Les processus auto-stabilisants sont définis comme des solutions d'équations différentielles stochastiques dont le terme de dérive contient à la fois le gradient d'un potentiel ainsi qu'un terme non-linéaire au sens de McKean qui attire le processus vers sa propre loi de distribution. On dispose de nombreux résultats lorsque l'environnement est convexe. L'objet de ce travail est de les étendre autant que possible au cas général notamment lorsque le paysage contient plusieurs puits. Des différences fondamentales sont constatées. Le premier chapitre prouve l'existence d'une solution forte. Le second s'intéresse aux lois de probabilités d'une telle solution. En particulier, l'existence et la non-unicité des mesures stationnaires sont mises en évidence sous des hypothèses faibles. Les chapitres trois et quatre sont affectés au comportement de ces mesures lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0. Le chapitre cinq met en relation le processus auto-stabilisant avec des systèmes particulaires via une "propagation du chaos". Il est ainsi possible de transposer certains résultats du système de particules sur le processus non-markovien et réciproquement. Le chapitre six est dédié au dénombrement exact des mesures stationnaires. Le chapitre sept est employé pour l'étude du comportement en temps long. D'une part, un résultat de convergence dans un cas simple est fourni. D'autre part, un principe de grandes déviations est mis en évidence par l'utilisation des résultats de Freidlin et Wentzell.

Dans cette thèse, nous établissons un théorème de rigidité topologique pour une large classe de sous-groupes du groupe de difféomorphismes analytiques réels préservant l'orien- tation du cercle Diff (S1). En effet, les objets principaux étudiés dans cette thèse sont les sous-groupes localement C 2-non-discrets de type fini de Diff (S1). Dans le premier Chapitre, on donne des rappels sur la relation entre la théorie de la mesure et les systèmes dynamiques et on donne aussi des rappels sur les définitions et les propriétés des espaces hyperboliques, des groupes hyperboliques et des leurs bords. Le deuxième Chapitre contient des définitions précises pour la plupart des notions pertinentes pour cette thèse, revisite les résultats concernant la théorie de Shcherbakov- Nakai sous une forme adaptée à nos besoins et fournit une description des dynamiques topologiques associées au sous-groupe localement C 2-non-discret de Diff (S1). Le troisième Chapitre est consacré à la preuve du Théorème A "le théorème de rigidité topologique". Dans la première section de ce chapitre, on démontre le Théorème A dans divers cas particuliers, dont le cas où le groupe a une orbite finie et le cas où le groupe est résoluble mais non-abélien. Il restera alors démontrer le Théorème A dans le cas dit "générique" et cela sera l'objet du restant de ce chapitre. Dans la deuxième section de ce chapitre, nous construisons une suite de difféomorphismes de G1 convergeant vers l'identité dans C 2-topologie sur l'intervalle I C S1. Dans la dernière section de ce chapitre, nous allons démontrer le Théorème A modulo la Proposition 3.3.3. En effet, le Théorème 3.3.1 sera prouvé et ce théorème constitue un énoncé plus forte que celui du Théorème A. L'énoncé principal du quatrième Chapitre est le Théorème 4.2.1. La démonstration du Théorème 4.2.1 est une combinaison des faits standards sur les groupes hyperboliques avec l'éxistence d'une mesure µ sur G1 donnant lieu à une mesure stationnaire absolu- ment continue. Ce théorème entraînera la démonstration du Théorème B. Finalement, l'Annexe contient une réponse partielle dans la catégorie analytique à une question posée dans [De]. L'annexe se termine ensuite par un résumé du rôle joué par l'hypothèse de régularité (C) dans cette thèse. / In this thesis we establish a topological rigidity theorem for a large class of subgroups of the group Diff (S1) consisting of (orientation-preserving) real analytic diffeomorphisms of the circle S1. Indeed, the primary object studied in this thesis are finitely generated, locally C 2-non-discrete subgroups of Diff (S1). In the first Chapter, we briefly recall several basic facts in the relation between measure theory and dynamical systems and recall the definitions and basic properties of hyperbolic spaces, hyperbolic groups and their boundaries. The second Chapter contains accurate definitions for most of the notions relevant for this thesis, revisits results related to Shcherbakov-Nakai theory in a form adapted to our needs and provides a description of the topological dynamics associated with a locally C 2-non-discrete subgroup of Diff (S1). The third Chapter is devoted to proving Theorem A "topological rigidity theorem". In the first section of this chapter, we prove Theorem A in various special cases, including the case where the group has a finite orbit as well as the case in which the group is solvable but non-abelian. It will then prove Theorem A in the case called "generic" and this will be the subject of the remainder of this chapter. In the second section of this chapter, we construct an explicit sequence of diffeomorphisms in G1 converging to the identity in the C 2-topology on the interval I C S1. In the last section of this chapter, we shall prove Theorem A modulo Proposition 3.3.3. In fact, Theorem 3.3.1 will be proved and this theorem provides a statement fairly stronger than what is strictly needed to derive Theorem A. The main statement in the fourth Chapter is Theorem 4.2.1. The proof of The- orem 4.2.1 is combined standard facts about hyperbolic groups with the existence of a measure µ on G1 giving rise to an absolutely continuous stationary measure. This theorem will lead to the proof of Theorem B. In the end, the Appendix contains a partial answer in the analytic category to a question raised in [De]. The appendix then ends with a summary of the role played by the regularity assumption (C) in this thesis.

