Thèse de doctorat : Sciences : Mathématiques : Lund (Suède) : 2007. Thèse de doctorat : Sciences : Mathématiques : Toulon : 2007. / Thèse soutenue en co-tutelle. Texte en anglais. Titre provenant du cadre-titre. Références bibliographiques p. 97-98.

Il y a de nombreuses manières d’aborder l’étude des systèmes dynamiques. De manière générale, on munit un espace initial de structures adaptées et on s’intéresse au comportement moyen des itérés d’une application qui préserve les structures initiales. Les propriétés intéressantes peuvent être par exemple, d’origine topologique, mesurable, algébrique ou encore différentiable. La théorie ergodique est principalement concentrée sur les systèmes dynamiques mesurés. D’autre part, une autre branche de la théorie ergodique s’intéresse à des questions dites de représentation des systèmes dynamiques mesurés.Un des aspects de cette théorie est de lier les systèmes dynamiques mesurés aux systèmes dynamiques topologiques. On s’intéressera plus particulièrement au lien entre les systèmes dynamiques topologiques,mesurés et algébriques. Les nilsystèmes ont pris ces dernières années une nouvelle dimension en théorie ergodique. Ils généralisent très naturellement les translations sur des groupes abéliens compacts, et en particulier, les rotations du cercle. On fera un lien partiel entre les propriétés algébriques et symboliques d’une famille bien choisie de nilsystèmes. On s’intéressera notamment à la notion d’induction pour de tels systèmes / There are many ways to approach the study of dynamical systems. In general, one equips the originalspace with an appropriate structure, and is interested in the average behavior of a map which preservesthis structure. For example, the interesting properties could be of topological, measurable, algebraicor differentiable origin. Ergodic theory is mainly concerned with dynamical systems with an invariantmeasure (measured dynamical system). Another branch of ergodic theory studies questions about therepresentation of measured dynamical systems. One aspect of this theory is to connect measured dynamicalsystems with topological dynamical systems. More specifically, we will be interested in theconnection between topological, measured and algebraic dynamical systems.Recently nilsystems have become important in ergodic theory. They naturally generalize translations ofcompact abelian groups, and in particular circle rotations. We will give a partial connection betweenalgebraic and symbolic properties of a well chosen family of nilsystems. We are particularly interestedin induction of such systems.

Thèse doctorat : Lasers, molécules, rayonnement atmosphérique : Lille 1 : 2003. / N° d'ordre (Lille 1) : 3343. Publications en anglais et en français reproduites dans le texte. Résumé en français et en anglais. Bibliogr. p. 229-234.

Thèse doctorat : Sciences et technologies de l'information et de la communication. Spécialité communications numériques : Brest : 2006. / Thèse soutenue en co-tutelle. Bibliogr. p.165-177. Index.

La thèse prend comme point de départ les approximations diophantiennes en focalisant sur l'ensemble des nombres mal approxirnables. Nous construisons deux ensembles de nombres mal approxirnables en considérant les nombres rationnels q-adiques, et deux types de modèles d'approximation, le modèle uni-côté et le modèle bi-côté. Nous prouvons par des méthodes élémentaires que pour chaque ensemble, la dimension de Hausdorff dépend de manière continue d'un paramètre, qu'elle est Lebesgue constante presque partout et est auto-similaire. Ce sont donc des ensembles fractals. De plus, on donne une description complète des intervalles où leur dimension est constante. Les méthodes et techniques des preuves utilisent des outils provenant de dynamique symbolique, combinaîoire des mots et beta-shift.

