Ce mémoire de thèse est consacré à l’interprétation et la résolution de différents types de systèmes différentiels, fini ou infini-dimensionnels, dirigés par un processus höldérien. La stratégie mise en œuvre consiste en une adaptation de la théorie des trajectoires rugueuses pour les équations différentielles ordinaires. Sont plus particulièrement considérés le cas de l’équation de Volterra et le cas de l’équation de la chaleur. Le mémoire fait en outre apparaître une réflexion systématique sur les retombées de cette approche en termes d’interprétation de systèmes stochastiques, avec une attention particulière portée au cas du mouvement Brownien fractionnaire. Il propose enfin une analyse détaillée de plusieurs schémas d’approximation numérique des solutions. / This PhD thesis work is devoted to the study of some finite and infinite-dimensional differential systems driven by Hölder processes. The general strategy consists in adapting the rough paths methods, originally designed to handle standard systems only. More specifically, we consider the case of the Volterra systems, as well as the case of heat equations. This work also focuses on the spin-offs of the rough paths approach as far as stochastic systems are concerned, with a special attention to the fractional Brownian motion. Finally, a detailed analysis of several approximation schemes for the solutions is provided

Cette thèse traite du comportement des solutions u de l'équation de Burgers généralisée sur le cercle: u_t+f'(u)u_x=\nu u_{xx}+\eta,\ x \in S^1=\R/\Z. Ici, f est lisse, fortement convexe et satisfait certaines conditions de croissance. La constante 0<\nu << 1 correspond à un coefficient de viscosité. Nous considérons le cas où \eta=0, ainsi que le cas où \eta est une force aléatoire, lisse en x et peu régulière (de type "kick" ou bruit blanc) en t. Nous obtenons des estimations sur les normes de Sobolev de u moyennées en temps et en probabilité de la forme C \nu^{-\delta}, \delta >= 0, avec les mêmes valeurs de \delta pour les bornes supérieures et inférieures. On en déduit des estimations précises pour les quantités à petite échelle caractérisant la turbulence qui confirment exactement les prédictions physiques. Nous nous intéressons également au comportement asymptotique des solutions. Nous obtenons un résultat d'hyperbolicité des minimiseurs pour l'action correspondant à l'équation de Hamilton-Jacobi stochastique, dont la dérivée en espace est l'équation de Burgers stochastique avec \nu=0.

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'étude qualitative des solutions d'équations aux dérivées partielles hamiltoniennes par le biais de la théorie des mesures invariantes. L'existence d'une telle mesure pour une EDP fournit, en effet, des informations sur sa dynamique en temps long. Nous étudierons deux situations quelque peu "extrémales". Dans une première partie, nous nous intéressons aux équations ayant une infinité de lois de conservation et dans une seconde, aux équations dont on ne connaît qu'une seule loi de conservation non triviale.Nous étudions les premières équations par le biais de l'équation de Benjamin-Ono. Il s'agit d'un modèle de description des ondes internes dans un fluide de grande profondeur.Nous nous intéressons à la dynamique de cette équation sur l'espace C^infty(T) en lui construisant une mesure invariante sur cet espace. Par conséquent, une propriété de récurrence presque sûre (par rapport à cette mesure) est établie pour les solutions infiniment lisses de cette équation. Nous prouvons, ensuite, des propriétés de non-dégénérescence pour cette mesure. En effet, nous montrons que, via cette mesure, une infinité de fonctionnelles indépendantes ont des distributions absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. Enfin, nous montrons que cette mesure est de nature au moins $2$-dimensionnelle. Dans ce travail, nous avons utilisé l'approche Fluctuation-Dissipation-Limite (FDL) introduite par Kuksin-Shirikyan. Notons qu'une propriété de récurrence presque sûre a été établie pour les solutions de régularité Sobolev de l'équation de Benjamin-Ono, dans les travaux de Deng, Tzvetkov et Visciglia.Dans l'autre partie de la thèse, nous abordons l'équation de Klein-Gordon à non-linéarité cubique, c'est un exemple d'EDPs hamiltoniennes pour lesquelles il n'est connu qu'une seule loi de conservation non triviale. Cette équation modélise l'évolution d'une particule massive relativiste. Ici, nous considérons les cas où l'équation est posée sur le tore tri-dimensionnel ou sur un domaine borné de R^3 à bord assez régulier. Nous lui construisons une mesure invariante concentrée sur l'espace de Sobolev