Dans cette thèse, nous nous intéressons à la discrétisation par des schémas aux différences finies de problèmes faiblement bien posés. Nous donnons de nouvelles définitions qui prennent en compte la perte de régularité apparaissant dans les problèmes faiblement bien posés et nous étendons la condition nécessaire et suffisante de convergence de Lax-Richtmyer. En utilisant la théorie des perturbations et le développement en série de Puiseux, nous calculons le taux de convergence des schémas faisant partie d'une certaine classe. Nous illustrons numériquement nos résultats. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à un cas particulier de problèmes faiblement bien posés: les couches parfaitement adaptées de Bérenger ou PML. Nous donnons des estimations d'énergie pour les équations de Maxwell que nous étendons au schéma de Yee. Enfin, nous étudions le comportement asymptotique en temps de la solution d'une équation PML en utilisant l'approximation de l'optique géométrique.

Le travail de cette thèse se place dans un contexte de modélisation et de simulation numérique du transport d'électrons dans un nano-composant. Ce transport est décrit en mécanique quantique à l'aide de systèmes de Schrödinger-Poisson. La majeure partie du travail se concentre sur le cas de la diode à effet tunnel résonnant (RTD) dont les puits quantiques donnent lieu à des résonances de l'Hamiltonien mis en jeu.<br />Dans une première partie, nous proposons des méthodes numériques pour la simulation de RTD. Pour résoudre le problème de Shrödinger-Poisson -- en une variable d'espace et en domaine non borné -- qui correspond, nous proposons une méthode de référence valide pour un maillage fin en fréquence autour des résonances. Le travail est motivé par l'écriture d'un algorithme permettant de retrouver les résultats de la méthode de référence en s'affranchissant de la contrainte de raffinement en fréquence qui rend les temps de calcul excessifs. Nous proposons une méthode consistant en la décomposition des fonctions d'onde en une partie non résonnante et une partie résonnante, la dernière nécessitant un calcul précis du mode résonnant et de la valeur de la résonance. En régime stationnaire, la totalité de l'information résonnante est captée sans avoir à raffiner le maillage en fréquence. La principale nouveauté a été d'adapter cette méthode en régime instationnaire.<br />Dans une deuxième partie, nous comparons notre algorithme de référence à l'algorithme de Bonnaillie-Noël, Nier et Patel basé sur un modèle réduit obtenu en réalisant la limite semi-classique h tend vers 0 et intéressant par son temps de calcul. En régime stationnaire, la comparaison a permis de vérifier l'existence de certaines branches de la courbe courant/tension de la RTD prévues par le modèle réduit. Dans le cas de deux puits, nous avons utilisé notre algorithme instationnaire dans une région de la différence de potentiel où un croisement des énergies résonnantes associées à chaque puits se produit donnant une évidence numérique de l'occurrence de phénomènes de battement de la charge d'un puits à l'autre.<br />En vue d'obtenir des modèles réduits similaires à celui étudié dans la deuxième partie, on réalise, dans une troisième partie, l'étude asymptotique d'un système de Schrödinger-Poisson stationnaire considéré sur un domaine borné inclus dans R^d, d<=3, avec un potentiel extérieur décrivant un puits quantique. L'Hamiltonien du système est composé de contributions -- le puits du potentiel extérieur plus un terme non linéaire répulsif -- qui s'étendent sur des échelles de longueurs différentes dont le rapport est donné en fonction du paramètre semi-classique h destiné à tendre vers 0. Avec une fonction de distribution en énergie qui force les particules à rester dans le puits quantique, la limite h tend vers 0 dans le système non linéaire conduit à différents comportements asymptotiques dont l'analyse nécessite une renormalisation spectrale et dépendant de la dimension d'espace d=1, 2 ou 3.

Ce mémoire de thèse est consacré à l’interprétation et la résolution de différents types de systèmes différentiels, fini ou infini-dimensionnels, dirigés par un processus höldérien. La stratégie mise en œuvre consiste en une adaptation de la théorie des trajectoires rugueuses pour les équations différentielles ordinaires. Sont plus particulièrement considérés le cas de l’équation de Volterra et le cas de l’équation de la chaleur. Le mémoire fait en outre apparaître une réflexion systématique sur les retombées de cette approche en termes d’interprétation de systèmes stochastiques, avec une attention particulière portée au cas du mouvement Brownien fractionnaire. Il propose enfin une analyse détaillée de plusieurs schémas d’approximation numérique des solutions. / This PhD thesis work is devoted to the study of some finite and infinite-dimensional differential systems driven by Hölder processes. The general strategy consists in adapting the rough paths methods, originally designed to handle standard systems only. More specifically, we consider the case of the Volterra systems, as well as the case of heat equations. This work also focuses on the spin-offs of the rough paths approach as far as stochastic systems are concerned, with a special attention to the fractional Brownian motion. Finally, a detailed analysis of several approximation schemes for the solutions is provided

