Nous présentons des travaux autour de trois axes : 1- Phénomène de focalisation en un point en optique géométrique non linéaire. Les équations considérées sont principalement des équations d'ondes et de Schrödinger non linéaires. 2- Rôle des oscillations quadratiques dans les équations de Schrödinger non linéaires. 3- Equations de Schrödinger non linéaire en présence d'un potentiel extérieur.

Cette thèse comporte deux parties sur les estimations dispersives pour l'équation de Schrödinger et celle des ondes. Si des résultats assez précis sont connus en dimension 1, 2 et 3, les meilleurs résultats en dimension supérieure ou égale à 4 sont connus depuis plus de dix ans et sont ceux de Beals pour l'équation des ondes et de Journé, Soffer et Sogge pour l'équation de Schrödinger. G.Vodev a traité le cas des hautes fréquences dans deux articles. Cette thèse complète l'étude en traitant le cas des basses fréquences, ce qui permet d'améliorer les résultats existants tout en apportant une nouvelle méthode de traitement. <br />Ces méthodes basées sur une étude approfondie des propriétés de la résolvante libre permettent aussi l'étude de la dimension 3, ce qui apporte des résultats nouveaux concernant l'équation des ondes. Elles permettent aussi de traiter le cas des hautes fréquences en dimension 2 pour les deux équations.<br /><br />Dans la première partie, pour l'équation des ondes, je prouve des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 3 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue pour n supérieur ou égal à 4 les potentiels à décroissance à l'infini V(x)=O(^{-(n+1)/2-\epsilon}). En dimension n=2, je prouve des estimations dispersives à hautes fréquences pour une large classe de potentiels à valeurs réelles.<br /><br />Pour l'équation de Schrödinger, je prouve de manière similaire des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 4 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue les potentiels décroissant à l'infini vérifiant V(x)=O(^{-(n+2)/2-\epsilon}). J'améliore aussi les résultats de Journé, Soffer et Sogge dans le cas où le potentiel vérifie des hypothèses de régularité. En dimension n=2, je prouve, en m'appuyant sur les estimations prouvées lors de l'étude de l'équation des ondes, des estimations dispersives à hautes fréquences toujours pour une classe de potentiels à valeurs réelles.

Cette thèse est concernée par le contrôle frontière de l’équation d’onde unidimensionnelle, qui peut être utilisée pour modéliser une corde (comme une corde de guitare). L’objectif est d’agir à une frontière pour contrôler et stabiliser l’autre frontière qui est considérée comme une condition aux frontières avec une dynamique instable. Cette thèse suggère des réponses aux deux questions suivantes: Considérons que la condition à la frontière de dynamique instable a des paramètres inconnus. Une loi de contrôle adaptatif non linéaire est-elle toujours efficace, si l’amortissement visqueux pris égal à zéro pour sa conception n’est plus négligé? Comment peut-on prendre en compte l’amortissement dans le domaine afin de stabiliser l’équation d’onde soumise à des conditions aux frontières dynamiques? Cette thèse suggère une méthode pour effectuer une analyse de Lyapunov afin de prouver la robustesse, vis à vis d’une erreur de modèle, d’une loi de contrôle adaptatif non linéaire particulière comme réponse à la première question. Puis, en utilisant une technique de backstepping à dimension infinie, nous développons une loi de contrôle par rétroaction qui stabilise exponentiellement l’équation d’onde considérée. / This thesis is concerned by the boundary control of the one dimensional wave equation, which can be used to model a string (like a guitar string). The objective is to act at one boundary to control and stabilize the otherboundary which is considered to be an unstable dynamic boundary condition. This thesis suggests answers to both following questions:Consider that the unstable dynamics boundary condition has some unknown parameters. Is a nonlinear adaptive control law still performing efficiently, if the viscous damping taken equal to zero for its design is no longer neglected?How can we take into account the in-domain damping in order to stabilize the wave equation subject to dynamic boundary conditions?This thesis suggests a method to derive a Lyapunov analysis in order to prove the robustness mismatch ofparticular nonlinear adaptive control law as the answer of the first question. Then using infinite dimensionalbackstepping technique we develop feedback control law that exponentially stabilize the considered wave equation.

