Dans ce travail de thèse, nous nous intéressons à l'étude mathématique du transport dans les systèmes de Hall quantiques en milieu désordonné. Plus précisément nous commençons par étudier la théorie de la réponse linéaire dans le cas continu pour un opérateur de Schrödinger magnétique aléatoire. Nous exploitons le formalisme de l'intégration non commutative pour développer une théorie de la réponse linéaire adaptée au problème et obtenir une formule de Kubo-Středa. Dans un deuxième temps nous nous intéressons à la quantification des courants de bord créés par un mur magnétique modélisé par un Hamiltonien d'Iwatsuka. Nous démontrons la stabilité de cette quantification sous certaines perturbations magnétiques. Enfin nous achevons ce travail de thèse par une discussion plus approfondie sur le formalisme développé dans la première partie, de manière à permettre une généralisation future de la théorie de la réponse linéaire.

Nous présentons des travaux autour de trois axes : 1- Phénomène de focalisation en un point en optique géométrique non linéaire. Les équations considérées sont principalement des équations d'ondes et de Schrödinger non linéaires. 2- Rôle des oscillations quadratiques dans les équations de Schrödinger non linéaires. 3- Equations de Schrödinger non linéaire en présence d'un potentiel extérieur.

Cette thèse comporte deux parties sur les estimations dispersives pour l'équation de Schrödinger et celle des ondes. Si des résultats assez précis sont connus en dimension 1, 2 et 3, les meilleurs résultats en dimension supérieure ou égale à 4 sont connus depuis plus de dix ans et sont ceux de Beals pour l'équation des ondes et de Journé, Soffer et Sogge pour l'équation de Schrödinger. G.Vodev a traité le cas des hautes fréquences dans deux articles. Cette thèse complète l'étude en traitant le cas des basses fréquences, ce qui permet d'améliorer les résultats existants tout en apportant une nouvelle méthode de traitement. <br />Ces méthodes basées sur une étude approfondie des propriétés de la résolvante libre permettent aussi l'étude de la dimension 3, ce qui apporte des résultats nouveaux concernant l'équation des ondes. Elles permettent aussi de traiter le cas des hautes fréquences en dimension 2 pour les deux équations.<br /><br />Dans la première partie, pour l'équation des ondes, je prouve des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 3 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue pour n supérieur ou égal à 4 les potentiels à décroissance à l'infini V(x)=O(^{-(n+1)/2-\epsilon}). En dimension n=2, je prouve des estimations dispersives à hautes fréquences pour une large classe de potentiels à valeurs réelles.<br /><br />Pour l'équation de Schrödinger, je prouve de manière similaire des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 4 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue les potentiels décroissant à l'infini vérifiant V(x)=O(^{-(n+2)/2-\epsilon}). J'améliore aussi les résultats de Journé, Soffer et Sogge dans le cas où le potentiel vérifie des hypothèses de régularité. En dimension n=2, je prouve, en m'appuyant sur les estimations prouvées lors de l'étude de l'équation des ondes, des estimations dispersives à hautes fréquences toujours pour une classe de potentiels à valeurs réelles.

Dans cette thèse on s'est intéressé à différents phénomènes d'instabilités pour des équations de Schrödinger non-linéaires.<br /> Dans la première partie on met en évidence un mécanisme de décohérence de phase pour l'équation (semi-classique) de Gross-Pitaevski en dimension 3. Ce phénomène géométrique est dû à la présence du potentiel harmonique, qui permet de construire -via une méthode de minimisation- des solutions stationnaires se concentrant sur des cercles de R^{3}.<br /> Dans la deuxième partie, on obtient un résultat d'instabilité géométrique pour NLS cubique posée sur une surface riemannienne possédant une géodésique périodique, stable et non-dégénérée. Avec une méthode WKB, on construit des quasimodes non-linéaires, qui permettent d'obtenir des solutions approchées pour des temps pour lesquels l'instabilité se produit. On généralise ainsi des travaux de Burq-Gérard-Tzvetkov pour la sphère.<br /> Enfin, dans la dernière partie on considère des équations sur-critiques sur une variété de dimension d. Grâce à une optique géométrique non-linéaire dans un cadre analytique on peut montrer un mécanisme de perte de dérivées dans les espaces de Sobolev, et une instabilité dans l'espace d'énergie.

