On étudie le contrôle de systèmes quantiques en dimension finie soumis à des champs laser externes. Après avoir examiné l'exemple concret de l'alignement d'une molécule diatomique en milieu dissipatif, on s'intéresse au problème spécifique du contrôle optimal, où l'objectif est d'amener le système d'un état initial à un certain état final tout en minimisant une fonctionnelle de coût. Le principe du maximum de Pontryagin (PMP) fournit les conditions nécessaires d'optimalité, en établissant que toute trajectoire optimale est la solution extrémale d'un problème étendu de structure Hamiltonienne. Dans ce contexte, on procède à l'analyse de deux systèmes particuliers. Le premier est un système dissipatif à 2 niveaux, dont on souhaite déterminer l'ensemble des trajectoires en temps minimum; le second est un système conservatif à 3 niveaux non complètement contrôlable, où une mesure projective permet d'assister le processus de contrôle.

Cette thèse s'intéresse au problème de préparation et de stabilisation de systèmes quantiques. Nous considérons des modèles correspondant à des expériences actuelles en électrodynamique quantique en cavité, circuits Josephson, et de contrôle quantique cohérent par laser femtoseconde. Nous posons les problèmes dans le contexte de la théorie du contrôle et nous proposons des lois de commande qui préparent ou stabilisent des états cibles. En particulier, nous nous intéressons à des états cibles qui n'ont pas d'analogue classique: des états superpositions et intriqués. De plus, nous proposons une commande pour la stabilisation d'un sous-espace de l'espace des états, contribuant ainsi au domaine de la correction d'erreur quantique. Ces résultats ont été obtenu en étroite collaboration avec des expérimentateurs. Des mesures expérimentales préliminaires sont en bon accord avec certaines prédictions théoriques de cette thèse.