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'étude qualitative des solutions d'équations aux dérivées partielles hamiltoniennes par le biais de la théorie des mesures invariantes. L'existence d'une telle mesure pour une EDP fournit, en effet, des informations sur sa dynamique en temps long. Nous étudierons deux situations quelque peu "extrémales". Dans une première partie, nous nous intéressons aux équations ayant une infinité de lois de conservation et dans une seconde, aux équations dont on ne connaît qu'une seule loi de conservation non triviale.Nous étudions les premières équations par le biais de l'équation de Benjamin-Ono. Il s'agit d'un modèle de description des ondes internes dans un fluide de grande profondeur.Nous nous intéressons à la dynamique de cette équation sur l'espace C^infty(T) en lui construisant une mesure invariante sur cet espace. Par conséquent, une propriété de récurrence presque sûre (par rapport à cette mesure) est établie pour les solutions infiniment lisses de cette équation. Nous prouvons, ensuite, des propriétés de non-dégénérescence pour cette mesure. En effet, nous montrons que, via cette mesure, une infinité de fonctionnelles indépendantes ont des distributions absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. Enfin, nous montrons que cette mesure est de nature au moins $2$-dimensionnelle. Dans ce travail, nous avons utilisé l'approche Fluctuation-Dissipation-Limite (FDL) introduite par Kuksin-Shirikyan. Notons qu'une propriété de récurrence presque sûre a été établie pour les solutions de régularité Sobolev de l'équation de Benjamin-Ono, dans les travaux de Deng, Tzvetkov et Visciglia.Dans l'autre partie de la thèse, nous abordons l'équation de Klein-Gordon à non-linéarité cubique, c'est un exemple d'EDPs hamiltoniennes pour lesquelles il n'est connu qu'une seule loi de conservation non triviale. Cette équation modélise l'évolution d'une particule massive relativiste. Ici, nous considérons les cas où l'équation est posée sur le tore tri-dimensionnel ou sur un domaine borné de R^3 à bord assez régulier. Nous lui construisons une mesure invariante concentrée sur l'espace de Sobolev H^2, en utilisant toujours l'approche FDL. Un autre aspect de ce travail est d'étendre le cadre de cette approche au contexte des EDPs à une seule loi de conservation, en effet, dans les travaux antérieurs, l'approche FDL avait nécessité deux lois de conservation pour fonctionner. Puis nous établissons une propriété de non-dégénérescence pour la mesure construite. Par conséquent, une propriété de récurrence presque sûre, par rapport à la mesure construite, est prouvée. Notons que des travaux antérieurs dus à Burq-Tzvetkov, de Suzzoni, Bourgain-Bulut et Xu ont traité la question de mesure de Gibbs invariante pour des équations des ondes dans un contexte radial. / In this thesis, we are concerned with the qualitative study of solutions of Hamiltonian partial differential equations by the way of the invariant measures theory. Indeed, existence of such a measure provides some informations concerning the large time dynamics of the PDE in question. In this thesis we treat two "extremal" situations. In the first part, we consider equations with infinitely many conservation laws, and in the second, we study equations for which we know only one non-trivial conservation law.We study the first equations by considering the Benjamin-Ono equation. The latter is a model describing internal waves in a fluide of great depth.We are concerned with the dynamics of that equation on the space C^infty(T) by constructing for it an invariant measure on that space. Accordingly, an almost sure (w.r.t. this measure) recurrence property is established for infinitely smooth solutions of that equation. Then, we prove qualitative properties for the constructed measure by showing that there