Cette thèse porte sur la modélisation du transport électronique dans les semi-conducteurs. Des modèles de diffusion sont couramment utilisés (modèles de type Dérive Diffusion), mais ils s'avèrent imprécis pour de petites échelles (composants nanométriques) et des systèmes hors équilibre (régimes transitoires). Les modèles cinétiques, très précis, sont généralement trop coûteux en temps de calcul pour permettre une utilisation dans des contextes physiques réalistes. Les modèles Spherical Harmonics Expansion (SHE) représentent un intermédiaire intéressant entre ces deux types de modèles. Les modèles SHE sont des modèles de diffusion dans l'espace position-énergie qui sont théoriquement adaptés à la modélisation de systèmes de particules proches de l'équilibre (mais pas forcément d'un équilibre Maxwellien, contrairement aux modèles de Dérive Diffusion), la thermalisation étant le fait de collisions de type élastique. Dans cette thèse, nous avons proposé des modèles de type SHE couplé qui permettent de modéliser des particules interagissant avec le milieu environnant de façon inélastique. Un modèle SHE couplé est introduit pour décrire les interactions entre électrons et phonons dans les semi-conducteurs. Un autre modèle de type SHE couplé est proposé pour modéliser des situations où la diffusion est engendrée par des collisions entre les particules considérées (électrons par exemple) et les parois du matériau dans lequel elles évoluent. Une étude numérique montre que les modèles de type SHE et SHE couplé donnent une représentation fidèle de la réalité (montrant de faibles différences avec des modèles cinétiques), même lorsque les collisions considérées sont fortement inélastiques. Enfin, nous proposons une hiérarchie de modèles SHE quantiques pour la description de systèmes de très petite échelle, lorsque le transport électronique aussi bien que les interactions avec le milieu sont régies par la mécanique quantique. Ces modèles dissipent une entropie quantique.

Le sujet de la thèse porte sur l'étude d'une nouvelle classe de modèles de transport quantique: les modèles fluides quantiques issus du principe de minimisation d'entropie. Ces modèles ont été dérivés dans deux articles publiés en 2003 et 2005 par Degond, Méhats et Ringhofer dans Journal of Statistical Physics en adaptant au cadre de la théorie quantique la méthode des moments développée par Levermore dans le cadre classique. Cette méthode consiste à prendre les moments de l'équation de Liouville quantique et à fermer ce système par un équilibre local (ou Maxwellienne quantique) défini comme minimiseur d'une certaine entropie quantique sous contrainte de conservation de certaines quantités physiques comme la masse, le courant, et l'énergie. Le principal intérêt des modèles quantiques ainsi obtenus provient du fait qu'étant macroscopiques, ils sont biens moins coûteux numériquement que des modèles microscopiques comme l'équation de Schrödinger ou l'équation de Wigner, et de plus, ils prennent en compte implicitement des effets de collision bien plus difficiles à modéliser à un niveau microscopique. Le but de cette thèse est donc de proposer des méthodes numériques pour implémenter ces modèles et de les tester sur des dispositifs physiques adéquats.<br />Nous avons donc commencé dans le chapitre I par proposer une discrétisation du plus simple de ces modèles qu'est le modèle de Dérive-Diffusion Quantique sur un domaine fermé. Puis nous avons décidé dans le chapitre II et III d'appliquer ce modèle au transport d'électrons dans les semiconducteurs en choisissant comme dispositif ouvert la diode à effet tunnel résonnant. Ensuite nous nous sommes intéressés au chapitre IV à l'étude et l'implémentation du modèle d'Euler Quantique Isotherme, avant de s'attaquer aux modèles non isothermes dans le chapitre V avec l'étude des modèles d'Hydrodynamique Quantique et de Transport d'Énergie Quantique. Enfin, le chapitre VI s'intéresse à un problème un petit peu différent en proposant un schéma asymptotiquement stable dans la limite semi-classique pour l'équation de Schrödinger écrite dans sa formulation fluide: le système de Madelung.