La première partie de la thèse est dédiée à la contrôlabilité exacte globale de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE).Nous montrons comment construire un voisinage de toute fonction propre du Laplacien Dirichlet où la contrôlabilité exacte locale est satisfaite à un temps explicit. Ensuite, pour tout couple de telles fonctions propres, nous étudions comment construire des contrôles et des temps tels que le flot de (BSE) envoie la première sur un voisinage de la seconde arbitrairement petit. Finalement, en regroupant les deux résultats précédents, nous définissons une dynamique entre états propres et nous fournissons un temps explicite requis pour atteindre l'état propre ciblé.Dans la deuxième partie, nous étudions la contrôlabilité exacte globale en projection d'une infinité d'équation de type (BSE) et nous prouvons la contrôlabilité exacte locale en projection à des termes dephases près pour tout temps positif. Dans la démonstration, nous adoptons différentes techniques provenant de la méthode du retour de Coron habituellement utilisée pour ces types de résultats. La principale nouveauté de ce travail est le fait que nous fournissons un ensemble de conditions en le champ de contrôle, impliquant la validité du résultat. Pour un champs de contrôle donné, nous pouvons vérifier si ces hypothèses sont satisfaites.La troisième partie du travail traite de la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE) sur des graphiques compactes. Considérer (BSE) sur un telle structure est utile quand nous devons étudier la dynamique des paquets d'ondes sur un modèle de type graphes. Nous étudions les hypothèses sur le graphe et le champ de contrôle implique que (BSE) soit bien posée dans des espaces appropriés que nous caractérisons en utilisant les méthodes d'interpolation. Ensuite, nous fournissons la contrôlabilité exacte globale dans ces espaces en étudiant comment la structure du graphe et des conditions de bords affectent le résultat. Nous donnons également des exemples de graphes et de champ de contrôle, tels que les hypothèses spectrales de la contrôlabilité exacte globale soient vérifiées, par exemple les graphes en étoile, graphe dit « têtard » et graphe à double anneau. Enfin, quand nos hypothèses de la contrôlabilité exacte globale ne sont pas vérifiées, nous définissons une notion plus faible de contrôlabilité appelée « contrôlabilité énergétique » qui assure l'existence d'un ensemble d'états liés pour lesquels la contrôlabilité exacte est vérifiée. En d'autres termes, nous prouvons l'existence de niveaux d'énergie pour lesquelles il est possible de changer l'état du système. Cette technique permet de traiter un grand nombre de problèmes intéressants. En effet, pour des graphes complexes, il n'est pas possible de vérifier les hypothèses spectrales donnant la contrôlabilité exacte globale. Cependant, la contrôlabilité énergétique permet d'obtenir des résultats intéressants en regardant seulement des sous-graphes particuliers. / The first part of the research is dedicated to the global exact controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE).We show how to construct a neighborhood of some eigenfunctions of the Dirichlet Laplacian where the local exact controllability is satisfied in a specific time. Then, for any couple of those eigenfunctions, we study how to construct controls and times such that the relative dynamics of (BSE) drives the first close to the second as much desired. Third, by gathering the two previous results, we define a dynamics steering eigenstates in eigenstates and we provide an explicit time required to reach the target.In the second part, we study the simultaneous global exact controllability in projection of infinitely many (BSE) and we prove the simultaneous local exact controllability in projection up to phases for any positive time. In the proof, we use different techniques from the Coron's return method usually adopted for those types of results. The main novelty of the work is the fact that it provides a set of conditions implying the validity of the result. Given any control field, one can verify if those assumptions are satisfied.The third part of the work treats the controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE) on compact graph. Considering (BSE) on such a complex structure is useful when one has to study the dynamics of wave packets on graph type model. We investigate assumptions on the graph and on the control field implying the well-posedness of (BSE) in suitable spaces that we characterize by providing peculiar interpolation features.Then, we provide the global exact controllability in those spaces by studying how the structure of the graph and the boundary conditions affect the result. We also provide examples of graphs and control fields so that the spectral assumptions of the global exact controllability are satisfied, e.g. star graphs, tadpole graphs and double-ring graphs.Afterwards, when the hypothesis for the global exact controllability fail, we define a weaker notion of controllability, the so-called “energetic controllability" which ensures the existence of a set of bounded states for which the exact controllability is verified. In other words, we prove the existence of energy levels in which it is possible to change the energy of the system.This technique allows to treat a large number of interesting problems. Indeed, for complex graphs, it is not possible to verify the spectral hypothesis of the global exact controllability. However, the energetic controllability allows to obtain interesting results only by looking for particular substructure contained in the graph.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'élaboration théorique de processus adiabatiques permettant le transfert de population entre un état initial et un état cible d'un système quantique. La stratégie du passage adiabatique parallèle pour laquelle les paramètres de couplage sont conçus de telle sorte que la différence des valeurs propres du système reste constante à chaque instant, permet de minimiser à zéro les transitions non-adiabatiques données par la formule DDP. Cette technique permet de combiner à la fois l'efficacité énergétique des méthodes impulsion-pi et la robustesse du passage adiabatique. La seconde partie de cette thèse concerne les effets de la dissipation sur le passage adiabatique. La formule de probabilité de transition d'un système à deux niveaux tenant compte des effets de la dissipation est établie. Cette formule permet de reformuler la solution générale d'un système dissipatif à deux niveaux dans la limite adiabatique qui est valable au-delà du régime de faible dissipation.

Dans le cadre du contrôle quantique bilinéaire, cette thèse étudie la possibilité de retrouver l'Hamiltonien et/ou le moment dipolaire à l'aide de mesures d'observables pour un ensemble grand de contrôles. Si l'implémentation du contrôle fait intervenir des bruits alors les mesures prennent la forme de distributions de probabilité. Nous montrons qu'il y a toujours unicité (à des phases près) des Hamiltoniens de du moment dipolaire retrouvés. Plusieurs modèles de bruit sont étudiés: bruit discrète constant additif et multiplicatif ainsi qu'un modèle de bruit dans les phases sous forme de processus Gaussien. Les résultats théoriques sont illustrés par des implémentations numériques. / The problem of recovering the Hamiltonian and dipole moment, termed inversion, is considered in a bilinear quantum control framework. The process uses as inputs some measurable quantities (observables) for each admissible control. If the implementation of the control is noisy the data available is only in the form of probability laws of the measured observable. Nevertheless it is proved that the inversion process still has unique solutions (up to phase factors). Several models of noise are considered including the discrete noise model, the multiplicative amplitude noise model and a Gaussian process phase model. Both theoretical and numerical results are established.

