On étudie des familles rigides de connexions de selles sur des surfaces de demi-translation. Les configurations correspondantes sont une première étape pour comprendre la géométrie à l'infini des strates de l'espace des modules des différentielles quadratiques. On étend un résultat de Masur et Zorich en classifiant ces configurations pour chaque composante connexe de strate dès que le genre est supérieur à cinq. <br /><br />On regarde ensuite de façon plus fine des dégénérescences particulières et on prouve en particulier qu'une strate n'admet qu'un seul bout topologique lorsque le genre est zéro.<br /><br />Le lien entre surfaces de translation et échanges d'intervalles fournit un outil puissant pour l'étude du flot de Teichmüller. On propose une généralisation de cette représentation au cadre des différentielles quadratiques. On relie les propriétés géométriques et dynamiques de ces applications à des critères combinatoires explicites portant sur les permutations généralisées associées.

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini $\ZZ^2$-périodique dans le plan appelé le \og vent dans les arbres \fg introduit dans une version stochastique par P.~et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de $\ZZ^2$-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est $2/3$ autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps $t$ est de l'ordre de $t^{2/3}$.

On étudie les feuilletages transversalement affines des surfaces compactes, avec ou sans bord. On met en relation plusieurs méthodes de construction de tels feuilletages: application de premier retour et échanges d'intervalles affines (pour un feuilletage pas nécessairement orientable); mesure brisée sur un réseau ferroviaire; feuilletage mesuré sur le revêtement universel avec automorphismes du revêtement agissant de manière affine; recollement le long de leur bord de surfaces munies de feuilletages affines. On étudie l'injectivité des applications à image dans l'espace des classes d'équivalence des feuilletages transversalement affines qui résultent de ces diverses constructions.

Ce travail étudie les déviations de sommes ergodiques pour des systèmes dynamiques substitutifs avec une matrice qui admet des valeurs propres de module supérieur à 1. Précisément, nous nous concentrons sur les substitutions telle que ces valeurs propres ne sont pas conjuguées. Dans un premier temps, on défini les lettres a-minimales et dominantes d'un mot pour étudier sa ligne brisée associé. On défini la ligne brisée normalisée et sa fonction limite. Pour l'étude des sommes ergodiques, on défini le sous-automate des lettres minimales. On donne des conditions sur une substitution de sorte qu'il y ait un nombre infini des sommes ergodiques égales à zéro pour un point x 2 X. Enfin, en utilisant un boucle dans une classe de Rauzy, on prouve l'existence d'un nombre infini d'échanges d'intervalles auto-similaires, dont la matrice de Rauzy a deux valeurs propres non conjuguées de module supérieur à 1. Et tout échange d'intervalles affine semi-conjugué à cet échange d'intervalles est aussi conjugué. / This thesis focuses on the deviation of ergodic sums for a substitution dynamical systems with a matrix that admits eigenvalues of modulus larger than 1. Specifically, we concentrate on substitutions with non-conjugated eigenvalues. At first, we define the a-minimals letters and the dominant letters of a word to study its broken associated line. We define the normalize broken line and its limit function. For the study of ergodic sums, we define the sub-automaton of minimum letters. We give conditions on a substitution so that there is infinitely many zero sums ergodic for a point x 2 X. Finally, using a loop in a class of Rauzy, we prove the existence of infinitely many interval exchange transformation self-similar, whose Rauzy matrix has two non-conjugated eigenvalues larger than 1 and every affine interval exchange transformation that is semi-conjugated, is also conjugated.

Cette thèse s'intéresse à des aspects divers des structures affines complexes branchées sur les surfaces de Riemann.Dans une première partie, nous étudions un invariant algébrique de ces structures appelé holonomie, qui est une représentation du groupe fondamental de la surface sous-jacente dans le groupe affine. Nous démontrons un théorème caractérisant les représentations se réalisant comme l'holonomie d'une structure affine.Nous nous intéressons ensuite à la géométrie de certains espaces de modules de telles structures qui viennent naturellement avec une structure hyperbolique complexe. Nous décrivons cette géométrie en terme de dégénérescences de structures affines.Enfin, nous regardons une sous-classe de structures affines dont chaque élément induit une famille de feuilletages sur la surface sous-jacente. Nous relions ces feuilletages à des systèmes dynamiques unidimensionnels appelés échanges d'intervalles affines et nous étudions un cas particulier en détails. / This thesis deals with several aspects of branched, complex affine structures on Riemann surfaces.In a first chapter, we study an algebraic invariant of these structures called holonomy, which is a representation of the fundamental group of the underlying surface into the affine group. We prove a theorem characterising such representations that arise as the holonomy of an affine structure.In a second part, we study certain moduli spaces of affine tori which happen to have an additional complex hyperbolic structure. We analyse the geometry of this structures in terms of degenerations of the underlying affine tori.Finally, we narrow our interest to a subclass of affine structures each element of which inducing a family of foliations on the underlying topological surface. We link these foliations to 1-dimensional dynamical systems called affine interval exchange transformations and study a particular case in details.

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini périodique dans le plan appelé le "vent dans les arbres" introduit dans une version stochastique par P. et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de Z^2-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est 2/3 autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps t est de l'ordre de t^2/3. / In this thesis, we study the dynamics of the linear flow of translation surfaces and its renormalization by the Teichmüller flow introduced by H. Masur and W. Veech in 1982. A combinatorial version of the renormalization, the Rauzy induction on interval exchange transformations, was introduced by G. Rauzy in 1979. First of all, we consider the combinatorics of Rauzy classes which form a partition of the set of irreducible permutations and are part of the Rauzy induction. In a second time, we consider an infinite Z^2-periodic billiard in the plane called the wind-tree model. It was introduced in a stochastic version by P. and T. Ehrenfest in 1912 and in the periodic version by J. Hardy and J. Weber in 1980. We construct a family of directions for which the flow of the billiard is divergent and hence give examples of divergent Z^2-cocycles over interval exchange transformations. Moreover, we prove that the polynomial rate of diffusion is generically 2/3. In other words, the maximal distance reached by a particule below time t has the order of t^2/3.