La thèse contient 6 chapitres. Le premier chapitre contient une introduction à la régression linéaire et aux problèmes Lasso et Lasso bayésien. Le chapitre 2 rappelle les algorithmes d’optimisation convexe et présente l’algorithme FISTA pour calculer l’estimateur Lasso. La statistique de la convergence de cet algorithme est aussi donnée dans ce chapitre en utilisant l’entropie et l’estimateur de Pitman-Yor. Le chapitre 3 est consacré à la comparaison des méthodes quasi-Monte Carlo et Monte Carlo dans les calculs numériques du Lasso bayésien. Il sort de cette comparaison que les points de Hammersely donne les meilleurs résultats. Le chapitre 4 donne une interprétation géométrique de la fonction de partition du Lasso bayésien et l’exprime en fonction de la fonction Gamma incomplète. Ceci nous a permis de donner un critère de convergence pour l’algorithme de Metropolis Hastings. Le chapitre 5 présente l’estimateur bayésien comme la loi limite d’une équation différentielle stochastique multivariée. Ceci nous a permis de calculer le Lasso bayésien en utilisant les schémas numériques semi implicite et explicite d’Euler et les méthodes de Monte Carlo, Monte Carlo à plusieurs couches (MLMC) et l’algorithme de Metropolis Hastings. La comparaison des coûts de calcul montre que le couple (schéma semi-implicite d’Euler, MLMC) gagne contre les autres couples (schéma, méthode). Finalement dans le chapitre 6 nous avons trouvé la vitesse de convergence du Lasso bayésien vers le Lasso lorsque le rapport signal/bruit est constant et le bruit tend vers 0. Ceci nous a permis de donner de nouveaux critères pour la convergence de l’algorithme de Metropolis Hastings. / The thesis contains 6 chapters. The first chapter contains an introduction to linear regression, the Lasso and the Bayesian Lasso problems. Chapter 2 recalls the convex optimization algorithms and presents the Fista algorithm for calculating the Lasso estimator. The properties of the convergence of this algorithm is also given in this chapter using the entropy estimator and Pitman-Yor estimator. Chapter 3 is devoted to comparison of Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods in numerical calculations of Bayesian Lasso. It comes out of this comparison that the Hammersely points give the best results. Chapter 4 gives a geometric interpretation of the partition function of the Bayesian lasso expressed as a function of the incomplete Gamma function. This allowed us to give a convergence criterion for the Metropolis Hastings algorithm. Chapter 5 presents the Bayesian estimator as the law limit a multivariate stochastic differential equation. This allowed us to calculate the Bayesian Lasso using numerical schemes semi-implicit and explicit Euler and methods of Monte Carlo, Monte Carlo multilevel (MLMC) and Metropolis Hastings algorithm. Comparing the calculation costs shows the couple (semi-implicit Euler scheme, MLMC) wins against the other couples (scheme method). Finally in chapter 6 we found the Lasso convergence rate of the Bayesian Lasso when the signal / noise ratio is constant and when the noise tends to 0. This allowed us to provide a new criteria for the convergence of the Metropolis algorithm Hastings.

La reconstruction de surface, à partir de données échantillonnées, est un thème de recherche important et très actif depuis quelques années. L'enjeu est de pouvoir générer toute sorte de géométries et de topologies. Le but de ce travail est de trouver une surface régulière Gamma (typiquement de classe C2), passant au plus près de tous les points d'un échantillon V donné, c'est-à-dire telle que la distance euclidienne d(x, Gamma) soit minimale pour tout x dans V. Pour cela, on formule le problème à l'aide d'une équation aux dérivées partielles qui va caractériser l'évolution d'une surface Gamma(t). Cette EDP est composée d'un terme d'attraction, qui permet à Gamma(t) d'avancer jusqu'à V, et d'un terme de tension de surface, dont le rôle est de préserver la régularité de Gamma(t) au cours du temps. On montre d'abord que le problème est bien posé, c'est-à-dire que sa solution existe et qu'elle est unique. Cette EDP est ensuite résolue numériquement à l'aide de la méthode des lignes de niveau, et grâce à des schémas numériques spécifiques (avec approximation des dérivées d'ordre un et deux en espace en chaque noeud du maillage), sur des triangulations adaptées et anisotropes (pour améliorer la précision du résultat). D'un point de vue analyse, on montre que ces schémas sont consistants et stables en norme L2. Des exemples d'applications sont présentés pour illustrer l'efficacité de notre approche.

