This Bachelor's thesis deals with fractals and orbits on Sierpinski carpets. We present the fundamental theory regarding fractals and some illustrative examples together with fractal billiards. In the latter part of the thesis we use elementary methods to present an original proof concerning the closure of some billiard orbits on Sierpinski carpets. A survey of the article Periodic Billiard orbits of self-similar Sierpinski Carpets, see [8], has been done, in which we make a discussion about one open question regarding reflections on the carpet. Furthermore, we state and prove some propositions related to this open question.

Cette thèse porte sur certaines familles à un paramètre de surfaces de Riemann compactes de genre 2 définies par des surfaces de translation. Les familles que nous considérons constituent des géodésiques de Teichmüller dans l'espace des modules.Nous nous attachons en particulier à décrire ces surfaces par leurs matrices des périodes et par les équations des courbes algébriques associées.Nous étudions notamment les automorphismes admissibles par les surfaces de certaines de ces familles.Le principal résultat consiste en une caractérisation explicite des matrices des périodes des courbes réelles à trois composantes réelles appartenant à la famille obtenue par projection dans l'espace des modules de la SL(2,R)-orbite de la surface de translation en «L» pavée par trois carreaux.Nous montrons enfin, grâce à une interprétation en termes de transformations de Schwarz-Christoffel, comment calculer numériquement une équation de la courbe algébrique définie par une surface de translation en «L». / In this thesis we study some one parameter families of compact Riemann surfaces of genus 2 defined by translation surfaces.The families we consider are Teichmüller geodesics in the moduli space.We mainly describe these surfaces by means of period matrices and equations of the associated algebraic curves.We study admissible automorphisms for surfaces in some of those families.The main result is an explicit characterisation of period matrices of real curves with three real components belonging to the family obtained by projecting the SL(2,R)-orbit of the «L»-shaped translation surface tiled by three squares into the moduli space.We finally show, using an interpretation in terms of Schwarz-Christoffel transformations, how to numerically compute an equation of the algebraic curve defined by a «L»-shaped translation surface.

L'objectif de la thèse est de construire une compactification géométrique de l'espace des structures de demi-translation sur une surface S compacte, connexe, orientable, de genre au moins égal à 2. Il s’inscrit dans le très large thème d’étude des déformations de structures géométriques sur les surfaces. Une structure de demi-translation sur S est une métrique localement euclidienne (de courbure constante nulle) sur S, avec des singularités coniques d'angles k pi, avec k un entier et k>2, telle que l'holonomie de tout lacet lisse de S, disjoint des singularités, est Id ou -Id.Je définis l'ensemble des structures mixtes sur S, qui sont des structures arborescentes (au sens de Drutu-Sapir), équivariantes par le groupe fondamentalde S et CAT(0), obtenues par recollement de pièces par des arêtes, éventuellement réduites à des points, telles que l'espace obtenu par écrasement des pièces est un arbre réel simplicial (la plupart des arêtes ont une longueur non nulle), et les pièces sont ou bien des arbres réels, ou bien des revêtements universels de sous-surfaces (ouvertes) de S, munies de structures de demi-translation. Je munis l'espace Mix(Sigma) des (classes d'isométries équivariantes par le groupe fondamental de S) de structures mixtes sur S d'une topologie géométrique naturelle, appelée topologie de Gromov équivariante. Je montre alors, par des techniques d'ultralimites à la Gromov, que l'espace Flat(S) des (classes d'isotopie de) structures de demi-translation sur S, identifié à l’ensemble des structures de demi-translation équivariantes par le groupe fondamental de S sur le revêtement universel de S, est un ouvert dense de Mix(S), et que le projectifié PMix(S), muni de la topologie quotient, est compact. Le projectifié PMix(S) est donc une compactification du projectifié PFlat(S) de l'espace Flat(S) (qui s'identifie à l'espace des structure de demi-translation d'aire 1 sur S). / The goal of this thesis is to build a geometric compactification of the space of half-translation structures on a connected, compact surface S, with genus at least 2. It is a part of the wide thema of study of the deformations of metric structures on surfaces.A half-translation structure on S is a locally euclidean metric (with null constant curvature) on S, with conical singularities of angles k pi, with k an integer and k>2, such that the holonomy of every smooth curve of S, disjoint from the singularities, is contained in Id or -Id.I define the set of mixed structures on S, which are tree-graded spaces (in the sense of Drutu-Sapir), equivariant by the fundamental group of S and CAT(0), obtained by gluing some pieces by some edges, possibly reduced to a point, such that the space obtained by replacing the pieces by some points is a simplicialtree (most edges have a positive length), and the pieces are either some trees or some universal covers of (open) subsurfaces of S endowed with a half-translation structures. I endow the space Mix(S) of (classes of isometry equivariant by the fundamental group of S of) mixed structures on S with a natural geometric topology, called the Gromov equivariant topology. I show, by techniques using ultralimits "à la Gromov", that the space Flat(S) of (isotopy classes of) half-translation structures on S, identified with the set of half-translation structures on the universal cover of S which are equivariant for the fundamental group of S, is a dense and open subset of Mix(S), and the projectified space PMix(S) is compact. The projectified space PMix(S) is then a compactification of the projectified space PFlat(S) (which identifies with the space of half-translations structures of area 1 on S.

