Il y a de nombreuses manières d’aborder l’étude des systèmes dynamiques. De manière générale, on munit un espace initial de structures adaptées et on s’intéresse au comportement moyen des itérés d’une application qui préserve les structures initiales. Les propriétés intéressantes peuvent être par exemple, d’origine topologique, mesurable, algébrique ou encore différentiable. La théorie ergodique est principalement concentrée sur les systèmes dynamiques mesurés. D’autre part, une autre branche de la théorie ergodique s’intéresse à des questions dites de représentation des systèmes dynamiques mesurés.Un des aspects de cette théorie est de lier les systèmes dynamiques mesurés aux systèmes dynamiques topologiques. On s’intéressera plus particulièrement au lien entre les systèmes dynamiques topologiques,mesurés et algébriques. Les nilsystèmes ont pris ces dernières années une nouvelle dimension en théorie ergodique. Ils généralisent très naturellement les translations sur des groupes abéliens compacts, et en particulier, les rotations du cercle. On fera un lien partiel entre les propriétés algébriques et symboliques d’une famille bien choisie de nilsystèmes. On s’intéressera notamment à la notion d’induction pour de tels systèmes / There are many ways to approach the study of dynamical systems. In general, one equips the originalspace with an appropriate structure, and is interested in the average behavior of a map which preservesthis structure. For example, the interesting properties could be of topological, measurable, algebraicor differentiable origin. Ergodic theory is mainly concerned with dynamical systems with an invariantmeasure (measured dynamical system). Another branch of ergodic theory studies questions about therepresentation of measured dynamical systems. One aspect of this theory is to connect measured dynamicalsystems with topological dynamical systems. More specifically, we will be interested in theconnection between topological, measured and algebraic dynamical systems.Recently nilsystems have become important in ergodic theory. They naturally generalize translations ofcompact abelian groups, and in particular circle rotations. We will give a partial connection betweenalgebraic and symbolic properties of a well chosen family of nilsystems. We are particularly interestedin induction of such systems.

Dans cette thèse, on s'intéresse au billard dans un polyèdre. On étudie cette application, en codant les orbites sur un alphabet fini. On étudie alors deux problèmes: la complexité des mots infinis obtenus, et l'existence de trajectoires périodiques. On montre que la complexité est reliée à la notion de diagonale généralisée : une diagonale généralisée est une trajectoire de billard, qui part d'une arête et qui arrive à une arête. On obtient alors, au premier chapitre, une nouvelle preuve du calcul de la complexité d'une rotation du tore $\mathbb(T)^2$, totalement irrationnelle. Cette preuve permet de plus, d'obtenir une estimation de la complexité directionnelle du billard dans certains prismes droits. Au deuxième chapitre, on obtient, grâce aux diagonales généralisées, une estimation de la complexité globale du billard cubique. On donne alors au chapitre trois une estimation valable dans n'importe quel polyèdre convexe: On montre en fait que le billard est d'entropie topologique nulle. Le chapitre quatre traite alors du problème des orbites périodiques. On donne une condition suffisante, pour qu'un mot soit stable. On montre de plus l'existence d'une trajectoire périodique dans le tétraèdre régulier. Pour finir on s'intéresse, dans le chapitre cinq, à une sous classe d'échange de rectangles. On montre que ces applications sont ergodiques, et de complexité quadratique. Ces applications sont reliées au billard puisque, à direction fixée, l'application de premier retour est une application affine par morceaux.

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines questions de convergence et de récurrence multiples en théorie ergodique. Nous distinguons les systèmes munis d'une transformation et ceux munis de plusieurs transformations qui commutent. Dans les premiers, le mécanisme de facteurs caractéristiques et les nilsystèmes jouent un rôle important dans l'étude de convergence et de récurrence multiples. À l'aide de ces outils, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiquesmultiples pondérées de Host et Kra pour le cas linéaire au cas polynômial. En conséquence, nous montrons que pour toute fonction $f$ mesurable bornée sur un système ergodique, la suite $(f(T^n x))$ est universellement bonne pour presque tout $x$. Quand il y a plusieurs transformations qui commutent, à l'aide de la machinerie des systèmes magiques introduite récemment par Host et développée dans cette thèse, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples sur les cubes de Host et Kra avec une transformation à plusieurs transformations qui commutent. Nous obtenons aussi un résultat de récurrence multiple quantitatif pour deux transformations qui commutent, similaire en faveur du cas d'une transformation établi par Bergelson, Host et Kra