Les travaux présentés dans cette thèse concernent des résultats d'homogénéisation et de correcteur pour des problèmes hyperboliques dans des milieux hétérogènes avec des conditions aux bords mixtes. Les problèmes de ce type modélisent la propagation des ondes dans des milieux hétérogènes. Dans le premier chapitre on rappelle une partie de l'ensemble des outils permettant l'étude asymptotique de problèmes posés dans un milieu hétérogène. Le second chapitre est consacré à l'étude de l'équation des ondes dans un domaine perforé de façon non périodique. Pour cela, on effectue une hypothèse de H^0-convergence sur la partie elliptique de l'opérateur. Cette notion introduite par M. Briane, A. Damlamian et P. Donato généralise la notion de H-convergence introduite quelques années auparavant par F. Murat et L. Tartar pour des domaines perforés. On démontre deux résultats principaux, un résultat d'homogénéisation et un second de correcteur qui permet d'améliorer la convergence de la solution du problème sous des hypothèses légèrement plus fortes. Pour cela on reprend le correcteur de G. Cardone, P. Donato et A. Gaudiello et on explicite quelques unes de ces propriétés. Dans le troisième chapitre, on considère une équation des ondes non-linéaire posée dans un domaine périodiquement perforé dont la non-linéarité porte sur la dérivée en temps de la solution. On suppose que la non-linéarité est majorée par une fonction polynomiale monotone dont l'exposant permet d'avoir une injection de Sobolev convenable. On étudie d'abord l'existence et l'unicité de la solution de ce problème à l'aide d'une méthode de Galerkin, puis on montre un résultat d'homogénéisation de ce problème. Dans le quatrième chapitre, on étudie le problème de l'équation des ondes dans un domaine non perforé. Dans un premier temps, on retrouve le résultat classique d'homogénéisation en utilisant la méthode de l'éclatement périodique introduite par D. Cioranescu, A. Damlamian et G. Griso. Ensuite, sous des hypothèses un peu plus fortes des données initiales on montre un résultat de correcteur faisant intervenir l'opérateur de moyennisation qui est l'adjoint de l'opérateur d'éclatement.

Dans cette thèse, nous considérons la solution numérique, dans des domaines bornés bidimensionnels et tridimensionnels, d'un problème inverse pour la localisation d'imperfections de petits volumes contenues dans un domaine sain de conductivité différente que celle des inhomogénéités. L'identification de ces inhomogénéités repose sur une approche dynamique basée sur l'équation des ondes. Notre algorithme numérique s'appuie sur le couplage d'une solution élément fini de l'équation des ondes, d'une méthode de contrôlabilité exacte et d'une inversion de Fourier pour localiser les centres des imperfections. Une application pratique de cette technique pourrait être la localisation de mines anti-personnel ou de tumeurs. Des résultats numériques, en deux et trois dimensions, montrent la robustesse et la précision de l'approche pour retrouver des imperfections, placées aléatoirement, à partir de mesures sur la frontière complète ou sur une partie de la frontière.

Nous montrons que, sur le tore Ts muni d'une métrique à coefficients strictement positifs et pour certaines valeurs de ces coefficients, il existe une solution de l'équation des ondes qui soit de classe Cs/2 et non presque-périodique en temps.