Dans cette thèse, nous abordons les problèmes de la transmission et du traitement de l'information par les assemblées de neurones, du point de vue de l'approche inter-disciplinaire des systèmes complexes en nous référant principalement aux formalismes de la théorie de l'information et de la théorie des systèmes dynamiques. Dans ce contexte, nous nous focalisons sur les mécanismes de représentation de l'information sensorielle par les activités neuronales à travers le codage neuronal. Nous explorons la structure de ce code, à plusieurs échelles grâce à l'étude de différents signaux électrophysiologiques issus de populations de neurones (signaux unitaires, LFP et EEG). Sur le plan méthodologique, nous avons implémenté différents indices permettant d'extraire objectivement l'information des activités neuronales, mais également d'en caractériser la dynamique sous-jacente à partir de séries temporelles de taille finie (le taux d'entropie). Nous avons également étudié un indicateur peu utilisé (le taux d'information mutuelle), qui permet de quantifier l'auto-organisation et les relations de couplage entre deux systèmes. Grâce à des approches théoriques et numériques, nous analysons les propriétés caractéristiques de ces indices et proposons leur utilisation dans le cadre de l'étude des systèmes neuronaux. Ce travail permet de caractériser la complexité de différentes activités neuronales associées aux dynamiques de transmission de l'information. / In this thesis, we address the problem of transmission and information processing by neuronal assemblies, in terms of the interdisciplinary approach of complex systems by referring mainly to the formalisms of information theory and dynamical systems. In this context, we focus on the mechanisms underlying sensory information representation by neuronal activity through neural coding. We explore the structure of this code under several scales through the study of different neuronal population electrophysiological signals (singel unit, LFP and EEG). We have implemented various indices in order to extract objectively information from neural activity, but also to characterize the underlying dynamics from finite size time series (the entropy rate). We also defined a new indicator (the mutual information rate), which quantifies self-organization and relations of coupling between two systems. Using theoretical and numerical approaches, we analyze some characteristic properties of these indices and propose their use in the context of the study of neural systems. This work allows us to characterize the complexity of different neuronal activity associated to information transmission dynamics.

Nous étudions dans cette thèse la notion de quasipériodicité,introduite par Apostolico et Ehrenfeucht au début des années 1990,puis étendue aux mots infinis par Solomon Marcus au début des années2000. Un mot (fini ou infini) w est quasipériodique s'il peut êtrecouvert par des occurrences, éventuellement chevauchantes, d'un autremot, fini, appelé sa quasipériode. En 2006, Monteil etMarcus ont introduit la notion plus forte de quasipériodicitémulti-échelles : le fait d'avoir une infinité de quasipériodes.Dans un premier temps, nous étudions la quasipériodicité des motsinfinis bidimensionnels. Nous montrons que, contrairement au casunidimensionnel où la quasipériodicité ne force aucune propriété fortedes mots infinis, il existe des quasipériodes q qui forcent les mots2D q-quasipériodiques à être d'entropie nulle. Nous montrons égalementque la quasipériodicité multi-échelles en deux dimensions forcel'existence de fréquences uniformes pour les facteurs.Dans un deuxième temps, nous donnons des résultats sur les motsinfinis en une dimension. Nous donnons notament une approchepermettant de déterminer les quasipériodes d'un mot infini à partir deses facteurs carrés et de ses facteurs spéciaux. Nous montrons ensuiteque la famille des mots périodiques, ainsi que celle des mots standardsturmiens, peuvent être caractérisées en termes de quasipériodicitémulti-échelles. / We study the notion of quasiperiodicity, introduced by Apostolico and Ehrenfeucht at the beginning of the 1990's, then extended to infinite words by Solomon Marcus at the beginning of the 2000's. A (finite or infinite) word w is quasiperiodic if it can be covered by occurrences, possibly overlapping, of another finite word, call its quasiperiod. In 2006, Monteil and Marcus introduced a stronger notion: multi-scale quasiperiodicity, the property of having infinitely many quasiperiods.First we study quasiperiodicity of two-dimensional infinite words. We show that, by contrast with the one-dimensional case where quasiperiodicity do not force any property on infinite words, there exist quasiperiods q which force 2D q-quasiperiodic words to have zero entropy. We also show that multi-scale quasiperiodicity in two dimension force the existence of uniform frequencies for factors.Then we give results on infinite words in one dimension. Most notably we give a method to determine the quasiperiods of an infinite words from its square and special factors. We show that the family of periodic words and standard Sturmian words are characterizable in terms of multi-scale quasiperiodicity.