En 2008, Romik a publié un article très intéressant sur les triplets pythagoriciens et l'équation diophantienne a2 + b2 — c2. Il identifie une transformation à partir de cette équation qui possède plusieurs propriétés dynamiques intéressantes. Il démontre, en autre, que ce système dynamique est conservatif et ergodique et ce, en utilisant des résultats sur la théorie ergodique infinie contenus dans un livre d'Aaronson. L'étude qui suit a deux objectifs généraux. D'une part, nous voulons rassembler les résultats nécessaires à la compréhension du travail de Romik tout en exposant la démarche pour le cas du système dynamique issue de l'équation a2 + b2 = c2. D'autre part, nous voulons répondre à la question suivante de Romik : pouvons-nous identifier une transformation et un système dynamique à partir de l'équation diophantienne a2 + ab + b2 = c2 ? Nous définissons une telle transformation et terminons en étudiant les propriétés de conservativité et d'ergodicité de ce nouveau système dynamique.

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines questions de convergence et de récurrence multiples en théorie ergodique. Nous distinguons les systèmes munis d'une transformation et ceux munis de plusieurs transformations qui commutent. Dans les premiers, le mécanisme de facteurs caractéristiques et les nilsystèmes jouent un rôle important dans l'étude de convergence et de récurrence multiples. À l'aide de ces outils, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiquesmultiples pondérées de Host et Kra pour le cas linéaire au cas polynômial. En conséquence, nous montrons que pour toute fonction $f$ mesurable bornée sur un système ergodique, la suite $(f(T^n x))$ est universellement bonne pour presque tout $x$. Quand il y a plusieurs transformations qui commutent, à l'aide de la machinerie des systèmes magiques introduite récemment par Host et développée dans cette thèse, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples sur les cubes de Host et Kra avec une transformation à plusieurs transformations qui commutent. Nous obtenons aussi un résultat de récurrence multiple quantitatif pour deux transformations qui commutent, similaire en faveur du cas d'une transformation établi par Bergelson, Host et Kra / This thesis is devoted to the study of some questions of multiple convergence and recurrence in ergodic theory. We distinguish between systems endowed with a single transformation and systems endowed with several commuting transformations. In the former, characteristic factors and nilsystemsplay an important role in the study of multiple convergence and recurrence. Using these tools, we extend results on convergence of weighted multiple ergodic averages of Host and Kra for the linear case to the polynomial case. As a consequence, we show that for any bounded measurable function $f$ on an ergodic system, the sequence $f(T^n x)$ is universally good for almost every $x$. In systems endowed with several commuting transformations, we use the machinery of magic systems introduced recently by Host and further properties of magic systems developed in this thesis,to extend results of Host and Kra on convergence of multiple ergodic averages along cubes with a single transformation to commuting transformations. We obtain a quantitative multiple recurrence result for two commuting transformations, similar in flavour to that of a single transformationestablished by Bergelson, Host and Kra, but with a different conclusion

L'objectif de cette thèse est d'étudier les comportements typiques d'une famille de transformations du cylindre discret Z×T (où T=R/Z est le cercle de longueur un). Appliquez une rotation à chaque cercle du cylindre puis coupez tous les cercles en deux et déplacez une moitié de chaque cercle d'un niveau vers le bas et une moitié d'un niveau vers le haut. Nous utilisons pour cela des résultats existants en théorie des échanges d'intervalles et en théorie des surfaces de translation compactes. Tout d'abord, nous avons prouvé que pour presque toute suite bi-infinie de rotations, le système obtenu est conservatif (c'est à dire il n'y a pas d'ensemble errant de mesure strictement positive). Ensuite, nous avons prouvé que pour un ensemble Gδ-dense de paramètres, le système est en même temps conservatif, minimal et ergodique. Ce système a un rapport heuristique avec une famille de billards planaires, ainsi qu'une traduction dans des flots sur des surfaces de translation de genre infini. Cela est expliqué dans la thèse. / The main objective of this thesis is the study of the typical dynamical behaviour of a family of transformations on the discrete cylinder Z×T (where T=R/Z is the length one circle). Apply a rotation to every single circle of the cylinder then cut every circle in two and move half of each circle one level down and the other half one level up. To achieve this goal, we use existing results about interval exchange transformations and about compact translation surfaces. First, we proved that for almost every bi-infinite sequence of rotations, the obtained system is conservative (i.e. there is not wandering set of positive measure). Next, we proved that for a Gδ-dense set of parameters, the described system is ergodic, minimal and conservative. This system is heuristically related to a family of planar billiards, it has also a translation into flows on infinite genus translation surfaces.