La formule de trace est un outil privilégié pour l'étude du problème spectral inverse puisqu'elle établit, sur une variété riemannienne compacte, une relation entre le spectre du laplacien et les longueurs des géodésiques périodiques. Cette thèse étend ce type de formule dans deux situations présentant des singularités ponctuelles. Dans ces deux cas, on commence par étudier l'équation des ondes et par établir la propagation des singularités associée. Sur une variété $M$ de dimension $3$, on place un potentiel Dirac en un point $p$. Cela revient à considérer une extension autoadjointe du laplacien, défini sur ${\cal C}^\infty( M\backslash \{p\} )$, différente du laplacien riemannien de $M.$ Le propagateur de l'équation des ondes associée est construit en faisant apparaître des diffractions successives au point $p$, ce qui donne alors la propagation des singularités. La formule de trace en découle~; on montre notamment que les courbes obtenues en suivant successivement un ou plusieurs lacets géodésiques joignant $p$ à $p$ donnent une contribution dont on calcule la partie principale. Sur une surface euclidienne à singularités coniques, il faut commencer par étendre la notion de géodésique en admettant le passage par les points coniques. Au voisinage d'une géodésique $g$, la géométrie locale de l'ensemble des géodésiques (éventuellement) diffractives dépend d'un nombre (appelé {\it complexité classique\/}) que l'on relie à la suite des angles de diffractions le long de $g.$ On montre alors que la propagation des singularités se fait en suivant ces géodésiques généralisées. La trace fait alors apparaître la contribution de géodésiques périodiques diffractives dont on calcule la partie principale sous certaines hypothèses.

Mes travaux de thèse portent sur le développement de schémas numériques d'ordre élevé en temps et en espace pour la simulation de la propagation des ondes. Nous avons proposé de discrétiser dans un premier temps l'équation des ondes par rapport au temps, en utilisant une technique de type équation modifiée. Puis nous avons utilisé une méthode d'éléments finis de type Galerkine discontinue pour la discrétisation en espace. En modifiant l'ordre de la discrétisation, nous avons construit des schémas tout aussi précis que ceux déjà existants pour un coût de mise en oeuvre très intéressant. Après avoir validé numériquement la nouvelle méthode, nous nous sommes intéressés à sa stabilité ainsi qu'à son adaptivité en temps et en espace. Pour arriver à cela, nous avons dû faire une étude précise de la stabilité de la méthode de Galerkine discontinue et nous avons proposé des améliorations à cette technique entraînant des gains de temps significatifs.

L'étude présentée dans ce travail de thèse aborde deux aspects du problème de Cauchy caractéristique en relativité générale. D'une part, une formule intégrale pour le problème de Cauchy caractéristique pour l'équation de Dirac est établie, généralisant les travaux de Penrose en espace-temps courbe. Ayant adapté le cadre fonctionnel pour obtenir une théorie des distributions adaptée à la structure algébriques des spineurs, le formalisme Geroch-Held-Penrose est utilisé pour décrire de la manière la plus précise possible la formule intégrale. La formule de Penrose en spin arbitraire sur l'espace-temps de Minkowski est retrouvée. D'autre part, une théorie de scattering conforme pour une équation des ondes non linéaire conformément invariante sur un espace asymptotiquement simple est construite. En effectuant un rééchelonnement conforme, l'espace-temps est complété en lui ajoutant une frontière constituée de deux hypersurfaces caractéristiques représentant respectivement les extrémités passées et futures des géodésiques de type lumière. Le comportement asymptotique des champs s'obtient alors en considérant les traces des solutions de l'équation conforme sur ces bords. L'inversibilité des opérateurs de trace s'obtient alors en résolvant un problème de Cauchy caractéristique sur ce bord et l'opérateur de scattering conforme par composition de ces opérateurs de trace.

Nous présentons une méthode de retournement temporel avec conditions aux limites absorbantes (TRAC). Cette méthode permet de " recréer le passé " sans connaissance de la source qui a émis les signaux rétro-propagés. Nous proposons deux applications aux problèmes inverses : la réduction de la taille du domaine de calcul en redéfinissant une surface de référence virtuelle sur laquelle les récepteurs semblent positionnés, et la détermination de la localisation d'une inclusion inconnue à partir de mesures au bord. La méthode TRAC ne nécessite aucune connaissance a priori des propriétés physiques de l'inclusion. Des tests numériques effectués sur l'équation des ondes illustrent l'efficacité de cette méthode, qui se révèle être très robuste vis-à-vis du bruit sur les données. En particulier, nous appliquons la méthode TRAC à la discrimination entre une unique inclusion et deux inclusions proches.