H^2, en utilisant toujours l'approche FDL. Un autre aspect de ce travail est d'étendre le cadre de cette approche au contexte des EDPs à une seule loi de conservation, en effet, dans les travaux antérieurs, l'approche FDL avait nécessité deux lois de conservation pour fonctionner. Puis nous établissons une propriété de non-dégénérescence pour la mesure construite. Par conséquent, une propriété de récurrence presque sûre, par rapport à la mesure construite, est prouvée. Notons que des travaux antérieurs dus à Burq-Tzvetkov, de Suzzoni, Bourgain-Bulut et Xu ont traité la question de mesure de Gibbs invariante pour des équations des ondes dans un contexte radial. / In this thesis, we are concerned with the qualitative study of solutions of Hamiltonian partial differential equations by the way of the invariant measures theory. Indeed, existence of such a measure provides some informations concerning the large time dynamics of the PDE in question. In this thesis we treat two "extremal" situations. In the first part, we consider equations with infinitely many conservation laws, and in the second, we study equations for which we know only one non-trivial conservation law.We study the first equations by considering the Benjamin-Ono equation. The latter is a model describing internal waves in a fluide of great depth.We are concerned with the dynamics of that equation on the space C^infty(T) by constructing for it an invariant measure on that space. Accordingly, an almost sure (w.r.t. this measure) recurrence property is established for infinitely smooth solutions of that equation. Then, we prove qualitative properties for the constructed measure by showing that there are infinitely many independent observables whose distributions via this measure are absolutely continuous w.r.t. the Lebesgue measure on R. Moreover, we establish that the measure is of at least 2-dimensional nature. In this work, we used the Fluctuation-Dissipation-Limit (FDL) approach introduced by Kuksin and Shirikyan. Notice that an almost sure recurrence property for the Benjamin-Ono equation was established on Sobolev spaces by Deng, Tzvetkov and Visciglia.In the second part of the thesis, we consider the cubic Klein-Gordon equation, which is an example of Hamiltonian PDEs for which we know only one conservation law. This equation models the evolution of a massive relativistic particle. Here, we consider both the case of the tri-dimensional periodic solutions and those defined on a bounded domain of R^3. In both settings, we construct an invariant measure concentrated on the Sobolev space H^2xH^1, again with use of the FDL approach. Another aspect of this work is to extend the FDL approach to the context of PDEs having only one conservation law; indeed, in previous works, this approach required two conservation laws. Qualitative properties for the measure and almost sure (w.r.t. this measure) recurrence for H^2-solutions are proven. Notice that previous works by Burq-Tzvetkov, de Suzzoni, Bourgain-Bulut and Xu have treated the invariant Gibbs measure problem in the radial symmetry context for waves equations.

Dans de nombreux problèmes physiques, un modèle incertain peut être traduit par un ensemble d'équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous nous intéressons ici à des problèmes présentant de nombreuses sources d'incertitudes localisées en espace. Dans le cadre des approches fonctionnelles pour la propagation d'incertitudes, ces problèmes présentent deux difficultés majeures. La première est que leurs solutions possèdent un caractère multi-échelle, ce qui nécessite des méthodes de réduction de modèle et des stratégies de calcul adaptées. La deuxième difficulté est associée à la représentation de fonctions de nombreux paramètres pour la prise en compte de nombreuses variabilités. Pour résoudre ces difficultés, nous proposons tout d'abord une méthode de décomposition de domaine multi-échelle qui exploite le caractère localisé des aléas. Un algorithme itératif est proposé, qui requiert une résolution alternée de problèmes globaux et de problèmes locaux, ces derniers étant définis sur des patchs contenant les variabilités localisées. Des méthodes d'approximation de tenseurs sont ensuite utilisées pour la gestion de la grande dimension paramétrique. La séparation multi-échelle améliore le conditionnement des problèmes à résoudre et la convergence des méthodes d'approximation de tenseurs qui est liée aux propriétés spectrales des fonctions à décomposer. Enfin, pour la prise en compte de variabilités géométriques localisées, des méthodes spécifiques basées sur les approches de domaines fictifs sont introduites.