Le problème du cercle de Gauss consiste à compter le nombre de points entiers de longueur bornée dans le plan. Autrement dit, compter le nombre de géodésiques fermées de longueur bornée sur un tore plat bidimensionnel. De très nombreux problèmes de comptage en systèmes dynamiques se sont inspirés de ce problème. Depuis 30 ans, on cherche à comprendre l’asymptotique de géodésiques fermées dans les surfaces de translation. H. Masur a montré que ce nombre a une croissance quadratique. Calculer l’asymptotique quadratique (constante de Siegel–Veech) est un sujet de recherches très actif aujourd’hui. L’objet d’étude de cette thèse est le modèle de windtree, un modèle de billard non compact. Dans le cas classique, on place des obstacles rectangulaires identiques dans le plan en chaque point entier. On joue au billard sur le complémentaire. Nous montrons que le nombre de trajectoires périodiques a une croissance asymptotique quadratique et calculons la constante de Siegel–Veech pour le windtree classique ainsi que pour la généralisation de Delecroix– Zorich. Nous prouvons que, pour le windtree classique, cette constante ne dépend pas des tailles des obstacles (phénomène “non varying” analogue aux résultats de Chen–Möller). Enfin, lorsque la surface de translation compacte sous-jacente est une surface de Veech, nous donnons une version quantitative du comptage. / The Gauss circle problem consists in counting the number of integer points of bounded length in the plane. In other words, counting the number of closed geodesics of bounded length on a flat two dimensional torus. Many counting problems in dynamical systems have been inspired by this problem. For 30 years, the experts try to understand the asymptotic behavior of closed geodesics in translation surfaces. H. Masur proved that this number has quadratic growth rate. Compute the quadratic asymptotic (Siegel–Veech constant) is a very active research domain these days. The object of study in this thesis is the wind-tree model, a non-compact billiard model. In the classical setting, we place identical rectangular obstacles in the plane at each integer point. We play billiard on the complement. We show that the number of periodic trajectories has quadratic asymptotic growth rate and we compute the Siegel–Veech constant for the classical wind-tree model as well as for the Delecroix–Zorich variant. We prove that, for the classical wind-tree model, this constant does not depend on the dimensions of the obstacles (non-varying phenomenon, analogous to results of Chen–Möller). Finally, when the underlying compact translation surface is a Veech surface, we give a quantitative version of the counting.

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini périodique dans le plan appelé le "vent dans les arbres" introduit dans une version stochastique par P. et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de Z^2-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est 2/3 autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps t est de l'ordre de t^2/3. / In this thesis, we study the dynamics of the linear flow of translation surfaces and its renormalization by the Teichmüller flow introduced by H. Masur and W. Veech in 1982. A combinatorial version of the renormalization, the Rauzy induction on interval exchange transformations, was introduced by G. Rauzy in 1979. First of all, we consider the combinatorics of Rauzy classes which form a partition of the set of irreducible permutations and are part of the Rauzy induction. In a second time, we consider an infinite Z^2-periodic billiard in the plane called the wind-tree model. It was introduced in a stochastic version by P. and T. Ehrenfest in 1912 and in the periodic version by J. Hardy and J. Weber in 1980. We construct a family of directions for which the flow of the billiard is divergent and hence give examples of divergent Z^2-cocycles over interval exchange transformations. Moreover, we prove that the polynomial rate of diffusion is generically 2/3. In other words, the maximal distance reached by a particule below time t has the order of t^2/3.