Cette thèse est divisée en deux parties, le fil directeur étant la contrôlabilité en temps optimal.Dans la première partie, après un rappel du principe du maximum de Pontryagin dans le cas des systèmes de dimension finie, nous mettrons en oeuvre ce principe sur le cas d'un intégrateur non-holonome connu sous le nom de système de Brockett pour lequel nous imposons des contraintes sur l'état. La difficulté de cette étude provient du fait que l'on considère un problème de contrôle avec des contraintes sur l'état. Après cet exemple, nous nous intéressons à une extension du principe du maximum de Pontryagin au cas des systèmes de dimension infinie. Plus précisément, l'extension que nous considérons s'applique au cas de systèmes exactement contrôlables en tout temps. Typiquement, ce résultat s'applique à l'équation de Schrödinger avec contrôle interne. Pour de tels systèmes, sous une condition de contrôlabilité approchée, depuis un ensemble de temps non négligeable, nous montrons l'existence d'un contrôle bang-bang. Dans la seconde partie, nous étudions le problème de la nage à bas nombre de Reynolds. Une modélisation physique convenable nous permet de le formaliser comme un problème de contrôle. Nous obtenons alors un résultat de contrôlabilité sur ce problème. Plus précisément, nous montrons que quelque soit la forme du nageur, celui-ci peut se déformer légèrement pour suivre une trajectoire imposée. Nous étudions ensuite le cas d'un nageur à symétrie axiale. Les résultats de la première partie permettent alors la recherche d'un contrôle en temps optimal / This thesis is divided in two parts. The main tool of this work is time optimal control. We first consider the Pontryagin maximum principle for control system of finite dimension. After that, we give an application of this principle for the Brockett integrator with state constraints. Then, we study an extension of the Pontryagin maximum principle in the case of infinite dimensional systems. More precisely, this extension concerns the case of exactly controllable systems in any time. For instance, this can be the Schrödinger equation with internal control. Especially under some condition of approximate controllability, we can show the existence of a bang-bang control defined on a time set of positive measure. In the second part, we study the problem of swimming at low Reynolds number. A convenient physical model allows us to formulate it under the form of a control problem. We then get a controllability result on this problem. More precisely, we will show that whatever the shape of the swimmer is, the swimmer can slightly modify its shape in order to steer any prescribed trajectory. To complete this part, we consider the case of an axi-symmetric swimmer. The results of the first part allow us to find an optimal time control