Cette thèse étudie la moyennabilité et la propriété de Liouville des groupes pleins-topologiques des systèmes de Cantor, des groupes d'échanges d'intervalles, et des groupes agissants sur les arbres enracinés. Dans le Chapitre 2, nous obtenons les premiers exemples de groupes simples, infinis, de type fini, tels que le bord de Poisson de toute marche aléatoire simple est trivial (la propriété de Liouville). Ces exemples sont des sous-groupes dérivés de groupes pleins topologiques d'une famille de sous-décalages minimaux. Nous montrons que si la complexité d'un sous-décalage (pas nécessairement minimal) est strictement sous-quadratique, toute mesure de probabilité symétrique de support fini sur le groupe plein-topologique est d'entropie asymptotique nulle. Dans le Chapitre 3, nous exhibons une famille de groupes pleins-topologiques de sous-décalages minimaux qui contiennent les groupes de Grigorchuk G_ω comme sous-groupes. Cette construction montre que le groupe plein-topologique d'un sous-décalage minimal peut avoir des sous-groupes de croissance intermédiaire, en répondant à une question de Grigorchuk. Dans le Chapitre 4 (basé sur un travail en commun avec K. Juschenko, N. Monod, M. de la Salle) nous étudions les actions extensivement moyennables, une notion qui est un outil pour montrer la moyennabilité des groupes. Comme application, nous montrons la moyennabilité des groupes d'échanges d'intervalles dont les angles de translations ont rang rationnel au plus 2. Nous obtenons aussi une caractérisation "de type Kesten" de la moyennabilité extensive d'une action, et nous l'utilisons pour donner une preuve courte, purement probabiliste du fait que les actions récurrentes sont extensivement moyennables. Nous étudions aussi la propriété de Liouville pour les groupes d'échanges d'intervalles, et nous montrons qu'il existe des groupes d'échanges d'intervalles tels que toute mesure de support fini non dégénérée a un bord non trivial. Dans le Chapitre 5 (basé sur un travail en commun avec G. Amir, O. Angel, B. Virág) nous montrons que les groupes agissant sur les arbres enracinés par automorphismes bornés ont la propriété de Liouville. En particulier cela inclut les groupes engendrés par des automates d'activité bornée. / This thesis deals with the Liouville property and amenability of topological full groups of Cantor systems, groups of interval exchanges, and groups acting on rooted trees. In Chapter 2, we provide the first examples of finitely generated, infinite simple groups that have trivial Poisson-Furstenberg boundary for simple random walks (the Liouville property). These arise as the derived subgroup of the topological full groups of a family of minimal subshifts. We show that if the complexity of a (non necessarily minimal) subshift grows strictly subquadratically, every symmetric and finitely supported probability measure on the topological full group has vanishing asymptotic entropy. In Chapter 3, we exhibit a family of topological full groups of minimal subshifts that contain Grigorchuk groups G_ω as subgroups. This shows that the topological full group of a minimal subshift can have subgroups of intermediate growth, answering a question of Grigorchuk. In Chapter 4 (based on a joint work with K. Juschenko, N. Monod, M. de la Salle), we study various features of extensively amenable group actions, a notion which is a tool to prove amenability of groups. As an application, we prove amenability of groups of interval exchanges whose angular components have rational rank at most 2. We also obtain a "Kesten-like" characterisation of extensive amenability in terms of the inverted orbit and use it give a short, probabilistic proof of the fact that recurrent actions are extensively amenable. Finally we study the Liouville property for groups of interval exchanges, and show that there are groups of interval exchanges that admit no finitely supported measure with trivial boundary. In Chapter 5 (based on a joint work with G. Amir, O. Angel, B. Virág), we establish the Liouville property for all groups acting on rooted trees by bounded automorphisms. This includes in particular groups generated by bounded automata. This strengthens results by various authors about amenability of these groups, some of which are based on proving the Liouville property in some special cases.