Améliorer la connaissance des circulations dans les océans est d'une importance majeure pour la prévision à court et moyen terme de l'évolution du système climatique, ainsi que pour le développement de l'océanographie cotière et de l'océanographie opérationnelle. Les sources d'information disponibles pour accéder à cette connaissance sont, comme en météorologie, les modèles physiques et numériques et les observations. Dans ce contexte, ce mémoire résume l'essentiel de mes travaux de recherche de ces dernieres années, consacrés à la modélisation numérique et l'assimilation de données pour l'océanographie. J'y présente tout d'abord quelques aspects concernant les schémas utilisés dans les modèles numériques. On s'intéresse ensuite au raffinement, éventuellement adaptatif de maillage dans ces modèles, et à son extension naturelle vers le couplage de modèles. Enfin, la dernière partie est consacrée aux méthodes d'assimilation de données, qui visent à fournir un compromis optimal entre observations et prévisions du modèle, et plus particulièrement au développement de méthodes de rang réduit.

Mes travaux de thèse portent sur le développement de schémas numériques d'ordre élevé en temps et en espace pour la simulation de la propagation des ondes. Nous avons proposé de discrétiser dans un premier temps l'équation des ondes par rapport au temps, en utilisant une technique de type équation modifiée. Puis nous avons utilisé une méthode d'éléments finis de type Galerkine discontinue pour la discrétisation en espace. En modifiant l'ordre de la discrétisation, nous avons construit des schémas tout aussi précis que ceux déjà existants pour un coût de mise en oeuvre très intéressant. Après avoir validé numériquement la nouvelle méthode, nous nous sommes intéressés à sa stabilité ainsi qu'à son adaptivité en temps et en espace. Pour arriver à cela, nous avons dû faire une étude précise de la stabilité de la méthode de Galerkine discontinue et nous avons proposé des améliorations à cette technique entraînant des gains de temps significatifs.

Ce mémoire présente une partie de mon activité de recherche postérieure à la thèse, soutenue en 2000. Plus particulièrement, je décris ici les résultats obtenus à partir de 2004, en tant que Maître de Conférences à l'Institut des Sciences de l'Ingénieur de Toulon et du Var et membre de l'actuel Institut de mathématiques de Toulon et du Var.

Nous nous intéressons dans ce mémoire à des méthodes de parallélisation par découplage du système dynamique. Plusieurs applications numériques de nos jours conduisent à des systèmes dynamiques de grande taille et nécessitent des méthodes de parallélisation en conséquence pour pouvoir être résolues sur les machines de calcul à plusieurs processeurs. Notre but est de trouver une méthode numérique à la fois consistante et stable pour réduire le temps de la résolution numérique. La première approche consiste à découpler le système dynamique en sous-systèmes contenant des sous-ensembles de variables indépendants et à remplacer les termes de couplage par l'extrapolation polynomiale. Une telle méthode a été introduite sous le nom de schéma C (p, q, j), nous améliorons ce schéma en introduisant la possibilité à utiliser des pas de temps adaptatifs. Cependant, notre étude montre que cette méthode de découplage ne peut satisfaire les propriétés numériques que sous des conditions très strictes et ne peut donc pas s'appliquer aux problèmes raides présentant des couplages forts entre les sous-systèmes. Afin de pouvoir répondre à cette problématique de découplage des systèmes fortement couplés, on introduit le deuxième axe de recherche, dont l'outil principal est la réduction d'ordre du modèle. L'idée est de remplacer le couplage entre les sous-ensembles de variables du système par leurs représentations sous forme réduite. Ces sous-systèmes peuvent être distribués sur une architecture de calcul parallèle. Notre analyse du schéma de découplage résultant nous conduit à définir un critère mathématique pour la mise à jour des bases réduites entre les sous-systèmes. La méthode de réduction d'ordre du modèle utilisée est fondée sur la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). Cependant, ne disposant pas à priori des données requises pour la construction de la base réduite, nous proposons alors un algorithme de construction incrémentale de la base réduite permettant de représenter le maximum des dynamiques des solutions présentes dans l'intervalle de simulation. Nous avons appliqué la méthode proposée sur les différents systèmes dynamiques tels que l'exemple provenant d'une EDP et celui provenant de l'équation de Navier Stokes. La méthode proposée montre l'avantage de l'utilisation de l'algorithme de découplage basé sur la réduction d'ordre. Les solutions numériques sont obtenues avec une bonne précision comparées à celle obtenue par une méthode de résolution classique tout en restant très performante selon le nombre de sous-systèmes définis.

