation multi-dimensionnelle de ce modèle afin de prendre en compte des types d'écoulements généraux. En biochimie nous présentons un premier modèle très simplifié de réaction-diffusion et montrons comment concevoir un schéma numérique adapté en utilisant les hypothèses de modélisation. Enfin nous proposons un modèle de couplage biomécanique pour le développement des sutures qui rend compte du phénomène d'interdigitation que l'on observe en pratique.