Cette thèse est consacrée à l'étude des différents problèmes liés aux structures des cubes , en théorie ergodique et en dynamique topologique. Elle est composée de six chapitres. La présentation générale nous permet de présenter certains résultats généraux en théorie ergodique et dynamique topologique. Ces résultats, qui sont associés d'une certaine façon aux structures des cubes, sont la motivation principale de cette thèse. Nous commençons par les structures de cube introduites en théorie ergodique par Host et Kra (2005) pour prouver la convergence dans $L^2 $ de moyennes ergodiques multiples. Ensuite, nous présentons la notion correspondante en dynamique topologique. Cette théorie, développée par Host, Kra et Maass (2010), offre des outils pour comprendre la structure topologique des systèmes dynamiques topologiques. En dernier lieu, nous présentons les principales implications et extensions dérivées de l'étude de ces structures. Ceci nous permet de motiver les nouveaux objets introduits dans la présente thèse, afin d'expliquer l'objet de notre contribution. Dans le Chapitre 1, nous nous attachons au contexte général en théorie ergodique et dynamique topologique, en mettant l'accent sur l'étude de certains facteurs spéciaux. Les Chapitres 2, 3, 4 et 5 nous permettent de développer les contributions de cette thèse. Chaque chapitre est consacré à un thème particulier et aux questions qui s'y rapportent, en théorie ergodique ou en dynamique topologique, et est associé à un article scientifique. Les structures de cube mentionnées plus haut sont toutes définies pour un espace muni d'une unique transformation. Dans le Chapitre 2, nous introduisons une nouvelle structure de cube liée à l'action de deux transformations S et T qui commutent sur un espace métrique compact X. Nous étudions les propriétés topologiques et dynamiques de cette structure et nous l'utilisons pour caractériser les systèmes qui sont des produits ou des facteurs de produits. Nous présentons également plusieurs applications, comme la construction des facteurs spéciaux. Le Chapitre 3 utilise la nouvelle structure de cube définie dans le Chapitre 2 dans une question de théorie ergodique mesurée. Nous montrons la convergence ponctuelle d'une moyenne cubique dans un système muni deux transformations qui commutent. Dans le Chapitre 4, nous étudions le semigroupe enveloppant d'une classe très importante des systèmes dynamiques, les nilsystèmes. Nous utilisons les structures des cubes pour montrer des liens entre propriétés algébriques du semigroupe enveloppant et les propriétés topologiques et dynamiques du système. En particulier, nous caractérisons les nilsystèmes d'ordre 2 par une propriété portant sur leur semigroupe enveloppant. Dans le Chapitre 5, nous étudions les groupes d'automorphismes des espaces symboliques unidimensionnels et bidimensionnels. Nous considérons en premier lieu des systèmes symboliques de faible complexité et utilisons des facteurs spéciaux, dont certains liés aux structures de cube, pour étudier le groupe de leurs automorphismes. Notre résultat principal indique que, pour un système minimal de complexité sous-linéaire, le groupe d'automorphismes est engendré par l'action du shift et un ensemble fini. Par ailleurs, en utilisant les facteurs associés aux structures de cube introduites dans le Chapitre 2, nous étudions le groupe d'automorphismes d'un système de pavages représentatif. La bibliographie, commune à l'ensemble de la thèse, se trouve en fin document / This thesis is devoted to the study of different problems in ergodic theory and topological dynamics related to og cube structures fg. It consists of six chapters. In the General Presentation we review some general results in ergodic theory and topological dynamics associated in some way to cubes structures which motivates this thesis. We start by the cube structures introduced in ergodic theory by Host and Kra (2005) to prove the convergence in $L^2$ of multiple ergodic averages. Then we present its extension to topological dynamics developed by Host, Kra and Maass (2010), which gives tools to understand the topological structure of topological dynamical systems. Finally we present the main implications and extensions derived of studying these structures, we motivate the new objects introduced in the thesis and sketch out our contributions. In Chapter 1 we give a general background in ergodic theory and topological dynamics given emphasis to the treatment of special factors. % We give basic definitions and describe special factors associated to a From Chapter 2 to Chapter 5 we develop the contributions of this thesis. Each one is devoted to a different topic and related questions, both in ergodic theory and topological dynamics. Each one is associated to a scientific article. In Chapter 2 we introduce a novel cube structure to study the actions of two commuting transformations $S$ and $T$ on a compact metric space $X$. In the same chapter we study the topological and dynamical properties of such structure and we use it to characterize products systems and their factors. We also provide some applications, like the construction of special factors. In the same topic, in Chapter 3 we use the new cube structure to prove the pointwise convergence of a cubic average in a system with two commuting transformations. In Chapter 4, we study the enveloping semigroup of a very important class of dynamical systems, the nilsystems. We use cube structures to show connexions between algebraic properties of the enveloping semigroup and the geometry and dynamics of the system. In particular, we characterize nilsystems of order 2 by its enveloping semigroup. In Chapter 5 we study automorphism groups of one-dimensional and two-dimensional symbolic spaces. First, we consider low complexity symbolic systems and use special factors, some related to the introduced cube structures, to study the group of automorphisms. Our main result states that for minimal systems with sublinear complexity such groups are spanned by the shift action and a finite set. Also, using factors associated to the cube structures introduced in Chapter 2 we study the automorphism group of a representative tiling system. The bibliography is defer to the end of this document