La première partie de la thèse concerne l'étude d'une classe particulière de systèmes dynamiques déterministes présentant deux problèmes: la présence de points fixes neutres et des points de discontinuité auxquels la dérivée n'est pas bornée. La seconde partie traite des systèmes dynamiques aléatoires: du problème de la récurrence dans ce type de système puis de leur application à la modélisation de petites perturbations stochastiques. On traite en particulier du problème de la stabilité stochastique.

Dans la première partie de la thèse, nous caractérisons les exemples de Lattès parmi les endomorphismes holomorphes de CP(k) par l'absolue continuité de leur mesure d'entropie maximale. Il s'ensuit une caractérisation des exemples de Lattès en terme d'exposants de Lyapounoff de cette mesure. Ces résultats montrent que, génériquement, la mesure d'entropie maximale d'un endomorphisme holomorphe de degré d de CP(k) n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (elle est par conséquent singulière, en vertu de son ergodicité), et que l'un au moins de ses exposants est strictement plus grand que log d /2. Ceci répond à une question posée par Fornaess et Sibony. La caractérisation des exemples de Lattès par leur mesure d'entropie maximale repose sur un principe de renormalisation, dont l'élaboration utilise l'interprétation pluripotentialiste de cette mesure comme masse de Monge-Ampère. Le passage de la minimalité des exposants à l'absolue continuité fut établi par Ledrappier en dimension 1, et relève de la théorie ergodique. Les arguments en dimension plus grande que un sont les mêmes. La seconde partie est consacrée à l'étude du bassin d'attraction de l'origine des relevés polynomiaux des exemples de Lattès. Nous montrons que le bord de ces domaines se désingularise explicitement en une hypersurface sphérique compacte. Ces domaines sont donc assez surprenants, puisqu'ils sont proches de la boule euclidienne et admettent des auto-applications holomorphes propres non injectives. Nous construisons la désingularisation du bord du bassin d'attraction dans un fibré en droites au dessus d'un tore, à l'aide de fonctions theta. La description des singularités s'obtient alors grace à quelques éléments de la théorie des invariants.

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini $\ZZ^2$-périodique dans le plan appelé le \og vent dans les arbres \fg introduit dans une version stochastique par P.~et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de $\ZZ^2$-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est $2/3$ autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps $t$ est de l'ordre de $t^{2/3}$.

On s'intéresse dans ce travail aux automates cellulaires unidimensionnels qui ont été largement étudiés mais où il reste beaucoup à faire. La théorie spectrale des automates cellulaires a notamment été peu abordée à l'exception de quelques résultats indirects. On cherche a mieux comprendre les cadres topologiques et ergodiques en étudiant l'existence de valeurs propres en particulier celles irrationnelles c'est à dire de la forme e^{2Iπα} où α est un irrationnel et I la racine carrée de l'unité. Cette question ne semble pas avoir été abordée jusqu'à présent. Dans le cadre topologique les résultats sur l'équicontinuité de Kůrka et Blanchard et Tisseur permettent de déduire directement que tout automate cellulaire équicontinu possède des valeurs propres topologiques rationnelles. La densité des points périodiques pour le décalage empêche l'existence de valeurs propres topologiques irrationnelles. La densité des points périodiques pour l'automate cellulaire semble être liée à la question des valeurs propres. Dans le cadre topologique, si l'automate cellulaire possède des points d'équicontinuité sans être équicontinu, la densité des points périodiques a comme conséquence le fait que le spectre représente l'ensemble des racines rationnelles de l'unité c'est à dire tous les nombres de la forme e^{2Iπα} avec α∈Q .Dans le cadre mesuré, la question devient plus difficile, on s'intéresse à la dynamique des automates cellulaires surjectifs pour lesquels la mesure uniforme est invariante en vertu du théorème de Hedlund. La plupart des résultats obtenus demeurent valable dans un cadre plus large. Nous commençons par montrer que les automates cellulaires ayant des points d'équicontinuité ne possèdent pas de valeurs propres mesurables irrationnelles. Ce résultat se généralise aux automates cellulaires possédant des points μ-équicontinu selon la définition de Gilman. Nous démontrons finalement que les automates cellulaires possédant des points μ-équicontinu selon la définition de Gilman possèdent des valeurs propres rationnelles