Ce travail est dédié à l’étude de l’origine des phénomènes statistiques récemment observés dans le cadre de la turbulence intégrable. Les études expérimentales et numériques de la propagation d’ondes partiellement cohérentes dans les systèmes décrits par l’équation de Schrödinger non linéaire à une dimension ont révélé un écart par rapport à la distribution gaussienne. Les régimes de propagation focalisant et défocalisant présentent un comportement qualitativement différent: la probabilité que des événements extrêmes apparaissent dans le cas focalisant est supérieure à la loi normale, alors que dans le régime défocalisant, elle y est inférieure. Nous avons réalisé des expériences d’optique bien décrites par l'équation de Schrödinger non linéaire 1-D afin d'étudier ce problème. Nous avons construit deux outils de mesure nouveaux et complémentaires. En utilisant ces outils, nous avons réalisé une observation directe des structures cohérentes qui apparaissent à différents stades de la propagation dans les deux régimes. En fournissant une analyse de ces structures, nous avons déterminé les mécanismes dominants dans les régimes focalisant et défocalisant. Dans le régime focalisant, nous avons mis en évidence le caractère universel de structures voisines des solitons de Peregrine et établi un lien avec un résultat mathématique rigoureux obtenu dans le régime semi-classique. Dans le régime défocalisant, nous avons montré que le mécanisme d'interférence non linéaire entre impulsions voisines définit l'évolution des conditions initiales partiellement cohérentes. Nous avons proposé un modèle simplifié qui explique la présence des différentes échelles dans les données enregistrées. / This work is dedicated to the investigation of the origin of statistical phenomena recently observed in the framework of integrable turbulence. Namely, experimental and numerical studies of the partially-coherent waves propagation in 1-D Nonlinear Schrödinger equation systems revealed a deviation from the Gaussian statistics. Focusing and defocusing regimes of propagation demonstrated qualitatively different behaviour: the probability of extreme events to appear in the focusing case is higher than it is predicted by normal law, while in defocusing it is lower. We provided optical experiments well described by the 1-D Nonlinear Schrödinger equation in order to investigate this problem. We built two novel and complementary ultrafast measurement tools. Employing these tools we provided direct observation of coherent structures which appear at different stages of the propagation in both regimes. Providing analysis of these structures, we determined dominating mechanisms in both focusing and defocusing regimes. In the focusing regime, we discovered the universal appearance of Peregrine soliton-like structures and made a link with the rigorous mathematical result obtained in the semi-classical regime. In the defocusing case, we showed that the mechanism of nonlinear interference of neighbour pulse-like structures defines the evolution of the partially-coherent initial conditions. We considered a simplified model which explained the presence of different scales in the recorded data.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de physique théorique appelé systèmes intégrables, qui mêle fructueusement physique et mathématiques et se caractérise par la possibilité d'obtenir des résultats exacts (i.e. non perturbatifs) guidant les prédictions physiques qui en découlent. <br />Dans ce contexte, l'équation de Schrödinger non-linéaire (à 1+1 dimensions) est un système privilégié. On la retrouve comme modèle de phénomènes variés tant classiques (optique non-linéaire, mécanique des fluides...) que quantiques (gaz ultra-froids, condensation de Bose-Einstein...). En outre, elle a contribué à la mise au point de techniques de résolution des systèmes intégrables : méthode de diffusion inverse, ansatz de Bethe, identification et utilisation de symétries (groupes quantiques, Yangiens). En utilisant ce système à la fois comme support de test et comme modèle de prédiction, mon travail de thèse tourne autour de deux points principaux : <br />- Inclusion de degrés de liberté bosoniques et fermioniques.<br />- Inclusion d'un bord ou d'une impureté.<br />Dans un premier temps, j'ai étudié une version « supersymétrique » de cette équation pour laquelle j'ai montré la validité de tous les résultats d'intégrabilité, de symétrie et de résolution explicite classiques et quantiques connus pour la version scalaire originelle. La question de l'inclusion d'un bord a été traitée d'un autre point de vue. L'idée est de partir d'une algèbre de symétrie caractéristique des systèmes intégrables avec bord, l'algèbre de réflexion, et de construire un Hamiltonien général intégrable et possédant cette algèbre comme structure de symétrie. Un cas particulier de l'Hamiltonien intégrable obtenu n'est autre que l'Hamiltonien de Schrödinger non-linéaire en présence d'un bord. Un autre cas particulier est l'Hamiltonien de Sutherland en présence d'un bord pour lequel la symétrie n'était pas connue.<br />Le problème de l'inclusion d'une impureté dans un système intégrable a constitué la plus grosse partie de mon travail. J'ai pu montrer qu'il est possible de préserver l'intégrabilité d'un système avec interaction lorsqu'on introduit un défaut qui transmet et réfléchit (une impureté) grâce à une nouvelle structure algébrique, l'algèbre de Réflexion-Transmission, appliquée à l'équation de Schrödinger non-linéaire. Cela permet de trouver la forme explicite du champ, de calculer de façon exacte les éléments de la matrice de diffusion et les fonctions de corrélation à N points et d'identifier la symétrie du problème. <br />Suite à ce travail, les équations exactes qui régissent le spectre d'énergie d'un gaz de particules en interaction de contact et en présence d'une impureté contrôlée par quatre paramètres ont été établies. Ces résultats ouvrent des perspectives d'applications en physique de la matière condensée.

Ce travail est consacré à l'étude de perturbations adiabatiques de l'équation de Schrödinger périodique en dimension 1. Précisément, on considère l'opérateur $H_(\varphi,\varepsilon)=-\Delta+[V(x)+W(\varepsilon x+\varphi)]$ lorsque $V$ est périodique, $W$ tend vers $0$ à l'infini, $\varepsilon$ et $\varphi$ sont des paramètres réels. On se place dans le cadre de la limite adiabatique où le paramètre $\varepsilon$ est petit. On s'intéresse aux valeurs propres de $H_(\varphi,\varepsilon)$ dans les lacunes de l'opérateur périodique $-\Delta+V$ ; sous des hypothèses adéquates sur $W$, ces valeurs propres sont créées par les extrema de $W$. Lorsque $W$ a un unique extremum, on montre que ces valeurs propres oscillent autour de certaines énergies quantifiées par une condition de type Bohr-Sommerfeld. L'amplitude des oscillations est exponentiellement petite et déterminée par un coefficient tunnel. Lorsque deux extrema sont en jeu, ils créent chacun une suite de valeurs propres ; celles-ci peuvent être résonantes. Dans ce cas, on met en évidence un phénomène d'éclatement ; ce phénomène est l'analogue de celui bien connu de splitting dans le cas du double puits.

À l'aide de méthodes probabilistes, nous donnons des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger ou ondes. Nous tirons profit de l'aléa grâce à des propriétés de régularisation de séries aléatoires ou en éliminant un certain nombre de mauvaises valeurs d'un paramètre de l'équation. Ainsi, nous obtenons, sur un gros ensemble de paramètres, des résultats concernant la dynamique de l'équation. Notons que physiquement cette approche a un sens puisque les paramètres et les conditions initiales de l'équation ne peuvent être déterminés de façon absolue. De plus, dans chacune de nos méthodes employées, nous obtenons des résultats de stabilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales. Enfin, nous montrons que l'approche précédente est pertinente en construisant, pour des choix particuliers de paramètres, des trajectoires exceptionnelles en utilisant des phénomènes de résonance.