Dans cette thèse, nous développons des méthodes de contrôle pour stabiliser des systèmes quantiques en temps continu sous mesures quantiques non-destructives. En boucle ouverte, ces systèmes convergent vers un état propre de l'opérateur de mesure, mais l'état résultant est aléatoire. Le rôle du contrôle est de préparer un état prescrit avec une probabilité de un. Le nouvel élément pour atteindre cet objectif est l'utilisation d'un mouvement Brownien pour piloter les actions de contrôle. En utilisant la théorie stochastique de Lyapunov, nous montrons stabilité exponentielle globale du système en boucle fermés. Nous explorons aussi la syntèse du contrôle pour stabiliser un code correcteur d'erreurs quantiques en temps continu. Un autre sujet d'intérêt est l'implementation de contrôles efficacement calculables dans un contexte expérimental. Dans cette direction, nous proposons l'utilisation de contrôles et filtres qui calculent seulement les characteristiques classiques du système, correspondant a la base propre de l'opérateur de mesure. La formulation de dites filtres est importante pour adresser les problèmes de scalabilité du filtre posées par l'avancement des technologies quantiques. / In this thesis, we develop control methods to stabilize quantum systems in continuous-time subject to quantum nondemolition measurements. In open-loop such quantum systems converge towards a random eigenstate of the measurement operator. The role of feedback is to prepare a prescribed eigenstate with unit probability. The novel element to achieve this is the introduction of an exogenous Brownian motion to drive the control actions. By using standard stochastic Lyapunov techniques, we show global exponential stability of the closed-loop dynamics. We explore as well the design of the control layer for a quantum error correction scheme in continuous-time. Another theme of interest is towards the implementation of efficiently computable control laws in experimental settings. In this direction, we propose the use control laws and of reduced-order filters which only track classical characteristics of the system, corresponding to the populations on the measurement eigenbasis. The formulation of these reduced filters is important to address the scalability issues of the filter posed by the advancement of quantum technologies.

Le contrôle quantique constitue un enjeu majeur de la Physique contemporaine. Après un bref tour d'horizon du domaine, nous présentons une méthode, appelée contrôle non holonôme, qui permet d'imposer à système quantique quelconque une évolution unitaire arbitrairement choisie. Dans le contexte de l'Informatique Quantique, cette technique peut être utilisée pour réaliser n'importe quelle porte quantique : à titre d'exemple, nous montrons comment appliquer une porte CNOT à un système de deux atomes de Césium froids en interaction.<br />L'interaction de l'ordinateur avec son environnement risque de compromettre sa fiabilité. Le développement récent de la correction d'erreurs quantiques, inspirée des techniques classiques, suggère néanmoins que ce danger peut être évité. Après une présentation succincte du cadre général de la correction d'erreurs, nous proposons une méthode de protection de l'information fondée sur l'effet Zénon. Cette méthode est ensuite appliquée à un atome de Rubidium.

Cette thèse possède un double objectif : le premier est l'amélioration des techniques de contrôle en mécanique quantique, et plus particulièrement en RMN, grâce aux techniques du contrôle optimal géométrique. Le second consiste à étudier l'influence des singularités hamiltoniennes dans les systèmes physiques contrôlés. Le chapitre traitant du contrôle optimal étudie trois problèmes classiques en RMN : l'inversion simultanée de deux spins, l'inclusion des termes non-linéaires dans le modèle et la méthode du point fixe. Ensuite, nous appliquons le PMP au problème de transfert de population dans un système quantique à trois niveaux pour retrouver le processus STIRAP. Les deux chapitres suivants étudient les singularités hamiltoniennes. Nous montrons comment l'étude des singularités hamiltoniennes permet de contrôler la polarisation dans différentes fibres optiques. Ensuite, nous montrons l'existence d'une monodromie hamiltonienne généralisée dans le spectre vibrationnel de la molécule HOCl. Enfin, nous donnons une méthode de mesure de la monodromie hamiltonienne dynamique dans deux systèmes classiques en optique non-linéaire : le modèle de Bragg et le mélange à trois ondes.