En 2002, Marek Musiela et Thaleia Zariphopoulo ont introduit la notion de {\em forward utility}, c'est à dire une utilité dynamique, progressive, cohérente avec un marché financier donné. On peut voir ce processus comme un champ aléatoire $U(t,x)$ adapté à l'information disponible, qui a chaque instant est une utilité standard (donc en particulier à la date $0$, compatible avec une famille de stratégies données $(X^{\pi})$ au sens où pour tout $t,h>0$, $ \mathbb{E}(U(t+h,X^{\pi}_{t+h})|\mathcal{F}_t)\leq U(t,X^{\pi}_t)$ et il existe un portefeuille optimal $X^*$ pour lequel l'inégalité est une égalité.\\ Les auteurs ont fait plusieurs articles sur ce sujet, montrant en particulier comment les utilités classiques, puissance, exponentielle, etc doivent être modifiées pour être des utilités dynamique progressives. Une attention limitée a été portée à l'univers d'investissement. \noindent Dans mon travail de thèse, je considère un cadre beaucoup plus général. En effet, le marché est incomplet dans le sens où un investisseur est contraint, à chaque date $t\ge 0$, de choisir ces stratégies admissibles dans des cones convexes fermés, adaptés $\K_t (X_t)$ dépendent du niveau de sa richesse $X_t$. Je considère par la suite que les champs aléatoires $U(t,x)$ évoluent selon la dynamique \begin{equation}\label{eq:champ} dU(t,x)=\beta(t,x)+\Gamma(t,x) dW_t,~U(0,.)=u(.) (\text{donnée}) \end{equation} Comme dans l'optimisation classique, (dite rétrograde puisqu'on reconstruit l'information à partir de la fin), %je montre que le terme %$\beta(t,x)$ contient, contient nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique %modifié par la présence de la dérivée de la volatilité %$\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui % satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell % satisfait je me propose d'étudier les équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman que satisfait une utilités progressive $u(t,x)$. Pour mener cette étude, j'utilise une formule d'Itô généralisée apellée la formule de Ventzell-Friedlin, qui permet d'établir la décomposition de type Itô de la composée d'un champ aléatoire avec un processus d'Itô. Je montre alors que le terme $\beta(t,x)$ contient, nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique modifié par la présence de la dérivée de la volatilité $\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell satisfont l' équation différentielle stochastique suivante \begin{equation}\label{EDPSU} dU(t,x)=\Big\{-xU'_{x}\, r_t dt+ \frac{1}{2U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big) \|^2\Big\}(t,x)\,dt\>+\Gamma(t,x)\,dW_t. \end{equation} avec comme portefeuille optimal $X^*$ le processus associé à la stratégie $\pi^*$ donnée par \begin{equation} x\pi^*(t,x)\sigma_t=- \frac{1}{U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big)(t,x) \end{equation} \noindent où $r$ est le taux court, $\eta$ la prime de marché, $\sigma$ la matrice de variance covariance des actifs et $ \prod_{\K_t(x)\sigma_t}$ désigne l'opérateur de projection sur le cône $\K_t(x)\sigma_t$. \\ Ce point de vue permet de vérifier que le champ aléatoire, s'il existe est compatible avec l'univers d'investissement. Cependant, la question de la convexité et de la monotonie est complexe a priori, car il n'existe pas de théorèmes de comparaison pour les équations progressives (qui sont {\em forward}), contrairement au cas des équations rétrogrades. La question de l'interprétation et du rôle de la volatilité s'avère alors être centrale dans cette étude. Contrairement au cadre général que je considère ici, M.Musiela et T.Zariphopoulo, puis C.Rogers et al se sont restreint au cas où la volatilité de l'utilité est identiquement nulle. Le processus progressif $u(t,x)$ est alors une fonction déterministe satisfaisant une EDP non linéaire, que les auteurs ont transformé en solution harmonique espace temps de l'équation de la chaleur. \\ Mon choix a été d'étudire la question de la volatilité par des techniques de changement de numéraire; ainsi, je montre la stabilité de la notion d'utilité progressive par changement de numéraire. L'avantage considérable de cette technique, comparée à la méthode classique, % Comme dans le cas % classique, le problème est compliqué par le fait que l'espace des % contraites n'est pas invariant par changement de numéraire. est le fait qu'elle permet de se ramener toujours à un marché "martingale" ($r=0$ et $\eta=0$), ce qui simplifie considérablement les équations et les calculs. La dérivée de la volatilité apparaît alors comme une prime de risque instantanée que le marché introduit, et qui dépend du niveau de la richesse de l'investisseur. Ce point de vue nouveau permet de