Cette thèse est consacrée à l'étude des différents problèmes liés aux structures des cubes , en théorie ergodique et en dynamique topologique. Elle est composée de six chapitres. La présentation générale nous permet de présenter certains résultats généraux en théorie ergodique et dynamique topologique. Ces résultats, qui sont associés d'une certaine façon aux structures des cubes, sont la motivation principale de cette thèse. Nous commençons par les structures de cube introduites en théorie ergodique par Host et Kra (2005) pour prouver la convergence dans $L^2 $ de moyennes ergodiques multiples. Ensuite, nous présentons la notion correspondante en dynamique topologique. Cette théorie, développée par Host, Kra et Maass (2010), offre des outils pour comprendre la structure topologique des systèmes dynamiques topologiques. En dernier lieu, nous présentons les principales implications et extensions dérivées de l'étude de ces structures. Ceci nous permet de motiver les nouveaux objets introduits dans la présente thèse, afin d'expliquer l'objet de notre contribution. Dans le Chapitre 1, nous nous attachons au contexte général en théorie ergodique et dynamique topologique, en mettant l'accent sur l'étude de certains facteurs spéciaux. Les Chapitres 2, 3, 4 et 5 nous permettent de développer les contributions de cette thèse. Chaque chapitre est consacré à un thème particulier et aux questions qui s'y rapportent, en théorie ergodique ou en dynamique topologique, et est associé à un article scientifique. Les structures de cube mentionnées plus haut sont toutes définies pour un espace muni d'une unique transformation. Dans le Chapitre 2, nous introduisons une nouvelle structure de cube liée à l'action de deux transformations S et T qui commutent sur un espace métrique compact X. Nous étudions les propriétés topologiques et dynamiques de cette structure et nous l'utilisons pour caractériser les systèmes qui sont des produits ou des facteurs de produits. Nous présentons également plusieurs applications, comme la construction des facteurs spéciaux. Le Chapitre 3 utilise la nouvelle structure de cube définie dans le Chapitre 2 dans une question de théorie ergodique mesurée. Nous montrons la convergence ponctuelle d'une moyenne cubique dans un système muni deux transformations qui commutent. Dans le Chapitre 4, nous étudions le semigroupe enveloppant d'une classe très importante des systèmes dynamiques, les nilsystèmes. Nous utilisons les structures des cubes pour montrer des liens entre propriétés algébriques du semigroupe enveloppant et les propriétés topologiques et dynamiques du système. En particulier, nous caractérisons les nilsystèmes d'ordre 2 par une propriété portant sur leur semigroupe enveloppant. Dans le Chapitre 5, nous étudions les groupes d'automorphismes des espaces symboliques unidimensionnels et bidimensionnels. Nous considérons en premier lieu des systèmes symboliques de faible complexité et utilisons des facteurs spéciaux, dont certains liés aux structures de cube, pour étudier le groupe de leurs automorphismes. Notre résultat principal indique que, pour un système minimal de complexité sous-linéaire, le groupe d'automorphismes est engendré par l'action du shift et un ensemble fini. Par ailleurs, en utilisant les facteurs associés aux structures de cube introduites dans le Chapitre 2, nous étudions le groupe d'automorphismes d'un système de pavages représentatif. La bibliographie, commune à l'ensemble de la thèse, se trouve en fin document / This thesis is devoted to the study of different problems in ergodic theory and topological dynamics related to og cube structures fg. It consists of six chapters. In the General Presentation we review some general results in ergodic theory and topological dynamics associated in some way to cubes structures which motivates this thesis. We start by the cube structures introduced in ergodic theory by Host and Kra (2005) to prove the convergence in $L^2$ of multiple ergodic averages. Then we present its extension to topological dynamics developed by Host, Kra and Maass (2010), which gives tools to understand the topological structure of topological dynamical systems. Finally we present the main implications and extensions derived of studying these structures, we motivate the new objects introduced in the thesis and sketch out our contributions. In Chapter 1 we give a general background in ergodic theory and topological dynamics given emphasis to the treatment of special factors. % We give basic definitions and describe special factors associated to a From Chapter 2 to Chapter 5 we develop the contributions of this thesis. Each one is devoted to a different topic and related questions, both in ergodic theory and topological dynamics. Each one is associated to a scientific article. In Chapter 2 we introduce a novel cube structure to study the actions of two commuting transformations $S$ and $T$ on a compact metric space $X$. In the same chapter we study the topological and dynamical properties of such structure and we use it to characterize products systems and their factors. We also provide some applications, like the construction of special factors. In the same topic, in Chapter 3 we use the new cube structure to prove the pointwise convergence of a cubic average in a system with two commuting transformations. In Chapter 4, we study the enveloping semigroup of a very important class of dynamical systems, the nilsystems. We use cube structures to show connexions between algebraic properties of the enveloping semigroup and the geometry and dynamics of the system. In particular, we characterize nilsystems of order 2 by its enveloping semigroup. In Chapter 5 we study automorphism groups of one-dimensional and two-dimensional symbolic spaces. First, we consider low complexity symbolic systems and use special factors, some related to the introduced cube structures, to study the group of automorphisms. Our main result states that for minimal systems with sublinear complexity such groups are spanned by the shift action and a finite set. Also, using factors associated to the cube structures introduced in Chapter 2 we study the automorphism group of a representative tiling system. The bibliography is defer to the end of this document