Nous nous intéressons dans ce mémoire à des méthodes de parallélisation par découplage du système dynamique. Plusieurs applications numériques de nos jours conduisent à des systèmes dynamiques de grande taille et nécessitent des méthodes de parallélisation en conséquence pour pouvoir être résolues sur les machines de calcul à plusieurs processeurs. Notre but est de trouver une méthode numérique à la fois consistante et stable pour réduire le temps de la résolution numérique. La première approche consiste à découpler le système dynamique en sous-systèmes contenant des sous-ensembles de variables indépendants et à remplacer les termes de couplage par l’extrapolation polynomiale. Une telle méthode a été introduite sous le nom de schéma C (p, q, j), nous améliorons ce schéma en introduisant la possibilité à utiliser des pas de temps adaptatifs. Cependant, notre étude montre que cette méthode de découplage ne peut satisfaire les propriétés numériques que sous des conditions très strictes et ne peut donc pas s’appliquer aux problèmes raides présentant des couplages forts entre les sous-systèmes. Afin de pouvoir répondre à cette problématique de découplage des systèmes fortement couplés, on introduit le deuxième axe de recherche, dont l’outil principal est la réduction d’ordre du modèle. L’idée est de remplacer le couplage entre les sous-ensembles de variables du système par leurs représentations sous forme réduite. Ces sous-systèmes peuvent être distribués sur une architecture de calcul parallèle. Notre analyse du schéma de découplage résultant nous conduit à définir un critère mathématique pour la mise à jour des bases réduites entre les sous-systèmes. La méthode de réduction d’ordre du modèle utilisée est fondée sur la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). Cependant, ne disposant pas à priori des données requises pour la construction de la base réduite, nous proposons alors un algorithme de construction incrémentale de la base réduite permettant de représenter le maximum des dynamiques des solutions présentes dans l’intervalle de simulation. Nous avons appliqué la méthode proposée sur les différents systèmes dynamiques tels que l’exemple provenant d’une EDP et celui provenant de l’équation de Navier Stokes. La méthode proposée montre l’avantage de l’utilisation de l’algorithme de découplage basé sur la réduction d’ordre. Les solutions numériques sont obtenues avec une bonne précision comparées à celle obtenue par une méthode de résolution classique tout en restant très performante selon le nombre de sous-systèmes définis. / In this thesis, we are interested in parallelization algorithm for solving dynamical systems. Many industrial applications nowadays lead to large systems of huge number of variables. A such dynamical system requires parallel method in order to be solved on parallel computers. Our goal is to find a robust numerical method satisfying stability and consistency properties and suitable to be implemented in parallel machines. The first method developed in this thesis consists in decoupling dynamical system into independent subsystems and using polynomial extrapolation for coupled terms between subsystems. Such a method is called C(p; q; j).We have extended this numerical scheme to adaptive time steps. However, this method admits poor numerical properties and therefore cannot be applied in solving stiff systems with strong coupling terms.When dealing with systems whose variables are strongly coupled, contrary to the technique of using extrapolation for coupled terms, one may suggest to use reduced order models to replace those terms and solve separately each independent subsystems. Thus, we introduced the second approach consisting in using order reduction technique in decoupling dynamical systems. The order reduction method uses the Proper Orthogonal Decomposition. Therefore, when constructing reduced order models, we do not have all the solutions required for the POD basis, then we developed a technique of updating the POD during the simulation process. This method is applied successfully to solve different examples of dynamical systems : one example of stiff ODE provided from PDE and the other was the ODE system provided from the Nervier-Stokes equations. As a result, we have proposed a robust method of decoupling dynamical system based on reduced order technique. We have obtained good approximations to the reference solution with appropriated precision. Moreover, we obtained a great performance when solving the problem on parallel computers.