are infinitely many independent observables whose distributions via this measure are absolutely continuous w.r.t. the Lebesgue measure on R. Moreover, we establish that the measure is of at least 2-dimensional nature. In this work, we used the Fluctuation-Dissipation-Limit (FDL) approach introduced by Kuksin and Shirikyan. Notice that an almost sure recurrence property for the Benjamin-Ono equation was established on Sobolev spaces by Deng, Tzvetkov and Visciglia.In the second part of the thesis, we consider the cubic Klein-Gordon equation, which is an example of Hamiltonian PDEs for which we know only one conservation law. This equation models the evolution of a massive relativistic particle. Here, we consider both the case of the tri-dimensional periodic solutions and those defined on a bounded domain of R^3. In both settings, we construct an invariant measure concentrated on the Sobolev space H^2xH^1, again with use of the FDL approach. Another aspect of this work is to extend the FDL approach to the context of PDEs having only one conservation law; indeed, in previous works, this approach required two conservation laws. Qualitative properties for the measure and almost sure (w.r.t. this measure) recurrence for H^2-solutions are proven. Notice that previous works by Burq-Tzvetkov, de Suzzoni, Bourgain-Bulut and Xu have treated the invariant Gibbs measure problem in the radial symmetry context for waves equations.

Utilisés dans de nombreux domaines scientifiques, les Automates Cellulaires Probabilistes, usuellement abrégés en PCA, de l'anglais "Probabilistic Cellular Automata", constituent, au sein des dynamiques aléatoires à temps discret, une classe de systèmes infinis de particules, c'est à dire de processus stochastiques markoviens à valeurs dans un espace infini S^G où S désigne un ensemble fini et G est un graphe infini. On considère ici toujours le cas où G=Z^d. La particularité de ces dynamiques est l'évolution en parallèle, ou synchrone, de chacune des coordonnées ou composants élémentaires en interaction. Nous nous intéressons dans un premier temps à l'existence et à l'unicité des mesures stationnaires pour les dynamiques PCA non dégénérées i.e. dont le comportement local n'est jamais déterministe, ainsi qu'à la caractérisation de ces états d'équilibre en tant que mesures gibbsiennes. Nous fondant sur les résultats de Dai Pra, Kozlov, Künsch, Lebowitz, Vasilyev et al., nous précisons, pour la classe des dynamiques PCA réversibles, les relations existant entre les mesures stationnaires, les mesures réversibles et les mesures de Gibbs associées à un potentiel dont le lien avec la dynamique est explicité. Pour une famille paramétrée de dynamiques PCA réversibles, nous démontrons l'existence d'un phénomène de transition de phase et explicitons dans ce cas le comportement de différentes mesures de Gibbs sous l'action de ces dynamiques. En particulier, nous exhibons des mesures de Gibbs non-stationnaires. Dans un second temps, nous étudions l'ergodicité, i.e. la convergence vers l'équilibre des dynamiques PCA qui sont de plus attractives. Nous construisons à cet effet un couplage de ces dynamiques préservant l'ordre stochastique. En nous référant aux travaux de Martinelli et Olivieri pour les dynamiques de Glauber, nous établissons qu'en l'absence de transition de phase, dès que l'unique mesure de Gibbs vérifie une condition de faible mélange, il y a ergodicité et convergence à vitesse exponentielle vers cet unique état d'équilibre, améliorant en cela grandement les critères d'ergodicité pour les PCA existant dans la littérature. Enfin, nous illustrons ces résultats par la réalisation de simulations numériques de certaines des dynamiques réversibles précédemment étudiées, et présentons un algorithme parallèle convergeant vers les mesures de Gibbs extrémales du modèle d'Ising.