La première partie de la thèse est dédiée à la contrôlabilité exacte globale de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE).Nous montrons comment construire un voisinage de toute fonction propre du Laplacien Dirichlet où la contrôlabilité exacte locale est satisfaite à un temps explicit. Ensuite, pour tout couple de telles fonctions propres, nous étudions comment construire des contrôles et des temps tels que le flot de (BSE) envoie la première sur un voisinage de la seconde arbitrairement petit. Finalement, en regroupant les deux résultats précédents, nous définissons une dynamique entre états propres et nous fournissons un temps explicite requis pour atteindre l'état propre ciblé.Dans la deuxième partie, nous étudions la contrôlabilité exacte globale en projection d'une infinité d'équation de type (BSE) et nous prouvons la contrôlabilité exacte locale en projection à des termes dephases près pour tout temps positif. Dans la démonstration, nous adoptons différentes techniques provenant de la méthode du retour de Coron habituellement utilisée pour ces types de résultats. La principale nouveauté de ce travail est le fait que nous fournissons un ensemble de conditions en le champ de contrôle, impliquant la validité du résultat. Pour un champs de contrôle donné, nous pouvons vérifier si ces hypothèses sont satisfaites.La troisième partie du travail traite de la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE) sur des graphiques compactes. Considérer (BSE) sur un telle structure est utile quand nous devons étudier la dynamique des paquets d'ondes sur un modèle de type graphes. Nous étudions les hypothèses sur le graphe et le champ de contrôle implique que (BSE) soit bien posée dans des espaces appropriés que nous caractérisons en utilisant les méthodes d'interpolation. Ensuite, nous fournissons la contrôlabilité exacte globale dans ces espaces en étudiant comment la structure du graphe et des conditions de bords affectent le résultat. Nous donnons également des exemples de graphes et de champ de contrôle, tels que les hypothèses spectrales de la contrôlabilité exacte globale soient vérifiées, par exemple les graphes en étoile, graphe dit « têtard » et graphe à double anneau. Enfin, quand nos hypothèses de la contrôlabilité exacte globale ne sont pas vérifiées, nous définissons une notion plus faible de contrôlabilité appelée « contrôlabilité énergétique » qui assure l'existence d'un ensemble d'états liés pour lesquels la contrôlabilité exacte est vérifiée. En d'autres termes, nous prouvons l'existence de niveaux d'énergie pour lesquelles il est possible de changer l'état du système. Cette technique permet de traiter un grand nombre de problèmes intéressants. En effet, pour des graphes complexes, il n'est pas possible de vérifier les hypothèses spectrales donnant la contrôlabilité exacte globale. Cependant, la contrôlabilité énergétique permet d'obtenir des résultats intéressants en regardant seulement des sous-graphes particuliers. / The first part of the research is dedicated to the global exact controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE).We show how to construct a neighborhood of some eigenfunctions of the Dirichlet Laplacian where the local exact controllability is satisfied in a specific time. Then, for any couple of those eigenfunctions, we study how to construct controls and times such that the relative dynamics of (BSE) drives the first close to the second as much desired. Third, by gathering the two previous results, we define a dynamics steering eigenstates in eigenstates and we provide an explicit time required to reach the target.In the second part, we study the simultaneous global exact controllability in projection of infinitely many (BSE) and we prove the simultaneous local exact controllability in projection up to phases for any positive time. In the proof, we use different techniques from the Coron's return method usually adopted for those types of results. The main novelty of the work is the fact that it provides a set of conditions implying the validity of the result. Given any control field, one can verify if those assumptions are satisfied.The third part of the work treats the controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE) on compact graph. Considering (BSE) on such a complex structure is useful when one has to study the dynamics of wave packets on graph type model. We investigate assumptions on the graph and on the control field implying the well-posedness of (BSE) in suitable spaces that we characterize by providing peculiar interpolation features.Then, we provide the global exact controllability in those spaces by studying how the structure of the graph and the boundary conditions affect the result. We also provide examples of graphs and control fields so that the spectral assumptions of the global exact controllability are satisfied, e.g. star graphs, tadpole graphs and double-ring graphs.Afterwards, when the hypothesis for the global exact controllability fail, we define a weaker notion of controllability, the so-called “energetic controllability" which ensures the existence of a set of bounded states for which the exact controllability is verified. In other words, we prove the existence of energy levels in which it is possible to change the energy of the system.This technique allows to treat a large number of interesting problems. Indeed, for complex graphs, it is not possible to verify the spectral hypothesis of the global exact controllability. However, the energetic controllability allows to obtain interesting results only by looking for particular substructure contained in the graph.