répondre à la question de l'interprétation de la volatilité de l'utilité. Dans la suite, j'étudie le problème dual et je montre que la transformée de {\em Fenchel} $\tU$ de la fonction concave $U(t,x)$ est un champ markovien lui aussi satisfaisant la dynamique \begin{eqnarray}\label{EDPSDuale'} d\tilde{U}(t,y)=\left[\frac{1}{2\tU_{yy}''}(\|\tilde{\Gamma}'\|^2-\|\prod_{\K_t(-\tU_y'(t,y))\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\|^2) +y\tU_{y}' r_t\right](t,y)dt +\tilde{\Gamma}(t,y)dW_t,~~\tilde{\Gamma}(t,y)=\Gamma(t,\tU_y'(t,y)). \end{eqnarray} À partir de ce résultat je montre que le problème dual admet une unique solution $Y^*$ dans la volatilté $\nu^*$ est donnée par \begin{equation} y\nu^*(t,y)= -\frac{1}{\tU_{yy}''}\Big(\tilde{\Gamma}'+y\eta_t-\prod_{\K_t(-\tU_y')\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\Big)(t,y). \end{equation} \noindent Ce ci permettra d'établir les identités clé suivantes: \begin{eqnarray} &Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))=U'_x(t,X^*(t,x)) \label{A}\\ &(\Gamma'_x+U'_x\eta)(t,x)=(xU''(t,x)\pi^*(t,x)\sigma_t+\nu^*(U_x'(t,x))\label{B}. \end{eqnarray} % Remarquons que le terme $(\Gamma'_x+U'_x\eta)$ se décompose de manière unique sous forme % de sa projection sur le cone $\K\sigma$, qui est la stratégie optimale, et la projection sur le cone dual $\K^* \sigma$, % qui est la volatilité du processus optimal dual. Mais notre but est deux termes projétés su comme la projection % Á partir de la première identité nous savons que $U'_x(t,X^*(t,x))$ n'est autre que le processus optimal dual %Á ce stade rapellons que le but de cette étude est de carracteriser les utilités progressives. La question par la suite est la suivante: peut-on caractériser l'utilité $U(t,x)$ pour tout $x>0$ à partir de la première identité? Ceci peut paraître trop demander car nous cherchons à caractériser le champ $U$ connaissant seulement son comportement le long de l'unique trajectoire optimale $X^*$. Cependant, la réponse à cette question s'avère être positive et assez simple. En effet, notons par $\Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$, et supposons que le flot stochastique $X^*$ soit inversible, $\X$ désigne son inverse. Alors, en inversant dans (\ref{A}), je déduis que $U_x'(t,x)=\Y(t,\X(t,x))$. En intégrant par rapport à $x$, j'obtiens que $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$, ce qui prouve le théorème suivant: \begin{theo} Sous des hypothèses de régularités et d'inversion du flot $X^*$, les processus $U$ définis par $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ sont des utilités progressives solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). \end{theo} % %\noindent Inversement, je montre le théorème d'EDP stochastique suivant: \begin{theo} Soit $U$ un champ aléatoire solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). En utilisant la décompostion (\ref{B}), si les EDS suivantes \begin{eqnarray*} & dX^*_t(x)=X^*_t(x)(r_tdt+\pi^*(t,X^*_t(x))\sigma_t(dW_t+\eta_tdt)),X^*_0(x)=x ~\\ & dY^*_t(y)=Y^*_t(y)(-r_tdt+\nu^*(t,Y^*_t(y))dW_t),~Y^*_0(y)=y \end{eqnarray*} admettent des solutions fortes unique et monotonnes, alors, en notant par $ \Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$ et par $\X$ le flot inverse de $X$, on obtient que $U(t,x)= \int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$. Si de plus $X^*$ et $Y^*$ sont croissants, $U$ est concave. \end{theo} \noindent %Dans ce travail, je considère toujours un marché incomplet, Dans une seconde partie de ce travail, je me place dans un cadre beaucoup plus général dans le sens où les actifs sont supposés être cadlag locallement bornés, et par conséquent la filtration n'est plus une filtration brownienne. Je remplace les contraintes de type cône convexe par des contraintes plus générales de type ensemble convexe. Le but de cette partie est de caractériser toutes les utilités progressives avec le minimum d'hypothèses, notamment avec moins d'hypothèses de régularités sur les champs aléatoires $U$. Je ne suppose plus que $U$ est deux fois différentiable et par conséquent je ne peut plus appliquer le lemme d'Itô-Ventzell. L'approche est alors différente: je commence par établir des conditions d'optimalité sur le processus de richesses optimale ainsi que le processus optimal dual, et ce en utilisant des méthodes d'analyse. En utilisant ces résultats je démontre, par des éléments d'analyse, la convexité ainsi que les conditions d'optimalités que toutes les utilités progressives générant une richesse croissante est de la forme $\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ avec $\Y$ : $\Y X$ est une surmartingale pour toute richesse $X$ et une martingale si $X=X^*$.