Soit μ une mesure de probabilité borélienne sur SL m+1 (R) tel que le sous-groupe engendré par le support de μ est Zariski dense. Soit V une représentation irréductible de dimension finie de SL m+1 (R). D’après un théorème de Furstenberg, il existe une unique mesure μ-stationnaire sur PV et nous nous somme intéressés à la décroissance de Fourier de cette mesure. Le résultat principal de cette thèse est que la transformée de Fourier de la mesure stationnaire a une décroissance polynomiale. À partir de ce résultat, nous obtenons un trou spectral de l’opérateur de transfert, dont les propriétés nous permettent d’établir un terme d’erreur exponentiel pour le théorème de renouvellement dans le cadre des produits de matrices aléatoires. L’ingrédient essentiel est une propriété de décroissance de Fourier des convolutions multiplicatives de mesures sur R n , qui est une généralisation d’un théorème de Bourgain en dimension 1. Nous établissons cet ingrédient en utilisant un estimée somme produit de He et de Saxcé.Dans la dernière partie, nous généralisons un résultat de Lax et Phillips et un résultat de Hamenstädt sur la finitude des petites valeurs propres de l’opérateur de Laplace sur les variétés hyperboliques géométriquement finies. / Let μ be a Borel probability measure on SL m+1 (R), whose support generates a Zariski dense subgroup. Let V be a finite dimensional irreducible linear representation of SL m+1 (R). A theorem of Furstenberg says that there exists a unique μ-stationary probability measure on PV and we are interested in the Fourier decay of the stationary measure. The main result of the thesis is that the Fourier transform of the stationary measure has a power decay. From this result, we obtain a spectral gap of the transfer operator, whose properties allow us to establish an exponential error term for the renewal theorem in the context of products of random matrices. A key technical ingredient for the proof is a Fourier decay of multiplicative convolutions of measures on R n , which is a generalisation of Bourgain’s theorem on dimension 1. We establish this result by using a sum-product estimate due to He-de Saxcé. In the last part, we generalize a result of Lax-Phillips and a result of Hamenstädt on the finiteness of small eigenvalues of the Laplace operator on geometrically finite hyperbolic manifolds

Les processus auto-stabilisants sont définis comme des solutions d'équations différentielles stochastiques dont le terme de dérive contient à la fois le gradient d'un potentiel ainsi qu'un terme non-linéaire au sens de McKean qui attire le processus vers sa propre loi de distribution. On dispose de nombreux résultats lorsque l'environnement est convexe. L'objet de ce travail est de les étendre autant que possible au cas général notamment lorsque le paysage contient plusieurs puits. Des différences fondamentales sont constatées.Le premier chapitre prouve l'existence d'une solution forte. Le second s'intéresse aux lois de probabilités d'une telle solution. En particulier, l'existence et la non-unicité des mesures stationnaires sont mises en évidence sous des hypothèses faibles. Les chapitres trois et quatre sont affectés au comportement de ces mesures lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0.Le chapitre cinq met en relation le processus auto-stabilisant avec des systèmes particulaires via une « propagation du chaos ». Il est ainsi possible de transposer certains résultats du système de particules sur le processus non-markovien et réciproquement. Le chapitre six est dédié au dénombrement exact des mesures stationnaires.Le chapitre sept est employé pour l'étude du comportement en temps long. D'une part, un résultat de convergence dans un cas simple est fourni. D'autre part, un principe de grandes déviations est mis en évidence par l'utilisation des résultats de Freidlin et Wentzell / Self-stabilizing processes are defined as the solutions of stochastic differential equations which drift term contains the gradient of a potential and a term nonlinear in the sense of McKean which attracts the process to its own law distribution. There are many results if the landscape is convex. The purpose of this work is to extend these in the general case especially when the landscape contains contains several wells. Essential differences are found.The first chapter proves the strong existence of a solution. The second one deals with the probability measure of the solution. Particularly, the existence and the non-uniqueness of the stationary measures are highlighted under weak assumptions. Chapter three and four are assigned to the asymptotic analysis in the small noise limit of these measures.Chapter five connects the self-stabilizing process and some particle systems via a « propagation of chaos ». It is thus possible to translate some results from the particle systems to the non-markovian process and reciprocally.Chapter seven is used to study the long time behavior. In one hand, a convergence's result is provided in a simple case. In the other hand, a large deviations principle is highlighted by using the results of Freidlin and Wentzell