Le contexte de ce travail est le contrôle optimal géométrique appliqué à la mécanique céleste et au contrôle quantique. On s'est tout d'abord intéressé au problème de transfert orbital de satellite autour de la Terre à consommation minimale, qui amena à la réalisation du code HamPath, permettant tout d'abord la résolution de problèmes de contrôle optimal dont la loi de commande est lisse. Il se base sur le Principe du Maximum de Pontryagin (PMP) et sur la notion de point conjugué. Ce programme combine méthodes de tir, méthodes homotopiques différentielles et calcul des conditions d'optimalité du deuxième ordre. Nous nous intéressons par la suite au contrôle quantique. On étudie tout d'abord le contrôle d'un système composé de deux types de particules de spin 1/2 ayant des temps de relaxation différents et dont la dynamique est gouvernée par les équations de Bloch. Ces deux sous-systèmes, correspondant aux deux types de particules, sont couplés par un même contrôle (un champ electromagnétique), le but étant alors d'amener la magnétisation des particules du premier type à zéro tout en maximisant celle du second (dans un système de coordonnées bien choisi). Ce modèle intervient en imagerie médicale par Résonance Magnétique Nucléaire et consiste à maximiser le contraste entre deux régions d'une même image. L'utilisation des outils géométriques et numériques aura permis de donner une très bonne synthèse sous-optimale pour deux cas particuliers (mélange sang oxygéné/désoxygéné et liquide cérébrospinal/eau). La dernière contribution de cette thèse porte sur l'étude d'un système quantique à deux niveaux d'énergie dont la dynamique est régie par les équations de Lindblad. Le modèle est basé sur la minimisation d'énergie du transfert. On se restreint à un cas particulier pour lequel le Hamiltonien donné par le PMP est Liouville intégrable. On décrit alors les lieux conjugué et de coupure pour ce problème riemannien avec dérive.

Cette thèse s'intéresse au problème de préparation et de stabilisation de systèmes quantiques. Nous considérons des modèles correspondant à des expériences actuelles en électrodynamique quantique en cavité, circuits Josephson, et de contrôle quantique cohérent par laser femtoseconde. Nous posons les problèmes dans le contexte de la théorie du contrôle et nous proposons des lois de commande qui préparent ou stabilisent des états cibles. En particulier, nous nous intéressons à des états cibles qui n'ont pas d'analogue classique: des états superpositions et intriqués. De plus, nous proposons une commande pour la stabilisation d'un sous-espace de l'espace des états, contribuant ainsi au domaine de la correction d'erreur quantique. Ces résultats ont été obtenu en étroite collaboration avec des expérimentateurs. Des mesures expérimentales préliminaires sont en bon accord avec certaines prédictions théoriques de cette thèse. / This thesis tackles the problem of preparing and stabilizing highly non classical states of quantum systems. We consider specific models based on current experiments in cavity quantum electrodynamics, Josephson circuits and ultra-fast coherent quantum control. The problem is posed in the framework of control theory where we search for a control law which prepares or stabilizes a desired target state.Of particular interest to us are target states with no classical analog: superposition and entangled states. More generally, we propose a scheme for the stabilization of a manifold of quantum states, thus introducing some new ideas for autonomous quantum error correction in a cavity. Close collaborations with experimentalists helped us in the design of control protocols which are readily employable in the laboratory. Experimental demonstrations are currently being implemented and preliminary measurements are in good agreement with the theory introduced in this thesis.